最高平均値方式

最高平均値法、除数法、または分割と四捨五入法^[1]は、政党や州などのいくつかのグループに議会を公平に分割することを目的とした配分アルゴリズムの一種です。^{[1] [2]}より一般的には、除数法は、パーセンテージポイント（合計が100になる必要があります）などの合計のシェアを四捨五入するために使用できます。^[2]

これらの方法は、各政党の議席数と得票数の比率（または除数）が同じになるようにすることで、議員が同数の有権者を代表するようにし、有権者を平等に扱うことを目指している。 ^{[3] : 30}このような方法では、得票数を議席あたりの得票数で割り、この合計を四捨五入して最終的な配分を求める。そうすることで、この方法は比例代表制をほぼ維持し、例えば得票数が他の政党の2倍の政党は2倍の議席を獲得することになる。^{[3] : 30}

除数法は、ほとんどの基準でより比例的な結果を生み出し、配分パラドックスの影響を受けにくいため、社会選択理論家は一般に最大剰余法よりも除数法を好みます。^{[4] [5] [3] [6]}特に、除数法は最大剰余法とは異なり、人口パラドックスとスポイラー効果を回避します。^[5]

除数法は、アメリカ合衆国憲法の規定である、各州の代表者を3万人につき1人までとすることを満たすために、トーマス・ジェファーソンによって最初に考案されました。彼の解決策は、各州の人口を3万人で割ってから切り捨てることでした。^{[3] : 20}

配分は議会で大きな議論の的となったが、表面的には合理的な多くの四捨五入規則に欠陥があることが発覚してからは特にそうであった。 ^{[3] : 20}比例代表制の採用後、ヨーロッパでも同様の議論が起こったが、これは典型的には大政党が小政党の参入に閾値やその他の障壁を導入しようとしたためである。 ^[7]こうした配分はしばしば重大な結果をもたらす。例えば1870年の再配分では、議会は共和党支持の州に有利になるように臨時の配分を用いた。^[8]各州の選挙人投票総数がその州の選挙人票数と正確に等しかった場合、あるいは議会が（1840年以来採用してきたように）サント・ラグエ法や最大剰余法を使用していた場合、 1876年の選挙はヘイズではなくティルデンが勝利していたであろう。^{[8] [9] [3] : 3, 37}

これらの方法の2つの名前（最高平均値と除数）は、それらについての2つの異なる考え方と、それぞれが独立した発明であることを反映しており、どちらの手順も同等であり、同じ答えを出します。^[1]

除数法は、k ≤ post ( k ) ≤ k +1の標識列post ( k )を使用して定義される丸め規則に基づいています。各標識は自然数間の境界を示し、数値は標識より小さい場合にのみ切り捨てられます。^[2]

除数法では、除数または選挙人割当数を検索して議席を配分する。この除数は、政党が議会で1議席を追加で獲得するために必要な票数、選挙区の理想的な人口、または各議員が代表する有権者の数と考えることができる。^[1]

各議員が同数の有権者を代表している場合、各州の議席数は人口を除数で割ることで算出できます。^[1]ただし、議席の割り当ては整数でなければならないため、特定の州の割り当てを求めるには、除算後に四捨五入する必要があります (サインポストシーケンスを使用)。したがって、各党の割り当ては次の式で与えられます。^[1]

${\displaystyle {\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)}$

通常、除数は最初はヘアークォータと等しくなるように設定される。しかし、この手順では割り当てられる議席が多すぎたり少なすぎたりする可能性がある。この場合、各州の割り当てを合計しても議会の総数にはならない。実行可能な除数は試行錯誤によって見つけることができる。^[10]

最高平均アルゴリズムでは、各政党は議席を0から始めます。その後、各反復で、最も高い投票平均を持つ政党、つまり議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を割り当てます。この方法は、すべての議席が割り当てられるまで続行されます。^[1]

しかし、議席を割り当てる前に投票平均を見るのが良いのか、議席を割り当てた後の平均がどうなるのか、あるいは連続性補正で妥協すべきなのかは不明です。これらのアプローチはそれぞれわずかに異なる配分を与えます。^[1]一般に、平均はサインポストシーケンスを使用して定義できます。

${\displaystyle {\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}}$

最高平均値法では、各政党は議席を0から始めます。その後、各反復で、最も高い投票平均を持つ政党、つまり議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を割り当てます。この方法は、すべての議席が割り当てられるまで続行されます。^[1]

すべての除数法は、同じ一般的な手順を共有していますが、標識の順序の選択と、したがって丸めルールが異なります。最初の標識がゼロである方法では、少なくとも1票を獲得したすべての政党が、2番目の議席を獲得する政党よりも先に議席を獲得することに注意してください。実際には、これは通常、選挙のしきい値によって失格にならない限り、すべての政党が少なくとも1議席を獲得する必要があることを意味します。^[2]

トーマス・ジェファーソンは1792年に最初の除数法を提案しました。^[1]これは後に1878年にベルギーの政治学者ヴィクトル・ドントによって独自に開発されました。これは、投票の最後に最も代表が少ないリストに代表者を割り当てます。^[1]これは今日でも比例代表制の最も一般的な方法です。 ^[1]

ドント方式では、（1、2、3、...）という数列を使用します。^[11]つまり、常に政党の配分を切り捨てます。^[1]${\displaystyle \operatorname {post} (k)=k+1}$

配分は理想的な枠の下限を下回ることはなく、議会における最悪の過剰代表を最小限に抑えます。^[1]しかし、ドント方式は、ほとんどの比例基準で判断すると、パフォーマンスが劣っています。^[12]このルールでは、通常、大政党に過剰な数の議席が与えられ、議席シェアは理想的なシェアを切り上げて上回ります。^{[3] : 81}

この病理により、ドント方式はニューヨーク州の40.5議席を42議席に「切り上げて」しまうことがわかり、マロン・ディッカーソン上院議員は、その追加議席は「亡くなった議員の亡霊」から生まれるに違いないと言って、ドント方式を広く嘲笑することになった。^{[3] : 34}

アダムズ方式は、ドント方式では小規模な州に議席が少なすぎることに気づいたジョン・クィンシー・アダムズが考案した。 ^{[13]これはドント方式の逆とも言える。つまり、新しい議席が追加される}前に、議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を与える。除数関数はpost( k ) = kであり、常に切り上げになる。^[12]

アダムスの配分は、理想的な枠の上限を超えることはなく、最悪の場合の過少代表を最小限に抑えます。^{[1]しかし、}下限議席数の違反はよくあります。^[14]ドントと同様に、アダムスの方法は、ほとんどの比例基準によれば不十分な結果となっています。^[12]

アダムズの方法は、逓減比例性を満たすことを目的として、欧州議会の議席を加盟国に割り当てるためのケンブリッジ妥協案の一部として提案された。^[15]

ウェブスター法またはサント＝ラグエ法は、1832年にアメリカの政治家で上院議員のダニエル・ウェブスターによって初めて説明され、後にフランスの数学者アンドレ・サント＝ラグエによって1910年に独立して発明されました。この方法では、フェンスポストシーケンスpos​​t( k ) = k +.5 (つまり、0.5、1.5、2.5) を使用します。これは、標準的な丸め規則に対応します。同様に、代わりに奇数の整数 (1、3、5...) を使用して平均値を計算することもできます。^{[1] [16]}

サント＝ラグエ方式は、ほぼすべての不正確さの基準において、ドント方式よりも比例配分がより正確である。^[17]そのため、政治学者や数学者は、少なくとも操作が困難または可能性が低い状況（大規模な議会など）では、ドント方式よりもサント＝ラグエ方式を好むことが多い。^[18]また、非常に少数の議席を獲得した政党を扱う場合でも、議席の偏りを最小限に抑えることでも注目に値する。 ^[19]サント＝ラグエ方式は理論的には理想的なシェアルールに違反する可能性があるが、これは中規模議会でも非常にまれであり、米国の議会の配分でクォータに違反したことは一度も確認されていない。^[18]

閾値のない小規模な選挙区では、政党は多くのリストに分裂し、各リストがヘアークォータの票数よりも少ない票数で議席を獲得することで、サント＝ラグエ選挙区を操作することができる。この問題は、最初の除数をわずかに大きく（多くの場合0.7または1の値）変更することで対処されることが多く、これにより暗黙の閾値が作成されます。^[20]

ハンティントン・ヒル法では、サインポストシーケンスはpost( k ) = √ k ( k +1)であり、これは隣接する数の幾何平均です。概念的には、この方法は相対的な（パーセント）差が最小となる整数に切り上げます。たとえば、2.47 と 3 の差は約 19% ですが、2 との差は約 21% なので、2.47 が切り上げられます。この方法は、米国下院の議席を各州に割り当てる際に使用されます。^[1]

ハンティントン・ヒル方式は、サント・ラグエ方式と非常によく似た結果を生み出す傾向があるが、各州または各政党に少なくとも1議席を保証する点が異なる（最高平均値方式§ゼロ議席配分を参照）。下院の議席割り当てに初めて使用されたとき、 2つの方法は同じ結果を生み出した。2度目に使用されたときの違いは、ミシガン州またはアーカンソー州に1議席を割り当てることだけであった。^{[3] : 58}

ハンティントン・ヒル、ディーン、アダムス法では、いずれも最初のフェンスポストの値が0で、平均は∞となる。したがって、閾値がなければ、少なくとも1票を獲得した政党はすべて、少なくとも1議席を獲得することになる。^[1]この特性は、望ましい場合（州に議席を割り当てる場合など）もあれば、望ましくない場合（選挙で政党名簿に議席を割り当てる場合など）もあり、その場合は、最初の除数を調整して自然な閾値を作成することができる。^[21]

議席偏りの測定基準は数多くある。サント＝ラグエ法は「唯一」偏りがないと言われることもあるが^[18]、この唯一性は、州の議席数とその理想的な割合の予想差としての偏りの技術的な定義に依存している。言い換えれば、州が獲得する議席数が、多くの選挙を平均してその州の理想的な割合と等しい場合、その方法は偏りがないと言われる。^[18]

この定義によれば、サント＝ラグエ法は最も偏りの少ない配分法であるが、^[19]ハンティントン＝ヒル法は小規模政党に対して若干の偏りを示している。^{[18]しかし、他の研究者は、一般的に}パーセント誤差に基づくわずかに異なる偏りの定義では逆の結果が得られると指摘している（ハンティントン＝ヒル法は偏りがないが、サント＝ラグエ法は大規模政党に対してわずかに偏っている）。^{[19] [22]}

実際には、議席を複数持つ政党や州を扱う場合、これらの定義の違いは小さい。^[19]したがって、ハンティントン＝ヒル法とサント＝ラグエ法は両方とも、偏りのない、または偏りの少ない方法であると考えられる（ドント法やアダムス法とは異なり）。^{[19] [22] 1929年に}米国科学アカデミーが議会に提出した報告書ではハンティントン＝ヒル法が推奨されたが、^[23]最高裁判所は選択は意見の問題であると裁定した。^[22]

次の例は、ドント方式が、サント＝ラグエ方式などの偏りの少ない方式と大きく異なる可能性があることを示しています。この選挙では、最大政党が 46% の票を獲得しましたが、議席の 52.5% を獲得し、他のすべての政党の連合 (合計で 54% の票を獲得) に対して過半数を獲得するのに十分な数でした。さらに、これは定員に違反しています。最大政党は 9.7 議席しか獲得できませんが、それにもかかわらず 11 議席を獲得しています。最大の選挙区は、最小の選挙区のほぼ 2 倍の大きさです。サント＝ラグエ方式では、これらの特性のいずれも示されず、最大誤差は 22.6% です。

次の例は、アダムス方式では 55% の票を獲得した政党に過半数を与えることができず、やはり割り当ての権利に違反するケースを示しています。

以下は、すべての投票システムに適用可能な例です。ハンティントン ヒルとアダムスの方法では、サント ラゲやドントとは異なり、各政党に 1 議席ずつ割り当ててから、さらに議席を割り当てる点に注意してください。

次の表を使用すると、任意の定常標識関数の配分を計算できます。つまり、値が選択したバーより上にある場合は、配分が切り上げられます。

除数法は一般に、最大剰余法よりも数学者に好まれる。^{[24]なぜなら、除数法は}配分パラドックスの影響を受けにくいからである。 ^[5]特に、除数法は人口単調性を満たす。つまり、ある政党に投票してもその政党が議席を失うことはない。 ^[5]このような人口パラドックスは選挙人定数を増やすことで発生し、各州の剰余が不規則に反応する可能性がある。^{[3] : Tbl.A7.2}除数法は、資源または議院の単調性も満たす。つまり、議会の議席数を増やしても、その州が議席を失うことはないはずである。^{[5] [3] : Cor.4.3.1}

あらゆる除算法は最小最大不等式を使って定義できる。括弧で配列のインデックスを表すと、割り当ては次に示す場合にのみ有効となる: ^{[1] : 78–81}

最大⁠投票[政党]/投稿(席[パーティー])⁠ ≤ 分⁠投票[政党]/投稿(席数[パーティー]+1)⁠

言い換えれば、ある政党から別の政党に議席を再割り当てすることで、最高得票数を下げることは不可能である。この範囲のあらゆる数字は、約数となり得る。不等式が厳密であれば、解は一意である。そうでない場合は、最終的な配分段階で同票となる。^{[1] : 83}

上記の除数法は、ファミリに一般化できます。

一般に、サインポスト関数をpost( k ) = avg( k , k +1)と定義することで、任意の一般化平均関数から配分法を構築することができます。^[1]

除数法は定常的と呼ばれる^{[25] : 68}ある実数 に対して、その標識が の形である場合。アダムス法、サント・ラグエ法、ドント法は定常的であるが、ディーン法とハンティントン・ヒル法は定常的ではない。定常法は、数値がkとk +1の加重算術平均を超える場合に数値を切り上げることに対応する。^[1] rの値が小さいほど、小規模なパーティにとって使いやすい。^[19]${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle d(k)=k+r}$

デンマークの選挙では、州レベルの選挙区で均等に議席を割り当てる。これは、複数選挙区で政党が獲得した票数を0.33、1.33、2.33、3.33などで割るものである。フェンスポスト数列はpost( k ) = k + 1 ⁄ 3で与えられ、正確に比例配分するのではなく、より均等に議席を割り当てることを目的としている。^[26]

べき乗平均の約数法には、アダムス法、ハンティントン・ヒル法、サント・ラグエ法、ディーン法、ドント法（直接または極限として）が含まれます。与えられた定数pに対して、べき乗平均法は標識関数post( k ) = ^_p √ k ^p + ( k +1) ^pを持ちます。ハンティントン・ヒル法はp が0 に近づくときの極限に対応し、アダムス法とドント法はp が負または正の無限大に近づくときの極限を表します。^[1]

このファミリーには、調和平均に対応するp =-1の あまり一般的ではないディーン法も含まれます。ディーン法は最も近い平均値に丸めることに相当します。つまり、各州の議席数は、平均選挙区サイズと理想的な選挙区サイズの差が最小になるように丸められます。たとえば、^{[3] : 29}

1830 年のマサチューセッツ州の代表人口は 610,408 人でした。12 議席を獲得した場合、その選挙区の平均規模は 50,867 になります。13 議席を獲得した場合、46,954 になります。したがって、ポークの提案どおりに除数が 47,700 である場合、46,954 は 50,867 よりも 47,700 に近いため、マサチューセッツ州は 13 議席を獲得することになります。

相対誤差が最小となる投票平均に丸めると、再びハンティントン・ヒル法が成立する。なぜなら、| log( x ⁄ y ) | = | log( y ⁄ x ) |であり、相対的な差異は可逆だからである。この事実は、エドワード・V・ハンティントンが不当表示の測定に絶対誤差ではなく相対誤差を使用したことと、ヒルの法則を擁護したことの核心であった。^[27]ハンティントンは、配分法の選択は平等な代表の方程式がどのように再構成されるかに左右されるべきではなく、相対誤差（ヒルの法則によって最小化される）のみがこの特性を満たすと主張した。^{[3] : 53}

同様に、ストラースキー平均は、不正確さの一般化エントロピー指数を最小化する除数法のファミリーを定義するために使用できます。 ^[28]このファミリーには、対数平均、幾何平均、同値平均、算術平均が含まれます。ストラースキー平均は、情報理論の研究で非常に重要なこれらの不正確さの指標を最小化するものとして正当化できます。^[29]

多くの国では、政党が代表権を得るためには一定数の票を獲得しなければならないという選挙基準があり、代表権を得るために必要な基準よりも得票数が少なかった政党は排除される。 [ ^20]他の国では、最初の除数を修正して自然な基準を導入している。サント・ラグエ方式を使用する場合、最初の除数は0.7または1.0に設定されることが多い（後者は完全議席修正と呼ばれる）。^[20]

過半数維持条項は、過半数の票を獲得した政党が議会の議席の少なくとも半分を獲得することを保証する。^[20]このような条項がなければ、得票数が過半数をわずかに上回る政党が、議席の半分をわずかに下回る議席しか獲得できない可能性がある（ドント法以外の方法を使用する場合）。^[20]これは通常、議会の過半数を維持する配分が見つかるまで、議会に議席を追加することによって達成される。^[20]

クォータキャップ付き除数法は、まず各州に下限議席を割り当てる配分方法です。次に、議席当たりの得票数の平均が最も高い州に、議席を1つずつ追加します。ただし、追加議席によってその州の上限議席数を超えない限りです。^[30]ただし、クォータキャップ付き除数法は参加基準（人口単調性とも呼ばれる）に違反しており、政党がより多くの票を獲得した結果、議席を失う可能性があります。^{[3] : Tbl.A7.2}