鏡対称性予想

数学において、ミラー対称性は、特定のカラビ・ヤウ多様体と構築された「ミラー多様体」との間の推測上の関係である。この予想により、カラビ・ヤウ多様体上の有理曲線の数（グロモフ・ウィッテン不変量として符号化される）を多様体族 の積分（ホッジ構造 の変種上の周期積分として符号化される）に関連付けることができる。つまり、これはカラビ・ヤウ多様体上の 次数の種数代数曲線の数と双対多様体 上の積分の間に関係があることを意味する。これらの関係は、多様体 の一般的な5次3次多様体 と、を与える5次ドワーク族からの構成^[2]を研究した論文で、Candelas、de la Ossa、Green、および Parkes ^[1]によって最初に発見された。その後まもなく、Sheldon Katz は、その構成の一部を概説し、厳密な数学的解釈がどのようなものになり得るかを推測した要約論文^[3]を執筆した。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\check {X}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\psi}}$${\displaystyle {\check {X}}={\tilde {X}}_{\psi}}$

もともと、ミラー多様体の構築はアドホックな手順で発見されました。本質的には、一般的な五次三次 多様体には、複数の特異点を持つカラビ・ヤウ多様体の 1 パラメータ族が関連付けられるはずです。これらの特異点を爆発させた後、それらは解決され、新しいカラビ・ヤウ多様体が構築されました。これは反転したホッジダイヤモンドを持っていました。特に、同型があります が、最も重要なのは、 の状態に対する 弦理論 (のA モデル) が に状態を持つ弦理論 (のB モデル)と交換される同型があることです。A モデルの弦理論は 上のケーラー構造またはシンプレクティック構造にのみ依存していましたが、B モデルは 上の複素構造にのみ依存していました。ここでは、ミラー多様体の元々の構築について概説し、この記事の後のセクションでは、弦理論の背景とミラー多様体に関する予想について考察します。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{4}}$${\displaystyle X_{\psi}}$${\displaystyle X^{\vee}}$$${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\cong H^{q}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{3-p})}$$$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})\cong H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$${\displaystyle X^{\vee}}$${\displaystyle H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\vee}}$

における一般的な五次三次多項式^{[2] [4]} は、次数の斉次多項式によって定義されることを思い出してください。この多項式は、直線束の大域切断として同値に記述されます。^{[1] [5]}大域切断のベクトル空間は 次元を持ちますが、これらの多項式には 2 つの同値性があることに注目してください。1 つ目は、代数的トーラス^[6] (基底体の非ゼロ スケーラー) によるスケーリングの下で​​の多項式が同値な空間を与えられた場合です。2 つ目は、の自己同型群によって射影同値性が与えられ、これは 次元です。これはであるため、次元パラメータ空間を与え、これは幾何学的不変理論 を使用して構築できます。この集合は、における滑らかなカラビ-ヤウ五次三次多項式を定義する多項式の同値類に対応し、カラビ-ヤウ五次式のモジュライ空間を与えます。 ^[7]さて、セール双対性と、各カラビ・ヤウ多様体が自明な標準バンドル を持つという事実を用いると、変形空間は上のホッジ構造の部分と同型になります。レフシェッツ超平面定理を用いると、他の群は と同型なので、唯一の非自明なコホモロジー群は です。オイラー標数と、最上位のチャーン類であるオイラー類 を用いると、この群の次元は です。これは 、ホッジ構造 を用いると、各成分の次元を求めることができるからです。まず、はカラビ・ヤウなので、ホッジ数 を与え、したがってカラビ・ヤウ多様体のモジュライ空間の次元を与えます。ボゴモレフ-ティアン-トドロフの定理により、そのような変形はすべて妨げられず、したがって滑らかな空間は実際には五次三次多様体のモジュライ空間です。この構成の全体的なポイントは、このモジュライ空間の複素パラメータがミラー多様体の ケーラーパラメータにどのように変換されるかを示すことです。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}$$${\displaystyle \dim {\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}=126}$$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle {\text{PGL}}(5)}$${\displaystyle 24}$${\displaystyle 101}$$${\displaystyle U_{\text{smooth}}\subset \mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5)))/PGL(5)}$$${\displaystyle 126-24-1=101}$${\displaystyle U_{\text{滑らかな}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle \omega_{X}}$$${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$$${\displaystyle (2,1)}$${\displaystyle H^{3}(X)}$${\displaystyle H^{3}(X)}$${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{4})}$${\displaystyle 204}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (X)&=-200\\&=h^{0}+h^{2}-h^{3}+h^{4}+h^{6}\\&=1+1-\dim H^{3}(X)+1+1\end{aligned}}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$${\displaystyle h^{0,3}=h^{3,0}=1}$$${\displaystyle \dim H^{2}(X,\Omega _{X})=h^{1,2}=101}$$${\displaystyle U_{\text{滑らかな}}}$

カラビ・ヤウ多様体の優れた族に、ドワーク族と呼ばれるものがあります。これは、 複素平面 上の射影族です。ここで、この族の複素変形の次元は 1 つしかなく、これは が変化する値を持つことに由来することに注意してください。これは、ミラー多様体のホッジダイヤモンドがであるため重要です。族にはによって作用する対称群があります。の射影性が条件の理由であることに注意してください。関連する商多様体には、特異点を爆発させることによって与えられるクレパント分解があります^{[2] [5]}は、のパラメータを持つ新しいカラビ・ヤウ多様体を与えます。これはミラー多様体であり を持ちます。ここで各ホッジ数は です。 ${\displaystyle X_{\psi}}$ $${\displaystyle X_{\psi }={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [\psi ][x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)}$$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\psi ])}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\check {X}}}$$${\displaystyle \dim H^{2,1}({\check {X}})=1.}$$${\displaystyle X_{\psi }}$$${\displaystyle G=\left\{(a_{0},\ldots ,a_{4})\in (\mathbb {Z} /5)^{5}:\sum a_{i}=0\right\}}$$$${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{4})\cdot [x_{0}:\cdots :x_{4}]=[e^{a_{0}\cdot 2\pi i/5}x_{0}:\cdots :e^{a_{4}\cdot 2\pi i/5}x_{4}]}$$${\displaystyle X_{\psi }}$$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}=0.}$$${\displaystyle X_{\psi }/G}$${\displaystyle 100}$$${\displaystyle {\check {X}}\to X_{\psi }/G}$$${\displaystyle {\check {X}}}$${\displaystyle 101}$${\displaystyle H^{1,1}({\check {X}})}$${\displaystyle H^{3}({\check {X}})=4}$${\displaystyle 1}$

弦理論には、非線形シグマモデルと呼ばれるモデルのクラスがあり、が種数代数曲線でがカラビ・ヤウである写像の族を研究します。これらの曲線はワールドシートと呼ばれ、閉じた弦として粒子の誕生と死を表します。弦は時間の経過とともに 2 本以上の弦に分裂することがあり、最終的にはこれらの弦が集まって粒子の寿命の終わりに崩壊するため、代数曲線は数学的にこの弦の寿命を表します。簡単にするために、最初は種数 0 の曲線だけが考慮され、数学で普及した結果の多くはこのケースのみに焦点を当てていました。 ${\displaystyle \phi :\Sigma \to X}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma }$

また、物理学の用語では、これらの理論はヘテロティック弦理論と呼ばれます。なぜなら、これらの理論にはペアで現れる超対称性があるため、実際には 4 つの超対称性があるからです。これは、ヒルベルト空間に作用する演算子のペアが存在することを意味しますが、符号までしか定義されていないことを意味します。この曖昧さは、もともと物理学者に、この曖昧さを互いに交換する双対弦理論を持つカラビ・ヤウ多様体のペアが存在するはずだと示唆したものです。 ${\displaystyle (2,2)}$ ${\displaystyle N=2}$ $${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$$

空間は複素構造、つまり積分可能なほぼ複素構造を持ち、ケーラー多様体であるため必然的にケーラー形式と呼ばれるシンプレクティック構造を持ち、これは複素化ケーラー形式に複素化することができ、複素化ケーラー形式は閉じた-形式であるため、そのコホモロジー類は にあります。ミラー対称性予想の背後にある主なアイデアは、複素構造と複素化シンプレクティック構造の変形、つまりモジュライを、これら 2 つが互いに双対になるように研究することです。特に、物理学の観点から、 ^{[8] : 1–2}カラビ-ヤウ多様体の超共形場理論は、ミラー多様体の双対超共形場理論と同等であるはずです。ここで共形は共形同値を意味し、曲線 上の複素構造の同値類と同じです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J\in {\text{End}}(TX)}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }=B+i\omega }$$${\displaystyle (1,1)}$$${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$$${\displaystyle J}$${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\vee }}$${\displaystyle \Sigma }$

非線形シグマモデルには、AモデルとBモデルと呼ばれる2つのバリエーションがあり、これらはペアとそれらの係数を考慮しています。^{[9] ：ch 38 pg 729}${\displaystyle (X,\omega ^{\mathbb {C} })}$${\displaystyle (X,J)}$

複素化ケーラー類を持つカラビ・ヤウ多様体が与えられると、弦理論の非線形シグマモデルには、3世代の粒子に加えて、電磁力、弱い力、強い力が含まれるはずです。^{[10] : 27}これらの力がどのように相互作用するかを理解するために、の状態に対する相関関数として機能する湯川結合と呼ばれる3点関数が導入されます。この空間は、弦理論の状態のヒルベルト空間上の演算子の固有空間であることに注意してください。 ^{[8] : 3–5}この3点関数は、ファインマン経路積分手法を使用して として「計算」されます。ここで、 は 、ホモロジー クラス、を持つ有理曲線の単純な数です。これらのインスタントン数を​​定義することは、グロモフ-ウィッテン理論の主題です。この相関関数の定義では、ケーラー類にのみ依存することに注意してください。これは、多様体上のケーラー構造の仮想モジュライ空間を研究する数学者に影響を与えました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\rangle =&\int _{X}\omega _{1}\wedge \omega _{2}\wedge \omega _{3}+\sum _{\beta \neq 0}n_{\beta }\int _{\beta }\omega _{1}\int _{\beta }\omega _{2}\int _{\beta }\omega _{2}{\frac {e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}{1-e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle n_{\beta }}$${\displaystyle \beta \in H_{2}(X;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \omega _{i}\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle n_{\beta }}$

A-モデルでは、対応するモジュライ空間は擬正則曲線のモジュライ^{[11] : 153} または Kontsevich モジュライ空間^[12]です。これらのモジュライ空間には、モジュライ空間上の障害層と呼ばれる層の セクションの消失軌跡として表される仮想基本クラスまたは を備えることができます。このセクションは、マップの摂動として見ることができる微分方程式から来ています。ベクトル束である場合は、のオイラー類のポアンカレ双対として見ることもできます。 $${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )=\{(u:\Sigma \to X,j,z_{1},\ldots ,z_{k}):u_{*}[\Sigma ]=\beta ,{\overline {\partial }}_{J}u=0\}}$$ $${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )=\{u:\Sigma \to X:u{\text{ is stable and }}u_{*}([\Sigma ])=\beta \}}$$ $${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )]^{virt}}$$$${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )]^{virt}}$$${\displaystyle \pi _{Coker}(v)}$${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$$${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}(u)=v}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$

当初の構成では、検討されたAモデルは、一般の5次3次多様体上にありました。^[9]${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

A-モデルサブセクションの同じカラビ-ヤウ多様体に対して、演算子 の固有空間に状態を持つ双対超共形場理論が存在します。その 3 点相関関数は と定義されます。 ここで は上の正則 3 形式であり、無限小変形( はを含むカラビ-ヤウ多様体のモジュライ空間の接空間であるため、小平-スペンサー写像とボゴモレフ-ティアン-トドロフの定理により) に対して、クラスを クラスに変換するガウス-マニン接続が存在するため、 上で積分できます。この相関関数は の複素構造にのみ依存することに注意してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$${\displaystyle {\overline {Q}}}$$${\displaystyle \langle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\rangle =\int _{X}\Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )}$$${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla _{\theta }}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle (p+1,q-1)}$$${\displaystyle \Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )\in H^{3}(X,\Omega _{X}^{3})}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

コホモロジー類の への作用は、内積のコホモロジー的変形として理解することもできます。局所的には、この類は、セクション を与える十分に良い被覆に対するチェフ コサイクルに対応します。次に、挿入積は、 の要素に接着し直すことができる要素を与えます。これは、重なり 上にを与える ためであり 、したがって 1-コサイクルを定義します。このプロセスを繰り返すと、に等しい3-コサイクルが得られます。これは、局所的にはガウス-マニン接続が内積として作用するためです。 ${\displaystyle \theta \in H^{1}(X,T_{X})}$${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [\theta _{i}]_{i\in I}}$${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \theta _{i}\in T_{X}(U_{i})}$$${\displaystyle \iota _{\theta _{i}}(\Omega |_{U_{i}})\in H^{0}(U_{i},\Omega _{X}^{2}|_{U_{i}})}$$${\displaystyle \iota _{\theta }(\Omega )}$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{2})}$$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}=U_{ij},}$$ $${\displaystyle \theta _{i}|_{ij}=\theta _{j}|_{ij}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(\iota _{\theta _{i}}\Omega |_{U_{i}})|_{U_{ij}}&=\iota _{\theta _{i}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=\iota _{\theta _{j}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=(\iota _{\theta _{j}}\Omega |_{U_{j}})|_{U_{ij}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \iota _{\theta _{1}}\iota _{\theta _{2}}\iota _{\theta _{3}}\Omega \in H^{3}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$${\displaystyle \nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega }$

数学的には、B モデルは、もともと Dwork ファミリーからの構築によって与えられた ホッジ構造のバリエーションです。

弦理論のこれら 2 つのモデルを、演算子の符号の曖昧さを解決することによって関連付けることで、物理学者は次の予想に至りました。^{[8] : 22}カラビ・ヤウ多様体に対して、関連する A モデルと B モデルの互換性を与えるミラー同型が存在するようなミラーカラビ・ヤウ多様体が存在するはずです。これは、およびが与えられ、ミラー写像の下で相関関数の等式が存在することを意味します。これは、 (したがって)の5 次 3 次多様体上の次数種数曲線の数を、ホッジ構造の変形における積分に関連付ける点で重要です。さらに、これらの積分は実際に計算可能です。 ${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\vee }}$$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$$${\displaystyle H\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$${\displaystyle \theta \in H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$${\displaystyle H\mapsto \theta }$$${\displaystyle \langle H,H,H\rangle =\langle \theta ,\theta ,\theta \rangle }$$${\displaystyle d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$${\displaystyle H^{1,1}\cong \mathbb {Z} }$

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• https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

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