ヘインズワースの慣性加法則

数学において、エミリー・ヴァージニア・ヘインズワース（1916-1985）によって発見されたヘインズワースの慣性加法性の公式は、エルミート行列とそれが分割されるブロック行列の正、負、ゼロの固有値の数に関するものである。^[1]

エルミート行列Hの慣性は、順序付けられた3つの

${\displaystyle \mathrm {In} (H)=\left(\pi (H),\nu (H),\delta (H)\right)}$

その成分はそれぞれHの正、負、ゼロの固有値の数である 。ヘインズワースは分割されたエルミート行列

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{\ast }&H_{22}\end{bmatrix}}}$

ここでH _11は非特異であり、H ₁₂ ^*はH ₁₂の 共役転置である。式は次のように表される: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \mathrm {In} {\begin{bmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{\ast }&H_{22}\end{bmatrix}}=\mathrm {In} ( H_{11})+\mathrm {In} (H/H_{11})}$

ここで、H / H _11はHにおける H ₁₁のシュア補集合である。

${\displaystyle H/H_{11}=H_{22}-H_{12}^{\ast }H_{11}^{-1}H_{12}.}$

H ₁₁が特異な場合でも、の代わりにムーア・ペンローズ逆関数 を使用して一般化シューア補集合を定義することができます。 ${\displaystyle H_{11}^{+}}$${\displaystyle H_{11}^{-1}}$

H ₁₁が特異な場合にはこの式は成立しない。しかし、1974年にCarlson、Haynsworth、Markhamによって^[4]一般化が証明され、およびとなる 。 ${\displaystyle \pi (H)\geq \pi (H_{11})+\pi (H/H_{11})}$${\displaystyle \nu (H)\geq \nu (H_{11})+\nu (H/H_{11})}$

カールソン、ヘインズワース、マーカムも平等が成立するための十分条件と必要条件を示した。

• ブロック行列擬似逆行列
• シルベスターの慣性の法則