固有形

数学において、固有形式（モジュラー群 SL(2, Z )を持つ同時ヘッケ固有形式を意味する）は、すべてのヘッケ演算子T _m、m  = 1、2、3、... の固有ベクトルとなるモジュラー形式です。

固有形式は数論の領域に属しますが、解析学、組合せ論、物理学など、数学や科学の他の分野でも見られます。固有形式の一般的な例であり、唯一の非尖頭固有形式は、アイゼンシュタイン級数です。別の例はΔ 関数です。

固有形式（または一般的なモジュラー形式）には 2 つの異なる正規化があります。

固有形式は、フーリエ級数のq係数が 1 になるようにスケーリングされると正規化されていると言われます。

${\displaystyle f=a_{0}+q+\sum _{i=2}^{\infty }a_{i}q^{i}}$

ここでq  =  e ^{2 πiz}である。関数f は各ヘッケ演算子T _iの下でも固有ベクトルなので、対応する固有値を持つ。より具体的には、a _i , i ≥ 1 はヘッケ演算子T _iに対応するf の固有値であることがわかる。 f がカスプ形式でない場合は、固有値を明示的に与えることができる。^[1]

尖った固有形式は、その内積に関して正規化できます。

${\displaystyle \langle f,f\rangle =1\,}$

固有形式の存在は重要な結果ですが、ヘッケ代数が可換であるという事実から直接生じます。

モジュラー群が完全な SL(2, Z )でない場合は、各n  ∈  Zに対して Hecke 演算子は存在せず、したがって固有形式の定義はそれに応じて変更されます。固有形式は、空間に作用するすべての Hecke 演算子の同時固有ベクトルであるモジュラー形式です。

サイバネティクスでは、固有形式の概念は再帰システムの例として理解されています。これはハインツ・フォン・フェルスターの研究において重要な役割を果たしており、^{[2] 「}第二次サイバネティクスと密接に結びついています」。^[3]