ブラシュケ製品

複素解析において、ブラシュケ積は、指定された複素数の（有限または無限の）列でゼロを持つように構成された開単位円内の有界解析関数である。

${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ldots }$

単位円内では、関数の大きさは円の境界に沿って一定であるという性質があります。

ブラシュケ積は、ヴィルヘルム・ブラシュケ (1915) によって導入されました。ブラシュケ積はハーディ空間に関連しています。

単位円内の点列は、次の場合に ブラシュケ条件を満たすと言われる。${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \sum _{n}(1-|a_{n}|)<\infty .}$

ブラシュケ条件を満たすシーケンスが与えられた場合、ブラシュケ積は次のように定義されます。

${\displaystyle B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z)}$

要因付き

${\displaystyle B(a,z)={\frac {|a|}{a}}\;{\frac {az}{1-{\overline {a}}z}}}$

が与えられます。これがの複素共役です。を取ると、 ${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle {\overline {a}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle B(0,z)=z}$

ブラシュケ積は開単位円上で解析的な関数を定義し、（重複度を数えて）ちょうど 0 となる。さらに、これはハーディ類に属する。^[1]${\displaystyle B(z)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle H^{\infty}}$

上記の収束基準を満たすシーケンスは、 Blaschkeシーケンスと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle a_{n}}$

ガーボル・セゲーの定理によれば、積分可能なノルムを持つハーディ空間 であり、 が恒等的にゼロでない場合、 の零点（確実に可算な数）はブラシュケ条件を満たす。 ${\displaystyle f\in H^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

有限ブラシュケ積は、（単位円板上の解析関数として）次のように特徴付けられる。 が開単位円板上の解析関数であり、閉単位円板上の連続関数に拡張できると 仮定する。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\overline {\Delta }}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$

は単位円をそれ自身に写像する。すると有限のブラシュケ積に等しい 。${\displaystyle f}$

${\displaystyle B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}}$

ここで、 は単位円上にあり、は零点 の重複度です。 特に、 が上記の条件を満たし、単位円内に零点を持たない場合、 は定数です (この事実は、調和関数の最大値原理を調和関数 に適用した結果でもあります)。 ${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle |a_{i}|<1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \log(|f(z)|)}$

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• W. ブラシュケ (1915)。 "Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen Analytischer Funktionen"。ベリヒテ数学-物理学。 Kl.（ドイツ語で）。67．ザックス。ゲゼル。デア・ウィス。ライプツィヒ：194–200。
• ピーター・コルウェル (1985)。ブラシュケ製品。ミシガン州アナーバー：ミシガン大学出版局。ISBN 0-472-10065-3. MR  0779463。
• コンウェイ、ジョン B. (1996)。複素変数の関数 II。数学の大学院テキスト。第 159 巻。シュプリンガー出版。pp. 273–274。ISBN 0-387-94460-5。
• Tamrazov, PM (2001) [1994]. 「Blaschke積」.数学百科事典. EMS Press .