完璧なグループ

数学、特に群論において、群が完全群であるとは、その群が自身の交換子部分群と等しい場合、または同等に、その群が非自明なアーベル商群を持たない場合をいう。

最小の（非自明な）完全群は交代群A ₅です。より一般的には、交換子部分群がアーベル商を持つ正規部分群であるため、任意の非アーベル単純群は完全群です。ただし、完全群は単純群である必要はありません。たとえば、 5 要素を持つ体上の特殊線形群SL(2,5)（またはそれと同型な二元二十面体群）は完全群ですが単純群ではありません（非自明な中心を持ち、${\displaystyle -\!\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)}$)

任意の2つの単純非可換群の直積は完全群ではあるが単純群ではない。2つの要素の交換子は[( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ])である。各単純群の交換子は生成集合を形成するため、交換子のペアは直積の生成集合を形成する。

基本群${\displaystyle SO(3)/I_{60}}$位数120の完全群である。^{[ 1 ]}

より一般的に、非自明な拡大である準単純群（単純群の完全中心拡大）（したがってそれ自体は単純群ではない）は完全ではあるが単純ではない。これには、射影特殊線形群 PSL( n , q ) の拡大として、解けない非単純有限特殊線形群SL ( n , q ) がすべて含まれる（SL(2,5) は PSL(2,5) の拡大であり、A _{5と同型である）。同様に、}実数および複素数上の特殊線形群は完全であるが、一般線形群 GL は決して完全ではない（自明な場合または の場合を除く）。$\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$（ここで、それは特殊線形群に等しい）行列式は非自明なアーベル化を与え、実際、交換子部分群はSLである。

しかし、非自明な完全群は必ずしも解けるとは限らない。また、4 はその位数(有限の場合)を割り切る。さらに、8 が位数を割り切らない場合、3 が割り切る。^{[ 2 ]}

すべての非巡回群は完全群ですが、その逆は真ではありません。5は完全群ですが、非巡回群ではありません (実際には、超完全群でもありません₎ 。( Berrick & Hillman 2003 )を参照してください。実際、${\displaystyle n\geq 5}$交互のグループ${\displaystyle A_{n}}$完璧だが、超完璧ではない。${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$のために${\displaystyle n\geq 8}$。

完全群の商群は必ず完全群である。単純群ではない非自明な有限完全群は、少なくとも1つのより小さな単純非可換群の拡大群でなければならない。しかし、それは複数の単純群の拡大群である場合もある。実際、完全群の直積も完全群である。

完全群Gは、別の完全群E（その普遍的中心拡大）と、核がEの中心にある全射f : E → Gを決定し、 f はこの性質を持つ普遍群となる。f の核は、1904 年にイサイ・シュールによって初めて研究されたことから、 Gのシュール乗数と呼ばれ、ホモロジー群と同型である。${\displaystyle H_{2}(G)}$。

代数的K理論のプラス構成において、群を考えると${\displaystyle \operatorname {GL} (A)={\text{colim}}\operatorname {GL} _{n}(A)}$可換環の場合${\displaystyle A}$すると、基本行列のサブグループ${\displaystyle E(R)}$完全部分群を形成する。

交換子部分群は交換子によって生成されるため、完全群には交換子の積であるが交換子ではない要素が含まれることがあります。Øystein Ore は1951 年に、5 つ以上の要素の交代群には交換子のみが含まれることを示し、すべての有限非アーベル単純群についてこれが当てはまると予想しました。 Ore の予想は 2008 年に最終的に証明されました。証明は分類定理に基づいています。^{[ 3 ]}

完全群に関する基本的な事実は、オットー・グリュンによるグリュンの補題（グリュン 1935 、Satz 4、^{[注 1 ]} p. 3）である。完全群をその中心で割った商群は中心を持たない（自明な中心を持つ）。

証明: Gが完全群である場合、 Z ₁とZ _2をGの上中心列の最初の 2 項とします(つまり、Z _1はGの中心であり、Z ₂ / Z _1はG / Z ₁の中心です)。H と K が G の部分群である場合、HとKの交換子を [ H , K ] とします。また、 [ Z 1 , G ] = 1 および [ Z 2 , G ] ⊆ Z 1 であることに注意し、_{したがって}( [ X , _Y , Z ] = _[ [ X , Y ] , Z ]という慣例に従います)。

${\displaystyle [Z_{2},G,G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1}$

${\displaystyle [G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.}$

3つの部分群の補題（または同等に、Hall-Witt恒等式） により、[ G , Z ₂ ] = [[ G , G ], Z ₂ ] = [ G , G , Z ₂ ] = {1}が成り立つ。したがって、Z ₂ ⊆ Z ₁ = Z ( G ) であり、商群G / Z ( G )の中心は自明群である。

その結果、完全群のすべての高次の中心（つまり、上位中心系列の高次の項）は中心に等しくなります。

群ホモロジーの観点から言えば、完全群とは、第一ホモロジー群がゼロとなる群、すなわちH ₁ ( G , Z ) = 0 のことである。なぜなら、群の第一ホモロジー群は群のアーベル化に等しく、完全とは自明なアーベル化を意味するからである。この定義の利点は、強化が可能であることである。

• 超完全群とは、最初の2つの相同群が消滅する群のことである。${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0}$。
• 非巡回群とは、その（縮約）相同群がすべて消滅する群のことである。$\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.}$（これは、以下のグループを除くすべての相同性グループに相当します。${\displaystyle H_{0}}$消失。）

特に代数的K理論の分野では、群の交換子部分群が完全群である場合、その群は準完全群であると言われます。記号で表すと、準完全群はG ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾となる群（交換子部分群の交換子は交換子部分群である）であり、完全群はG ⁽¹⁾ = Gとなる群（交換子部分群は群全体である）です。（Karoubi 1973 、pp. 301–411）および（Inassaridze 1995 、p. 76）を参照してください。  

• ワイススタイン、エリック W. 「完全群」 . MathWorld .
• ワイスタイン、エリック W. 「グリュンの補題」。マスワールド。