等比数列

数学において、等比等級数とは、等比数列の要素と等差数列の対応する要素を要素ごとに乗算した結果である。等差等級数のn番目の要素は、等差数列のn番目の要素と等比数列のn番目の要素の積である。 ^[1]等差等級数とは、等差等級数を構成する要素の項の和である。等差等級数と級数は、確率論、特にベルヌーイ過程における期待値の計算など、さまざまな用途で用いられる。

例えば、シーケンス

${\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }$

は算術幾何級数である。算術要素は分子（青）に現れ、幾何要素は分母（緑）に現れる。この数列の無限要素の級数和はガブリエルの階段と呼ばれ、その値は2である。^{[2] [3]}一般に、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\color {blue}k}{\color {green}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^{2}}}\quad \mathrm {for\ } 0<r<1.}$

算術幾何列というラベルは、算術列と幾何列の両方の特性を兼ね備えたさまざまなオブジェクトにも付けられることがあります。たとえば、フランス語の算術幾何列という概念は、という形式の再帰関係を満たす列を指します。これは、算術列の定義再帰関係と幾何列の定義再帰関係を組み合わせたもの です。したがって、これらの列は、定数係数を持つ非同次 1 次線形再帰という特殊なクラスの線形差分方程式の解です。 ${\displaystyle u_{n+1}=ru_{n}+d}$${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+d}$${\displaystyle u_{n+1}=ru_{n}}$

等差数列の要素は、等差数列（青色）の要素（初期値および公差）と等比数列（緑色）の対応する要素（初期値および公比）の積である。したがって、^[4]${\displaystyle (A_{n}G_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A_{n}=a+(n-1)d,}$ ${\displaystyle (G_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle G_{n}=br^{n-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}G_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\A_{2}G_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\A_{3}G_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\A_{n}G_{n}&=\color {blue}(a+(n-1)d)\color {green}br^{n-1}\color {black}.\end{aligned}}}$

これらの4つのパラメータは多少冗長であり、3つに減らすことができます。${\displaystyle ab,}$ ${\displaystyle bd,}$${\displaystyle r.}$

シーケンス

${\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }$

は、パラメータ、、を持つ算術幾何列です。 ${\displaystyle d=b=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle r=1/2}$

等差幾何級数の 最初のn項の和は次の式で表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}A_{k}G_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(a+(k-1)d\right)br^{k-1}=b\sum _{k=0}^{n-1}\left(a+kd\right)r^{k}\\&=ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n-1}\end{aligned}}}$

ここで、およびはそれぞれ等差数列と等比数列の i番目の要素です。${\textstyle A_{i}}$${\textstyle G_{i}}$

この部分和は閉じた形式の表現を持つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}}$

乗算^[4]

${\displaystyle S_{n}=ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n-1}}$

rによる

${\displaystyle rS_{n}=abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n}.}$

S _nからrS _{n を}引き、両辺を で割り、級数の伸縮法（第2の等式）と有限等比級数の和の公式（第5の等式）を用いると、次の式が得られる。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}/b={}&\left(a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n-1}\right)\\[5pt]&{}-\left(ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n}\right)\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+(n-1)d\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+dr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)r^{n},\\S_{n}=&{\frac {b}{1-r}}\left(a-(a+nd)r^{n}+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}\right)\\=&{\frac {ab-(a+nd)br^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(b-br^{n})}{(1-r)^{2}}}\\=&{\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr(G_{1}-G_{n+1})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}$

主張通り。

−1 < r < 1のとき、等比数列の和S、すなわち数列の要素の部分和の極限は^{[4]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {drG_{1}}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}$

r が上記の範囲外であり、bがゼロでなく、aとd が両方ともゼロでない場合、極限は存在せず、級数は発散します。

合計

${\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots }$、

は、、、およびで定義される等差幾何級数の和であり、 に収束します。この数列は、「表」を得るのに必要なコイン投げの期待回数に対応します。k回目のコイン投げで初めて表が出る確率は次のとおりです。 ${\displaystyle d=b=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle S=2}$${\displaystyle T_{k}}$

${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}}$。

したがって、最初の「裏」が出るまでの期待回数は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=2.}$

同様に、合計

${\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{5/6}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{6/5}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{2}}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{3}}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{4}}}}+\cdots }$

は、、、、およびで定義される等差幾何級数の和であり、6 に収束します。この数列は、サイコロを振って特定の値 (たとえば「5」) を得るために必要な 6 面サイコロの期待値に対応します。一般に、、、、およびを含むこれらの級数は、「成功確率」を持つベルヌーイ過程における「最初の成功までの試行回数」の期待値を与えます。各結果の確率は幾何分布に従い、級数の項に等差数列因子を提供します。一方、結果ごとの試行回数は、項に算術数列因子を提供します。 ${\displaystyle d=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=(1/6)/(5/6)}$${\displaystyle r=5/6}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=p/(1-p)}$${\displaystyle r=(1-p)}$${\displaystyle p}$

• D. カッター。IIT-JEE のためのピアソン数学ガイド、第 2 版 (新版)。ピアソン エデュケーション インド。p. 10.8。ISBN 81-317-2876-5。
• P. グプタ。総合数学XI。ラクシュミ出版。p. 380。ISBN 81-7008-597-7。