逆ガウス分布

逆ガウス分布

確率密度関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \right)}$
パラメータ	${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left[-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right]}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \Phi \left({\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right)}$ ${\displaystyle {}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left(-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right)}$ 標準正規分布（標準ガウス分布）のcdfは どこにあるか${\displaystyle \Phi}$
平均	${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [{\frac {1}{X}}]={\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}}$
モード	${\displaystyle \mu \left[\left(1+{\frac {9\mu ^{2}}{4\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-{\frac {3\mu }{2\lambda }}\right]}$
分散	${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [{\frac {1}{X}}]={\frac {1}{\mu \lambda }}+{\frac {2}{\lambda ^{2}}}}$
歪度	${\displaystyle 3\left({\frac {\mu }{\lambda }}\right)^{1/2}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {15\mu }{\lambda }}}$
MGF の	${\displaystyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$
CF	${\displaystyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}\mathrm {i} t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$

確率論において、逆ガウス分布（ワルド分布とも呼ばれる）は、（0,∞）を サポートする2パラメータの連続確率分布の族です。

その確率密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {\lambda) (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}{\biggr )}}$

x > 0の場合、は平均、は形状パラメータです。^[1]${\displaystyle \mu >0}$${\displaystyle \lambda >0}$

逆ガウス分布には、ガウス分布に類似した特性がいくつかあります。名前が誤解を招く可能性があります。ガウス分布が固定時間におけるブラウン運動のレベルを表すのに対し、逆ガウス分布は、正のドリフトを伴うブラウン運動が固定された正のレベルに到達するまでの時間の分布を表すという点でのみ「逆」です。

そのキュムラント生成関数（特性関数の対数）^[矛盾]は、ガウス確率変数のキュムラント生成関数の逆関数です。

ランダム変数 Xが平均μと形状パラメータλを持つ逆ガウス分布であることを示すには、と書きます。 ${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\!}$

逆ガウス分布の確率密度関数（pdf）は、次式で表される単一のパラメータ形式を持つ。

${\displaystyle f(x;\mu ,\mu ^{2})={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\ frac {(x-\mu )^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

この形式では、分布の平均と分散は等しく、${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\text{Var}}(X).}$

また、単一パラメータ逆ガウス分布の累積分布関数（cdf）は、標準正規分布と次のように関係している。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X<x)&=\Phi (-z_{1})+e^{2\mu }\Phi (-z_{2}),\end{aligned} }}$

ここで、は標準正規分布の累積分布関数である。変数と は恒等式によって互いに関連している。${\displaystyle z_{1}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}-x^{1/2}}$${\displaystyle z_{2}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}+x^{1/2},}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{2}^{2}=z_{1}^{2}+4\mu .}$

単一パラメータ形式では、MGFは次のように簡略化される。

${\displaystyle M(t)=\exp[\mu (1-{\sqrt {1-2t}})].}$

二重パラメータ形式の逆ガウス分布は、適切なスケーリングによって単一パラメータ形式に変換することができる。${\displaystyle f(x;\mu,\lambda)}$${\displaystyle f(y;\mu _{0},\mu _{0}^{2})}$${\displaystyle y={\frac {\mu ^{2}x}{\lambda }},}$${\displaystyle \mu _{0}=\mu ^{3}/\lambda .}$

逆ガウス分布の標準形は

${\displaystyle f(x;1,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-1)^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

X _{i が}i  = 1, 2, ...,  nに対して分布を持ち 、すべてのX _iが独立している場合、 ${\displaystyle \operatorname {IG} (\mu _{0}w_{i},\lambda _{0}w_{i}^{2})\,\!}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}$

ご了承ください

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X_{i})}{\operatorname {E} (X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _{0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}$

はすべてのiに対して一定です。これは合計の必要条件です。そうでなければ、 S は逆ガウス分布になりません。

任意のt > 0 に対して、

${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,tX\sim \operatorname {IG} (t\mu ,t\lambda ).}$

逆ガウス分布は、自然パラメータ− λ /(2 μ ² ) と − λ /2、および自然統計量Xと 1/ Xを持つ2 パラメータ指数族です。

固定の場合、それは単一パラメータの自然指数分布族^[2]でもあり、その基本分布は密度 ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle h(x)={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}$

確かに、 ${\displaystyle \theta \leq 0}$

${\displaystyle p(x;\theta )={\frac {\exp(\theta x)h(x)}{\int \exp(\theta y)h(y)dy}}}$

は実数上の密度である。積分を評価すると、

${\displaystyle p(x;\theta )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}+\theta x-{\sqrt {-2\lambda \theta }}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}$

を代入すると、上記の式は と等しくなります。 ${\displaystyle \theta =-\lambda /(2\mu ^{2})}$${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}$

確率過程 X _{t を}次のように表すものと する。

${\displaystyle X_{0}=0\quad }$

${\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\quad \quad \quad \quad }$

ここで、 W _{t は}標準ブラウン運動です。つまり、X _{t は}ドリフトを伴うブラウン運動です。 ${\displaystyle \nu >0}$

次に、X _tによる固定レベルの最初の通過時間は、逆ガウス分布に従って分布します。 ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim \operatorname {IG} \left({\frac {\alpha }{\nu }},\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu x)^{2}}{2\sigma ^{2}x}}{\biggr )}}$

つまり

${\displaystyle P(T_{\alpha }\in (T,T+dT))={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi T^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu T)^{2}}{2\sigma ^{2}T}}{\biggr )}dT}$

（シュレーディンガー^[3]の式19、スモルホフスキー^[4]の式8、フォークス^[5]の式1を参照）。

上記の一般的な特殊ケースは、ブラウン運動にドリフトがない場合に発生します。その場合、パラメータμは無限大に近づき、固定レベルαの最初の通過時間は確率密度関数

${\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2\sigma ^{2}x}}\right)}$

^{（Bachelier [6] :74  [7] :39}も参照）。これはパラメータがとであるレヴィ分布である。 ${\displaystyle c=\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}}$${\displaystyle \mu =0}$

このモデルでは

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}$

すべてのw _iが既知で、( μ ,  λ )が未知で、すべてのX _{i が} 独立している場合、次の尤度関数を持つ。

${\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}$

尤度方程式を解くと、次の最大尤度推定値が得られる。

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\widehat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\widehat {\mu }}}\right).}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$独立しており、 ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right),\qquad {\frac {n}{\widehat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}$

以下のアルゴリズムが使用される可能性がある。^[8]

平均0、標準偏差1の正規分布からランダム変量を生成する

${\displaystyle \displaystyle \nu \sim N(0,1).}$

値を二乗する

${\displaystyle \displaystyle y=\nu ^{2}}$

そして関係式を使う

${\displaystyle x=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}.}$

0から1の間の均一分布からサンプリングされた別のランダム変数を生成します。

${\displaystyle \displaystyle z\sim U(0,1).}$

戻り 値: 戻り値: ${\displaystyle z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}}$${\displaystyle \displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}.}$

Javaのサンプルコード:

public double inverseGaussian ( double mu , double lambda ) { Random rand = new Random (); double v = rand . nextGaussian (); // 平均 0、標準偏差 1 の正規分布からサンプルを抽出しますdouble y = v * v ; double x = mu + ( mu * mu * y ) / ( 2 * lambda ) - ( mu / ( 2 * lambda )) * Math . sqrt ( 4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y ); double test = rand . nextDouble (); // 0 から 1 の間の一様分布からサンプルを抽出しますif ( test <= ( mu ) / ( mu + x )) return x ; else return ( mu * mu ) / x ; }      
        
         
         
                                       
         
           
         
    
             

matplotlibとNumPy を使用してPythonで Wald 分布をプロットするには、次のようにします。

 matplotlib.pyplot を pltとして インポートし、 numpy をnpとしてインポートします。
   

h  =  plt . hist ( np . random . wald ( 3 ,  2 ,  100000 )、 ビン= 200 、 密度= True )

plt .表示()

• ならば、任意の数^{[1]に対して}${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$${\displaystyle kX\sim \operatorname {IG} (k\mu ,k\lambda )}$${\displaystyle k>0.}$
• もしそうなら${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} (n\mu ,n^{2}\lambda )\,}$
• もしもその時${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n\,}$${\displaystyle {\bar {X}}\sim \operatorname {IG} (\mu ,n\lambda )\,}$
• もしそうなら${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu _{i},2\mu _{i}^{2})\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},2\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)^{2}\right)\,}$
• もしならば。^[9]${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$${\displaystyle \lambda (X-\mu )^{2}/\mu ^{2}X\sim \chi ^{2}(1)}$

逆ガウス分布（ワルド分布）と指数分布（元ワルド分布）の畳み込みは、心理学における反応時間のモデルとして使われており^[10] 、視覚探索がその一例である。^[11]

この分布は、1900年にルイ・バシュリエ^{[6] [7]}によって、株価が初めて特定の価格に達する時間として初めて導出されたようです。1915年にエルヴィン・シュレーディンガー^[3]とマリアン・v・スモルホフスキー^[4]が独立に、ブラウン運動が最初に通過するまでの時間として使用しました。再生モデルの分野では、1940年に説明したヒューゴ・ハドヴィガーにちなんでハドヴィガー関数として知られています。 ^[12] アブラハム・ワルドは、1944年にこの分布を導出しました^[13]。逐次確率比検定におけるサンプルの極限形式として。逆ガウス分布という名前は、1945年にモーリス・トゥイーディーによって提案されました。 ^{[14]トゥイーディーは、1956年[15]}と1957年^{[16] [17]}にこの分布を調査し、その統計的特性のいくつかを確立しました。この分布は1978年にフォークスとチカラによって広範囲に検討された。^[5]

ランダムな現象の発生間隔が逆ガウス分布に従うと仮定すると、指定された時間枠内でのこのイベントの発生回数の確率分布は、定格逆ガウス分布と呼ばれます。^{[18]この分布の1次モーメントと2次モーメントは計算されますが、}モーメント生成関数の導出は未解決の問題のままです。

確率密度関数の式は単純であるにもかかわらず、逆ガウス分布の数値確率計算では、すべてのパラメータ値に対して浮動小数点演算で完全な機械精度を達成するために特別な注意が必要です。^[19] 逆ガウス分布の関数は、rmutil、^[20]、[21] SuppDists、^[22] STAR、^[23] invGauss、^[24] LaplacesDemon、^{[25] statmodなどのいくつかのパッケージによって}Rプログラミング言語に提供されています。^[26]

• 一般化逆ガウス分布
• トゥイーディー分布—逆ガウス分布はトゥイーディー指数分散モデルの一種である。
• 時間を止める

• Høyland, Arnljot ; Rausand, Marvin (1994).システム信頼性理論. ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0-471-59397-3。
• Seshadri, V. (1993).逆ガウス分布. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-852243-0。

• Wolfram ウェブサイトの逆ガウス分布。