磁気に関するガウスの法則

物理学において、磁気に関するガウスの法則は、古典的電気力学の基礎となる4 つのマクスウェル方程式の 1 つです。この法則は、磁場B の発散がゼロであること、 ^[1]言い換えれば、磁場 B がソレノイド ベクトル場であることを述べています。これは、磁気単極子が存在しないという主張に相当します。 ^[2]「磁荷」ではなく、磁気の基本実体は磁気双極子です。(単極子が見つかった場合、この法則は、以下に詳述するように修正される必要があります。)

磁気に関するガウスの法則は、微分形式と積分形式の2 つの形式で記述できます。これらの形式は、発散定理により同等です。

「磁気に関するガウスの法則」^[1]という名称は、一般的には使用されていません。この法則は「自由磁極の不在」 ^[2]とも呼ばれます。平面波の場合、偏光が伝播方向に対して横方向であることが要求されるため、 「横方向要件」^[3]とも呼ばれます。

磁気に関するガウスの法則の微分形式は次のようになります。

ここで∇·は発散を表し、Bは磁場です。

磁気に関するガウスの法則の積分形式は次のように述べられます。

ここで、Sは任意の閉じた面（右の図を参照）、はS を通る磁束、d Sはベクトルで、その大きさは面Sの微小部分の面積、方向は外向きの表面法線です（詳細については 表面積分を参照）。${\displaystyle \Phi _{B}}$

したがって、磁気に関するガウスの法則は、閉じた表面を通る正味の磁束はゼロに等しいと述べています。

磁気に関するガウスの法則の積分形式と微分形式は、発散定理により数学的には同等です。ただし、特定の計算ではどちらか一方を使用する方が便利な場合があります。

この形式の法則は、空間内の各体積要素について、その体積に出入りする「磁力線」の数が正確に同じであることを示しています。空間内のどの点でも、総「磁荷」が蓄積されることはありません。たとえば、磁石の南極は北極とまったく同じ強さであり、北極を伴わない自由に浮遊する南極 (磁気単極) は許可されません。対照的に、これは電場や重力場などの他の場には当てはまりません。これらの場では、空間の体積内に 総電荷または質量が蓄積される可能性があります。

ヘルムホルツ分解定理により、磁気に関するガウスの法則は次の式と等価である: ^{[4] [5]}

ベクトル場Aが存在し、 $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

ベクトル場Aは磁気ベクトルポテンシャルと呼ばれます。

与えられたBフィールドに対してこの式を満たすA は複数存在することに注意してください。実際には、無限に存在します。つまり、∇ ϕの形式の任意のフィールドをAに追加して、恒等式 (ベクトル解析の恒等式を参照) により、 Aの別の選択肢を得ることができます。 勾配の回転はゼロベクトル場であるためです。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \phi )}$$ $${\displaystyle \nabla \times \nabla \phi ={\boldsymbol {0}}}$$

Aにおけるこの任意性はゲージ自由度と呼ばれます。

磁場B は、磁力線（磁束線とも呼ばれる）で表すことができます。磁力線とは、方向がBの方向に対応し、面密度がBの大きさに比例する曲線の集合です。磁気に関するガウスの法則は、磁力線には始まりも終わりもないという主張に相当します。つまり、磁力線はそれぞれ、閉じたループを形成するか、完全に合流することなく永遠に巻き付くか、無限に伸びるかのいずれかです。

磁気単極子が発見された場合、ガウスの磁気法則によれば、Bの発散は磁荷密度 ρ _mに比例し、電場のガウスの法則に類似することになります。正味の磁荷密度がゼロ ( ρ _m = 0 ) の場合、ガウスの磁気法則の元の形が結果として得られます。

SIで使用するための修正式は標準 ではなく、磁荷と電流の定義式の選択によって異なります。あるバリエーションでは磁荷の単位はウェーバーで、別のバリエーションではアンペアメートルです。

ここでμ _{0 は}真空透磁率である。

これまでのところ、磁気単極子の例は広範囲にわたる調査で議論されていますが^[9]、いくつかの論文ではその動作に一致する例が報告されています ^{[10] 。}

磁気単極子が存在しないというこの考えは、1269 年にペトルス・ペレグリヌス・ド・マリクールによって提唱されました。彼の研究はウィリアム・ギルバートに大きな影響を与え、ギルバートの 1600 年の著書「磁石論」によってこの考えはさらに広まりました。1800 年代初頭にマイケル・ファラデーがこの法則を再導入し、その後ジェームズ・クラーク・マクスウェルの電磁場方程式 に取り入れられました。

数値計算では、数値解は数値手法の離散化誤差のために磁気に関するガウスの法則を満たさないことがある。しかし、多くの場合、例えば磁気流体力学では、磁気に関するガウスの法則を正確に（機械精度まで）維持することが重要である。離散レベルで磁気に関するガウスの法則に違反すると、強い非物理的な力が導入される。エネルギー保存の観点から、この条件に違反すると非保存的なエネルギー積分が生じ、誤差は磁場の発散に比例する。^[11]

数値解析において磁性に関するガウスの法則を保存する方法は様々であり、発散クリーニング技術^[12] 、制約輸送法^[13] 、ポテンシャルベースの定式化^[14]、および有限要素微分形式を持つ非構造メッシュ上に安定した構造保存アルゴリズムが構築されるド・ラーム複素ベースの有限要素法^{[15] [16]}などがある。

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