Gリング

可換代数学において、G環（またはグロタンディーク環）とは、その局所環から完備化への写像が正則（下記参照）であるようなネーター環のことである。代数幾何学や数論において自然に現れるネーター環はほぼ全てG環であり、G環ではないネーター環の例を構成することは非常に難しい。この概念はアレクサンダー・グロタンディークにちなんで名付けられた。

G環とJ2環の両方である環は準優秀環と呼ばれ、さらに普遍懸垂線である場合は優秀環と呼ばれる。

• 体kを含む(ネーター) 環Rは、 kの任意の有限拡大Kに対して環R ⊗ _k Kが正則環である場合、k上で幾何学的に正則であると呼ばれる。  
• RからSへの環の準同型写像は、平坦であり、かつ任意の p ∈ Spec( R ) に対してファイバーS ⊗ R k ( p )_がpの剰余体 k ( p ) 上で幾何学的に正則である場合、正則であると呼ばれる。 （ポペスクの定理も参照。）    
• 環が局所G環であるとは、それがネーター局所環であり、かつ（その最大イデアルに関する）完備化への写像が正則である場合をいう。
• 環がG環であるとは、その環がネーター環であり、かつ素イデアルにおけるすべての局所化が局所G環である場合をいう。（極大イデアルについてのみ確認すれば十分であり、特に局所G環はG環である。）

• どの分野もGリングだ。
• 完全なネーター的局所環はすべてG環である。
• RまたはC上の有限個の変数に関する収束べき級数のすべての環はG環である。
• 標数0のすべてのデデキント整域、特に整数環はG環ですが、正標数ではG環ではないデデキント整域（および離散付値環）が存在します。
• Gリングのあらゆる局在化はGリングである。
• Every finitely generated algebra over a G-ring is a G-ring. This is a theorem due to Grothendieck.

Here is an example of a discrete valuation ring A of characteristic p>0 which is not a G-ring. If k is any field of characteristic p with [k : k^p] = ∞ and R = k[[x]] and A is the subring of power series Σa_ixⁱ such that [k^p(a₀,a₁,...) : k^p] is finite then the formal fiber of A over the generic point is not geometrically regular so A is not a G-ring. Here k^p denotes the image of k under the Frobenius morphisma→a^p.

• A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique IV Publ. Math. IHÉS 24 (1965), section 7
• H. Matsumura, Commutative algebraISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.