カービー計算

数学において、幾何学的位相幾何学におけるカービー計算は、ロビオン・カービーにちなんで名付けられ、有限の一連の動きであるカービー動きを使用して3 次元球面上のフレームリンクを修正する方法です。4 次元のサーフ理論を使用して、カービーは、MとN がそれぞれフレームリンクLとJに対するデーン手術の結果としての3次元多様体である場合、 LとJ がカービー動きのシーケンスによって関連付けられている場合にのみ、それらが同相であることを証明しました。リコリッシュ-ウォレスの定理によると、任意の閉じた向き付け可能な3 次元多様体は、3 次元球面内のいずれかのリンクに対するそのような手術によって得られます。

文献には「カービー移動」という用語の正確な使用法に関して曖昧さが多少ある。「カービー計算」の異なる表現には異なる移動のセットがあり、これらはカービー移動と呼ばれることもある。カービーの元の定式化には「ブローアップ」と「ハンドルスライド」という 2 種類の移動が含まれていた。ロジャー・フェンとコリン・ルークは、フェン・ルーク移動という単一の移動で同等の構成を示した。これはカービー計算の多くの説明と拡張に登場する。 多くの位相学者がカービー計算を学んだデール・ロルフセンの著書「結び目とリンク」では、1) 手術係数が無限大のコンポーネントを削除または追加する、2) 結び目のないコンポーネントに沿ってねじり、手術係数を適切に変更する (これはロルフセンねじりと呼ばれる)、という 2 つの移動のセットについて説明している。これにより、カービー計算を有理手術に拡張することができる。

手術図を修正するさまざまなトリックもあります。そのような便利な動きの 1 つがスラムダンクです。

4次元多様体を説明するために、図と動きの拡張セットが使用される。3次元球面の枠付きリンクは、4次元球に2次元ハンドルを取り付けるための指示をエンコードする。（この多様体の3次元境界は、上記のリンク図の3次元多様体解釈である。）1次元ハンドルは、次のいずれかで表される。

1. 3ボールのペア（1ハンドルの取り付け領域）または、より一般的には、
2. 結び目のない円と点。

点は、点線の円を境界とする標準的な2次元円板の近傍が4次元球の内部から切り取られることを示しています。^[1] この2次元ハンドルを切り取ることは、1次元ハンドルを追加することと同じです。3次元ハンドルと4次元ハンドルは通常、図には示されません。

• 閉じた滑らかな 4 次元多様体は通常、ハンドル分解によって記述されます。
• 0 ハンドルは単なるボールであり、アタッチするマップは分離した結合です。
• 1 ハンドルは 2 つの分離した 3ボールに沿って取り付けられます。
• 2 次元ハンドルは立体トーラスに沿って取り付けられています。この立体トーラスは3 次元多様体に埋め込まれているため、4 次元多様体上のハンドル分解と3 次元多様体における結び目理論の間には関係があります。
• インデックスが 1 異なるハンドルのペアは、そのコアが十分に単純な方法で互いにリンクされており、基礎となる多様体を変更せずにキャンセルできます。同様に、このようなキャンセル ペアを作成することもできます。

滑らかな 4 次元多様体の 2 つの異なる滑らかなハンドルボディ分解は、添付マップの同位体の有限シーケンスと、ハンドル ペアの作成/キャンセルによって関連付けられます。

• エキゾチック${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• カービー、ロビオン(1978)。「  S ^{3のフレーム}リンクの計算」。Inventiones Mathematicae。45 (1): 35–56。Bibcode : 1978InMat..45...35K。doi :10.1007 / BF01406222。MR 0467753。S2CID 120770295  。
• Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979). 「Kirbyのリンク計算について」.トポロジー. 18 (1): 1–15. doi : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 . MR  0528232.
• ゴンプ、ロバート、スティプシッツ、アンドラス (1999)。4次元多様体とカービー計算。数学大学院研究。第20巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-0994-6. MR  1707327。