アクブルットコルク

位相幾何学において、アクブルトコルクは、4次元では滑らかなh-コボルディズム定理が成り立たないことを示すためによく使われる構造である。トルコの 数学者 セルマン・アクブルトにちなんで名付けられた。^{[1] [2]}

境界に反転を持つコンパクトで 収縮可能な スタイン 4 次元多様 体は、自己同相写像に拡張できるが内部で自己微分同相写像に拡張できない場合、アクブルト コルクと呼ばれます(したがって、コルクは境界に対して自身のエキゾチックなコピーです)。コルクを から取り外して を介して再接着するとの滑らかな構造が変化する(この操作は「コルクねじれ」と呼ばれます)場合、コルクは滑らかな 4次元多様体のコルクと呼ばれます。閉じた単連結 4 次元多様体のエキゾチックなコピーはどれも、コルクねじれ 1 つ分だけと異なります。^{[3] [4] [5] [6] [7]}${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (C,F)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

アクブルット コルクの基本的な考え方は、h-コボディズム定理を 4 次元で使用しようとすると、コルクはコボディズムに関連する空間のすべてのエキゾチックな特性を含むサブコボディズムであり、コルクを削除すると 2 つの空間が自明に h-コボディズムかつ滑らかになるというものです。これは、4 次元では、定理は 2 つの多様体が微分同相(同相のみ) であることを示してはいませんが、微分同相であることから「遠くない」ことを示しています。^[8]

これを（証明なしで）説明するには、 2つの4次元多様体と間の滑らかなh-コボルディズムを考えます。すると、内部に、との間に部分コボルディズムがあり、微分同相写像があります 。${\displaystyle W^{5}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle W}$${\displaystyle K^{5}}$${\displaystyle A^{4}\subset M}$${\displaystyle B^{4}\subset N}$

${\displaystyle W\setminus \operatorname {int} \,K\cong \left(M\setminus \operatorname {int} \,A\right)\times \left[0,1\right],}$

これはn ≥ 5の h-コボルディズム定理の内容です (ここで int  X は多様体Xの内部を指します)。さらに、AとB は微分同相であり、微分同相は境界 ∂ A  = ∂ B上の反転です。^{[9]したがって、h-コボルディズム}K はAとその「反転」像Bを結び付けていることがわかります。この部分多様体Aは Akbulut コルクです。

• スコルパン、アレクサンドル（2005）「4次元多様体のワイルドワールド」、ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学協会
• Asselmeyer-Maluga, Torsten; Brans, Carl H (2007)、Exotic Smoothness and Physics: Differential Topology and Spacetime Models、ニュージャージー、ロンドン：World Scientific