ドルガチェフ面

数学において、 ドルガチェフ面は、イゴール・ドルガチェフ(1981)によって導入された特定の単連結 楕円面である。それらは、どの 2 つも微分同相ではない同相単連結コンパクト4 次元多様体 の無限族の例として使用できる。

9 点における射影平面の拡大は 、すべての繊維が既約である楕円繊維分割として実現できます。ドルガチェフ面は、ある の 2 つの滑らかな繊維に2 次およびq 次の対数変換を適用することで得られます。 ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{q}}$${\displaystyle q\geq 3}$

ドルガチェフ面は単連結であり、第2コホモロジー群上の双線型形式は符号 が奇数である（したがってユニモジュラ格子である）。幾何学的種数は0で、小平次元は1である。 ${\displaystyle (1,9)}$ ${\displaystyle I_{1,9}}$ ${\displaystyle p_{g}}$

Simon Donaldson  (1987) は、単連結な同相だが微分同相ではない 4 次元多様体 との最初の例を発見しました。より一般的には、面と面は常に同相ですが、 でない限り微分同相ではありません。 ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{3}}$${\displaystyle X_{q}}$${\displaystyle X_{r}}$${\displaystyle q=r}$

Selman Akbulut  (2012) は、ドルガチェフ面には1 ハンドルと 3 ハンドルのない ハンドルボディ分解があることを示しました。${\displaystyle X_{3}}$

• Akbulut, Selman (2012). 「ドルガチェフ面。Haler–Kas–Kirby予想の反証」。Commentarii Mathematici Helvetici . 87 (1): 187– 241. arXiv : 0805.1524 . Bibcode :2008arXiv0805.1524A. ​​doi :10.4171/CMH/252. MR  2874900.
• ウルフ・P・バース;クラウス・ヒューレック;ピーターズ、クリスAM。ヴァン・デ・ヴェン、アントニウス（2004）。コンパクトな複雑なサーフェス。Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3)。 Vol. 4. シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン。土井：10.1007/978-3-642-96754-2。ISBN 978-3-540-00832-3MR  2030225 。
• Dolgachev, Igor (2010)、「代数面」、代数面、CIME サマースクール、第 76 巻、ハイデルベルク: Springer、pp.  97– 215、doi :10.1007/978-3-642-11087-0_3、MR  2757651${\displaystyle p_{g}=g=0}$
• ドナルドソン、サイモン K. (1987)。「非合理性と h-コボルディズム予想」。微分 幾何学ジャーナル。26 (1): 141– 168。doi : 10.4310/ jdg /1214441179。MR 0892034。