フェルミ・ディラック統計

フェルミ・ディラック統計は、パウリの排他原理に従う、相互作用しない多数の同一の粒子からなるシステムの物理学に適用される量子統計の一種である。結果は、エネルギー状態上の粒子のフェルミ・ディラック分布である。これは、1926年にそれぞれ独立に分布を導出したエンリコ・フェルミとポール・ディラックにちなんで名付けられました。 ^{[1] [2]フェルミ・ディラック統計は}統計力学の分野の一部であり、量子力学の原理を使用しています。

フェルミ・ディラック統計は、熱力学的平衡にある、半整数 スピン（1/2、3/2など）を持つ、同一で区別のつかない粒子（フェルミオンと呼ばれる）に適用されます。粒子間の相互作用が無視できる場合、システムは単一粒子のエネルギー状態によって記述できます。その結果、これらの状態上の粒子のフェルミ・ディラック分布が得られ、2つの粒子が同じ状態を占めることはできず、システムの特性にかなりの影響を与えます。フェルミ・ディラック統計は、スピンが1/2のフェルミオンの一種である電子に最も一般的に適用されます。

フェルミ-ディラック統計に対応するのがボーズ-アインシュタイン統計で、これはボソンと呼ばれる整数スピン（0、1、2など）を持つ同一で区別できない粒子に適用されます。古典物理学では、マクスウェル-ボルツマン統計は、同一であり区別可能として扱われる粒子を説明するために使用されます。ボーズ-アインシュタイン統計とマクスウェル-ボルツマン統計の両方において、フェルミ-ディラック統計とは異なり、複数の粒子が同じ状態を占めることができます。

1926年にフェルミ・ディラック統計が導入される前は、一見矛盾する現象のため、電子の挙動のいくつかの側面を理解することは困難でした。たとえば、室温での金属の電子熱容量は、電流内の電子の100倍少ない電子から生じているように見えました。^{[3]また、室温で金属に高電界を印加することによって生成される}放出電流が温度にほとんど依存しない理由も理解が困難でした。

当時の金属の電子理論であるドルーデモデルが直面した困難は、電子がすべて（古典的な統計理論によれば）同等であるとみなしたことによるものでした。言い換えれば、各電子はボルツマン定数 k _Bのオーダーの量を比熱に寄与すると信じられていました。この問題は、フェルミ-ディラック統計が開発されるまで未解決のままでした。

フェルミ・ディラック統計は、1926年にエンリコ・フェルミ^[1]とポール・ディラック^[2]によって初めて発表されました。マックス・ボルンによると、パスクアル・ジョルダンは1925年に同じ統計を開発し、パウリ統計と名付けましたが、タイムリーに発表されませんでした。^{[4] [5] [6]}ディラックによると、これはフェルミによって最初に研究され、ディラックはそれを「フェルミ統計」と呼び、対応する粒子を「フェルミオン」と呼びました。^[7]

フェルミ＝ディラック統計は1926年にラルフ・ファウラーによって、恒星が白色矮星に崩壊する過程を説明するために応用されました。^[8] 1927年にアーノルド・ゾンマーフェルトはこれを金属中の電子に適用し自由電子モデルを開発しました。^[9]そして1928年にファウラーとローター・ノルドハイムはこれを金属からの電界電子放出に適用しました。 ^[10]フェルミ＝ディラック統計は物理学において今も重要な部分を占めています。

熱力学的平衡にある同一のフェルミオン系の場合、単一粒子状態iにおけるフェルミオンの平均数はフェルミ・ディラック（F-D）分布で与えられる：^{[11] [注1]}

ここでk _Bはボルツマン定数、Tは絶対温度、ε _{i は}単一粒子状態iのエネルギー、μ は全化学ポテンシャルである。分布は条件によって正規化される。

${\displaystyle \sum _{i}{\bar {n}}_{i}=N}$

は正または負の値をとる可能性があることを表すために使用できます。 ^[12]${\displaystyle \mu =\mu (T,N)}$${\displaystyle \mu }$

絶対温度ゼロでは、μ はフェルミエネルギーとフェルミオンあたりの位置エネルギーの合計に等しい。ただし、正のスペクトル密度の近傍にあることが条件である。半導体中の電子などのスペクトルギャップの場合、対称点 μは通常フェルミ準位または電子の場合は電気化学ポテンシャルと呼ばれ、ギャップの中央に位置する。^{[13] [14]}

フェルミ・ディラック分布は、システム内のフェルミオンの数が十分に大きく、システムにフェルミオンを1つ追加してもμにほとんど影響がない場合にのみ有効です。^{[15]フェルミ・ディラック分布は、最大で1つのフェルミオンが各可能な状態を占めることを許可する}パウリの排他原理を使用して導出されたため、結果は次のようになります。^{[nb 2]}${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$

• フェルミ・ディラック分布
• 
  エネルギー依存性。Tが高いほど緩やかになる。ただし、 Tが高いほど減少することは示されていない。^[16]${\displaystyle {\bar {n}}=0.5}$${\displaystyle \varepsilon =\mu }$${\displaystyle \mu }$
• 
  の温度依存性。${\displaystyle \varepsilon >\mu }$

状態iにおける粒子数の分散は、上記の式から計算できる：^{[17] [18]}${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle V(n_{i})=k_{\text{B}}T{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}={\bar {n}}_{i}(1-{\bar {n}}_{i}).}$

フェルミ・ディラック分布から、エネルギーに対する粒子の分布を求めることができる。^{[注 3]}エネルギーを持つフェルミ粒子の平均数は、フェルミ・ディラック分布に縮退（つまり、エネルギーを持つ状態の数）を掛けることで求められる。^[19]${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

のとき、同じエネルギーを持つフェルミオンが占めることができる状態が複数存在するため、 となる可能性があります。 ${\displaystyle g_{i}\geq 2}$${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

準連続エネルギーが状態密度（単位体積あたりの単位エネルギー範囲あたりの状態数^[20] ）を持つ場合、単位体積あたりの単位エネルギー範囲あたりのフェルミオンの平均数は ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

ここでフェルミ関数と呼ばれ、フェルミ・ディラック分布に使用される関数と同じである：^[21]${\displaystyle F(\varepsilon )}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$

となることによって

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$

フェルミ・ディラック分布は、高温と低粒子密度の極限では、特別な仮定を必要とせずに マクスウェル・ボルツマン分布に近づきます。

• 粒子密度が低い極限では、、したがって、または同等に となります。その場合、 となり、これはマクスウェル-ボルツマン統計からの結果です。${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {N}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• 高温の極限では、粒子は広範囲のエネルギー値にわたって分布しているため、各状態（特に の高エネルギー状態）の占有率は再び非常に小さくなります。これもまた、マクスウェル・ボルツマン統計に帰着します。${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

マクスウェル・ボルツマン統計をフェルミ・ディラック統計の近似として使用できる古典的な領域は、粒子の位置と運動量に対するハイゼンベルクの不確定性原理によって課せられた限界から遠く離れた状況を考慮することによって見つけられます。たとえば、半導体の物理学では、伝導帯の状態密度がドーピング濃度よりもはるかに高い場合、伝導帯とフェルミ準位間のエネルギーギャップはマクスウェル・ボルツマン統計を使用して計算できます。そうでない場合、ドーピング濃度が伝導帯の状態密度と比較して無視できない場合は、正確な計算のために代わりにフェルミ・ディラック分布を使用する必要があります。すると、粒子の濃度が粒子の平均ド・ブロイ波長よりもはるかに大きい平均粒子間距離に対応するときに古典的な状況が優勢であることが示されます。^[22] ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

ここで、hはプランク定数、m は粒子の質量です。

T = 300  K（すなわち室温付近）における典型的な金属中の伝導電子の場合、系は古典的領域から遠く離れている。これは電子の質量が小さく、金属中の伝導電子の濃度が高い（すなわち が小さい）ためである。したがって、典型的な金属中の伝導電子にはフェルミ・ディラック統計が必要である。^[22]${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$${\displaystyle {\bar {R}}}$

古典的領域にないシステムのもう一つの例は、白色矮星に崩壊した恒星の電子からなるシステムである。白色矮星の温度は高い（典型的にはT =表面温度は10000Kに達する^{が[23] 、電子濃度が高く各電子の質量} が小さいため古典的近似は使えず、やはりフェルミ・ディラック統計が必要となる。^[8]

フェルミ・ディラック分布は、相互作用しないフェルミオンの量子系にのみ適用され、グランドカノニカル集団から簡単に導くことができる。^{[24]この集団では、システムはエネルギーを交換し、リザーバー（温度}Tと化学ポテンシャルμはリザーバーによって固定される） と粒子を交換することができる。

相互作用しない性質のため、利用可能な各単一粒子レベル（エネルギーレベルϵ）は、リザーバーと接触する個別の熱力学システムを形成します。言い換えると、各単一粒子レベルは、個別の小さなグランドカノニカルアンサンブルです。パウリの排他原理により、単一粒子レベルには、粒子なし（エネルギーE = 0）または粒子 1 個（エネルギーE = ε ）の 2 つのミクロ状態しかありません。したがって、その単一粒子レベルの結果として得られる分割関数には、次の 2 つの項のみが含まれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

そして、その単一粒子レベルのサブステートの平均粒子数は次のように与えられる。

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

この結果は各単一粒子レベルに適用され、システム全体の状態に対するフェルミ・ディラック分布を与える。^[24]

粒子数の分散（熱変動による）も導出できる（粒子数は単純なベルヌーイ分布に従う）。

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

この量は、電子ガスの電気伝導率や熱電係数のモット関係式などの輸送現象において重要であり、^[25]エネルギー準位が輸送現象に寄与する能力はに比例します。 ${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

正準集団でフェルミ・ディラック統計を導くことも可能である。相互相互作用が無視でき、熱平衡にあるN個の同一のフェルミオンからなる多粒子系を考える。 ^[15]フェルミオン間の相互作用は無視できるため、多粒子系の状態のエネルギーは単一粒子エネルギーの合計として表すことができる。 ${\displaystyle E_{R}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r},}$

ここで、は占有数と呼ばれ、 はエネルギー を持つ単一粒子状態にある粒子の数です。 合計は、すべての可能な単一粒子状態にわたって行われます。 ${\displaystyle n_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varepsilon _{r}}$${\displaystyle r}$

多粒子系が状態にある確率は正規化された正準分布で与えられる：^[26]${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}},}$

ここで、はボルツマン因子と呼ばれ、その和は多粒子系のすべての可能な状態にわたる。占有数の平均値は^[26]である。${\displaystyle \beta =1/k_{\text{B}}T}$${\displaystyle e^{-\beta E_{R}}}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\sum _{R}n_{i}P_{R}.}$

多粒子系の状態は、単一粒子状態の粒子占有率によって指定できることに注意する。つまり、次のように 指定する。${\displaystyle R}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta (n_{1}'\varepsilon _{1}+n_{2}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$

そして、の式は次のようになる。 ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}P_{n_{1},n_{2},\dots }\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}},\end{aligned}}}$

ここで、和はパウリの排他原理に従うの値のすべての組み合わせにわたっており、各 に対して= 0 または です。さらに、 の値の各組み合わせは、粒子の総数が であるという制約を満たします。 ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$${\displaystyle n_{r}=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$

合計を並べ替えると、

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$

ここで、和の符号の上の添え字は、和が を超えていないことを示し、和に関連する粒子の総数が であるという制約に従います。制約を通してが依然として に依存することに注意してください。これは、一方ではと がで評価され、他方では とがで評価されるためです。表記を簡略化し、 がを通してに依存することを明確に示すために、定義します。 ${\displaystyle (i)}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle n_{i}=0}$${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N,}$${\displaystyle n_{i}=1,}$${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N-1.}$${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N-n_{i},}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )},}$

となるので、前の式は次のように書き直して評価することができます。 ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}}\\&={\frac {0+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}}\\&={\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\,e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}.\end{aligned}}}$

を代入する式を見つけるために、次の近似式^[27]が使用されます。 ${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}.}$

粒子の数が十分大きく、粒子がシステムに追加されても化学ポテンシャルの変化が非常に小さい場合、 ^[28]両辺に指数関数を適用し、を代入して整理すると、 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\text{B}}T.}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\text{B}}T}.}$

上記を の式に代入し、 の以前の定義を使用してをに代入すると、フェルミ・ディラック分布が得られます。 ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 1/k_{\text{B}}T}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$

マクスウェル・ボルツマン分布やボーズ・アインシュタイン分布と同様に、フェルミ・ディラック分布も平均値のダーウィン・ファウラー法によって導くことができる。 ^[29]

システムの多重度を直接解析し、ラグランジュ乗数を使用することで結果が得られます。^[30]

インデックスiでラベル付けされたエネルギー レベルがいくつかあり、各レベルのエネルギーは ε _iで、合計n _{i 個}の粒子が含まれているとします。各レベルにはg _{i 個}の異なるサブレベルが含まれており、それらはすべて同じエネルギーを持ち、区別可能であるとします。たとえば、2 つの粒子が異なる運動量を持つ場合 (つまり、それらの運動量が異なる方向にある場合)、それらの粒子は互いに区別可能ですが、それでも同じエネルギーを持つことがあります。レベルiに関連付けられたg _iの値は、そのエネルギー レベルの「縮退」と呼ばれます。パウリの排他原理では、そのようなサブレベルを占有できるのは 1 つのフェルミオンのみであるとされています。

エネルギーレベルのg _{i 個}のサブレベルにn _i個の区別できない粒子を分配する方法の数は、サブレベルごとに最大 1 個の粒子で構成され、その組み合わせ解釈を使用して二項係数で与えられます。

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

たとえば、2 つの粒子を 3 つのサブレベルに分配すると、人口数は 110、101、または 011 となり、合計 3 通りとなり、3!/(2!1!) になります。

占有数n _iのセットを実現できる方法の数は、各個別のエネルギーレベルを占有できる方法の積です。

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

マクスウェル・ボルツマン統計を導出する際に使用したのと同じ手順に従って、粒子数とエネルギーが一定であるという制約の下で、 Wが最大化されるn _iの集合を見つけたいとします。関数を形成する ラグランジュ乗数を使用して、解を制約します。

${\displaystyle f(n_{i})=\ln W+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

階乗に対するスターリングの近似を使用して、 n _iに関して微分し、結果をゼロに設定し、n _iについて解くと、フェルミ・ディラックの人口数が得られます。

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

マクスウェル・ボルツマン統計の記事で概説したのと同様の手順で、熱力学的に および であることが示され、最終的に状態が占有される確率は ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{k_{\text{B}}T}}}$${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$

ウィキメディア・コモンズには、フェルミ-ディラック分布に関連するメディアがあります。

• ライフ、F. (1965)。統計および熱物理学の基礎。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-051800-1。
• ブレイクモア、JS (2002)。半導体統計。ドーバー。ISBN 978-0-486-49502-6。
• キッテル、チャールズ(1971)。固体物理学入門(第 4 版)。ニューヨーク: John Wiley & Sons。ISBN 978-0-471-14286-7. OCLC  300039591.