Elo レーティング システム

Elo ^[a]レーティングシステムは、チェスやeスポーツなどのゼロサムゲームにおけるプレイヤーの相対的なスキルレベルを計算する方法です。このシステムは、ハンガリー系アメリカ人の物理学教授 であるアルパド・エロ氏にちなんで名付けられました。

イロシステムは、以前使用されていたハークネスシステム[ ^{1]を改良した}チェスの評価システムとして発明されましたが、サッカー、アメリカンフットボール、野球、バスケットボール、ビリヤード、さまざまなボードゲームやeスポーツ、そして最近では大規模言語モデルの評価システムとしても使用されています。

2 人のプレイヤー間のレーティングの差は、試合の結果を予測する指標となります。レーティングが同じ 2 人のプレイヤーが対戦する場合、勝利数は同じであると予想されます。レーティングが対戦相手のレーティングより 100 ポイント高いプレイヤーは、64% のスコアを獲得すると予想されます。レーティングの差が 200 ポイントの場合、強いプレイヤーのスコアは 76% と予想されます。^[2]

プレイヤーの Elo レーティングは、プレイしたレート付きゲームの結果に応じて変化する数値です。各ゲームの終了後、勝ったプレイヤーは負けたプレイヤーからポイントを獲得します。勝者と敗者のレーティングの差によって、ゲーム後に獲得または失うポイントの合計数が決まります。高レートのプレイヤーが勝った場合、低レートのプレイヤーから獲得されるレーティング ポイントはわずかです。ただし、低レートのプレイヤーが番狂わせの勝利を収めた場合は、多くのレーティング ポイントが移行されます。低レートのプレイヤーは、引き分けの場合でも、高レートのプレイヤーから数ポイントを獲得します。つまり、このレーティング システムは自己修正的です。レーティングが低すぎたり高すぎたりするプレイヤーは、長い目で見れば、レーティング システムの予測よりも成績が良くなったり悪くなったりするため、レーティングが実際のプレイの強さを反映するまで、レーティング ポイントを獲得または失うことになります。

Elo レーティングはあくまでも比較対象であり、計算されたレーティング プール内でのみ有効であり、プレイヤーの強さを絶対的に測定するものではありません。

Eloのようなシステムは2人用の設定で広く使用されていますが、そのバリエーションはマルチプレイヤー競技にも適用されています。^[3]

アルパド・エロはチェスの名人で、 1939年の創設以来、米国チェス連盟（USCF）の積極的な参加者でした。 ^{[4] USCFは}、ケネス・ハークネスが考案した数値評価システムを使用して、メンバーがトーナメントの勝敗以外の観点から個人の進歩を追跡できるようにしました。ハークネスのシステムはかなり公平でしたが、状況によっては、多くの観察者が不正確だと考える評価を生み出すことがありました。

USCFを代表して、エロはより健全な^統計的 根拠^に基づいた新しいシステムを考案した。^[5]ほぼ同じ時期に、ジェルジ・カロリーとロジャー・クックは、ニューサウスウェールズチェス協会のために同じ原則に基づいたシステムを独自に開発した。^[6]

Elo のシステムは、以前の競争報酬システムを統計的推定に基づくシステムに置き換えました。多くのスポーツの評価システムでは、特定の成果の「偉大さ」に対する主観的な評価に従ってポイントが与えられます。たとえば、重要なゴルフトーナメントで優勝すると、それより小さなトーナメントで優勝した場合よりも任意に選択された 5 倍のポイントが与えられる場合があります。

対照的に、統計的な取り組みでは、ゲーム結果を各プレーヤーの能力を表す基礎となる変数に関連付けるモデルを使用します。

イロの中心的な仮定は、各ゲームにおける各プレイヤーのチェスのパフォーマンスは、正規分布する ランダム変数であるというものでした。プレイヤーのパフォーマンスは、ゲームごとに大幅に向上したり低下したりする可能性がありますが、イロは、特定のプレイヤーのパフォーマンスの平均値は時間の経過とともにゆっくりとしか変化しないと仮定しました。イロは、プレイヤーの真のスキルを、そのプレイヤーのパフォーマンスランダム変数の平均であると考えました。

チェスのパフォーマンスは上記の意味ではまだ測定できないため、さらに別の仮定が必要です。一連の動きを見て、そのプレイヤーのスキルを表す数値を導き出すことはできません。パフォーマンスは、勝ち、引き分け、負けから推測することしかできません。したがって、ゲームに勝ったプレイヤーは、そのゲームで相手よりも高いレベルでパフォーマンスしたと想定されます。逆に、負けたプレイヤーは、低いレベルでパフォーマンスしたと想定されます。ゲームが引き分けで終了した場合、2 人のプレイヤーはほぼ同じレベルでパフォーマンスしたと想定されます。

イロは、勝ち負けではなく引き分けになるには、2 つのパフォーマンスがどの程度近い必要があるかを正確には指定しませんでした。実際には、パフォーマンスの差によって引き分けになる確率があるため、後者は決定論的な境界というよりも信頼区間に近いものです。また、プレーヤーのパフォーマンスの標準偏差はそれぞれ異なる可能性があると考えましたが、彼は単純化してそれとは逆の仮定を立てました。

計算をさらに簡単にするために、イロはモデル内の変数（各プレイヤーの真のスキル）を推定する簡単な方法を提案した。対戦相手のレーティングと比較することで、プレイヤーが何ゲーム勝つと予想されるかを表から比較的簡単に計算できる。予想よりも多くのゲームに勝ったプレイヤーのレーティングは上方修正され、予想よりも少ないゲームに勝ったプレイヤーのレーティングは下方修正される。さらに、その調整は、プレイヤーが予想数を上回ったか下回った勝利数に比例するはずだった。^[7]

現代の観点から見ると、計算能力は安価で広く利用できるため、Elo の単純化の仮定は不要です。何人かの人々、特にマーク・グリックマンは、同じ変数を推定するために、より洗練された統計的機械を使用することを提案しました。一方、Elo システムの計算の単純さは、その最大の利点の 1 つであることが証明されています。ポケット計算機の助けを借りて、知識のあるチェスの競技者は、次に公式に発表されるレーティングが何になるかを 1 ポイント以内で計算できます。これは、レーティングが公正であるという認識を促進するのに役立ちます。

USCFは1960年にイロの提案を実施し^{[8] 、このシステムは}ハークネスの評価システムよりも公平かつ正確であるとすぐに認識されました。イロのシステムは1970年に世界チェス連盟（FIDE）に採用されました^[9]。イロは1978年に最初に出版された「過去と現在のチェスプレーヤーの評価」で彼の研究を詳細に説明しています。 ^[10]

その後の統計的検定では、チェスのパフォーマンスは正規分布にはほぼ間違いなく当てはまらないことが示唆されており、弱いプレイヤーの方がEloのモデルが予測するよりも勝率が高い。^{[11] [12]}対比較データでは、プレイヤーの強さの差が正規分布と仮定するかロジスティック分布と仮定するかによって、実際的な違いはほとんどないことが多い。しかし、数学的には、ロジスティック関数の方が正規分布よりも扱いやすい。^[13] FIDEは、Eloが提案したレーティング差表を引き続き使用している。^{[14] ：表8.1b}

パーセンテージ期待値表（表2.11）の開発については、エロによって次のように詳しく説明されている。^[15]

レーティングの差が z スコアとして表される場合、正規確率は正規曲線の下の領域の標準表から直接取得できます。個々のパフォーマンスの標準偏差 σ は 200 ポイントと定義されているため、パフォーマンスの差の標準偏差 σ' は σ√2 または 282.84 になります。差の z 値はD / 282.84です。これにより、曲線の下の領域が 2 つの部分に分割され、大きい方の部分は高レーティングのプレーヤーに P を与え、小さい方の部分は低レーティングのプレーヤーに P を与えます。

たとえば、D = 160とすると、z = 160 / 282.84 = .566 となります。表では、曲線の下の 2 つの部分の面積として .7143と.2857 が示されています。これらの確率は、表 2.11 で 2 つの数字に丸められています。

この表は実際には200√2の近似値として標準偏差200(10/7)で作成されています。^[要出典]

正規分布とロジスティック分布は、ある意味では、うまく機能する分布のスペクトル内の任意の点です。実際には、これらの分布は両方とも、さまざまなゲームで非常にうまく機能します。^{[引用が必要]}

「Elo レーティング」という語句は、FIDE によって計算されたプレイヤーのチェス レーティングを意味するためによく使用されます。ただし、この用法は、Elo の一般的な考え方が、USCF (FIDE 以前)、他の多くの国内チェス連盟、短命だったプロフェッショナル チェス協会(PCA)、およびインターネットチェス クラブ(ICC)、フリー インターネット チェス サーバー(FICS)、Lichess、Chess.com、Yahoo!ゲームなどのオンライン チェス サーバーを含む多くの組織によって採用されているため、混乱を招いたり誤解を招いたりする可能性があります。各組織には独自の実装があり、Elo の元の提案に正確に従っている組織はありません。

代わりに、評価を付与した組織を参照することもできます。たとえば、「2018 年 4 月現在、Tatev Abrahamyanの FIDE 評価は 2366、USCF 評価は 2473 です。」Elo 評価は絶対的なスキルではなく、限られたプレーヤーのプール内での結果を測定するため、これらのさまざまな組織の Elo 評価は必ずしも直接比較できるわけではありません。

トッププレイヤーにとって最も重要な評価はFIDE評価です。FIDE は以下のリストを発行しています。

• 1971年から1980年まで、毎年1つのリストが発行されました。
• 1981 年から 2000 年までは、1 月と 7 月に年間 2 回リストが発行されました。
• 2000 年 7 月から 2009 年 7 月まで、1 月、4 月、7 月、10 月の初めに、年間 4 回のリストが発行されました。
• 2009 年 7 月から 2012 年 7 月まで、1 月、3 月、5 月、7 月、9 月、11 月の初めに、年間 6 回のリストが発行されました。
• 2012 年 7 月以降、リストは毎月更新されています。

2015 年 7 月の FIDE 格付けリストの以下の分析は、世界ランキングに関して特定の FIDE 格付けが何を意味するかについて大まかな印象を与えます。

• 5,323 人のプレイヤーが、2200 ～ 2299 の範囲のアクティブなレーティングを持っていました。この範囲は通常、候補マスターのタイトルに関連付けられます。
• 2,869 人のプレイヤーが、通常FIDE マスタータイトルに関連付けられる 2300 ～ 2399 の範囲のアクティブ レーティングを持っていました。
• 1,420 人のプレイヤーが 2400 から 2499 のレーティングでアクティブであり、そのほとんどが国際マスターまたは国際グランドマスターのタイトルを保持していました。
• 542 人のプレイヤーが 2500 から 2599 のレーティングでアクティブであり、そのほとんどが国際グランドマスターのタイトルを持っていました。
• 187 人のプレイヤーが 2600 から 2699 のレーティングでアクティブであり、全員が国際グランドマスターのタイトルを持っていました。
• 40 人のプレイヤーのアクティブ レーティングは 2700 から 2799 でした。
• アクティブ レーティングが 2800 を超えるプレイヤーは 4 人でした (マグヌス カールセンのレーティングは 2853、レーティングが 2814 から 2816 の間だったプレイヤーは 3 人)。

これまでの FIDE レーティングの最高値は 2882 で、 2014 年 5 月のリストではマグヌス・カールセンが獲得しました。これまでの最高レーティングのプレイヤーのリストは、歴史上のトップチェス プレイヤーの比較にあります。

パフォーマンス レーティングまたは特別レーティングは、単一のイベントのゲームからのみ得られる仮想レーティングです。一部のチェス組織^{[16] : p. 8}では、「400 のアルゴリズム」を使用してパフォーマンス レーティングを計算します。このアルゴリズムによると、イベントのパフォーマンス レーティングは次のように計算されます。

1. 勝利するごとに、対戦相手の評価に400を加算します。
2. 負けるたびに、相手のレーティングから400を引いた値を加算し、
3. そして、この合計をプレイしたゲームの数で割ります。

例: 2 勝 (対戦相手wとx )、2 敗 (対戦相手yとz )

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {w+400+x+400+y-400+z-400}{4}}\\[6pt]&{\frac {w+x+y+z+400(2)-400(2)}{4}}\end{aligned}}}$

これは次の式で表すことができます。

${\displaystyle {\text{パフォーマンス評価}}={\frac {{\text{対戦相手の評価の合計}}+400\times ({\text{勝利数}}-{\text{敗北数}})}{\text{ゲーム数}}}}$

例: Eloレーティング1000のプレイヤーに勝った場合、

${\displaystyle {\text{パフォーマンス評価}}={\frac {1000+400\times (1)}{1}}=1400}$

Eloレーティング1000のプレイヤー2人に勝った場合、

${\displaystyle {\text{パフォーマンス評価}}={\frac {2000+400\times (2)}{2}}=1400}$

描いたら、

${\displaystyle {\text{パフォーマンス評価}}={\frac {1000+400\times (0)}{1}}=1000}$

これは単純化された方法ですが、PR (パフォーマンス評価) の見積もりを簡単に取得できる方法を提供します。

ただし、 FIDE は、パフォーマンス レーティングを次の式で計算します。「レーティング差」は、プレーヤーのトーナメント パーセンテージ スコアに基づいており、これはルックアップ テーブルのキーとして使用されます。ルックアップ テーブルでは、 は、獲得したポイント数をプレイしたゲーム数で割った値です。パーフェクト スコアまたはスコアなしの場合は、は 800 であることに注意してください。 $${\displaystyle {\text{パフォーマンス評価}}={\text{対戦相手の評価の平均}}+d_{p},}$$${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d_{p}}$

FIDE は、毎月初めにレーティング リストを更新します。一方、非公式の「ライブ レーティング」では、各ゲームの後にプレーヤーのレーティングの変化を計算します。これらのライブ レーティングは、以前に公開された FIDE レーティングに基づいているため、プレーヤーのライブ レーティングは、FIDE がその日に新しいリストを発行した場合の FIDE レーティングに対応するように意図されています。

ライブレーティングは非公式ではあるが、2008年8月/9月に5人の異なるプレイヤーが「ライブ」ランキング1位を獲得したことで、ライブレーティングへの関心が高まった。^[17]

2700 以上のプレイヤーの非公式ライブ レーティングは、2011 年 8 月まで、Live Rating ウェブサイトで Hans Arild Runde によって公開および管理されていました。別のウェブサイト 2700chess.com は、2011 年 5 月からArtiom Tsepotanによって管理されており、上位 100 人のプレイヤーと上位 50 人の女性プレイヤーをカバーしています。

レーティングの変化は、FIDEレーティング変化計算機を使用して手動で計算できます。^[18]トッププレーヤーのK係数はすべて10であり、これは1試合での最大レーティング変化が10ポイント弱であることを意味します。

米国チェス連盟（USCF）は独自の選手分類を使用している。^[19]

• 2400以上: シニアマスター
• 2200–2399: ナショナルマスター
  • 2200～2399プラス2200以上の300ゲーム：オリジナルライフマスター^[20]
• 2000–2199: エキスパートまたは候補マスター
• 1800～1999年: クラスA
• 1600–1799: クラスB
• 1400–1599: クラスC
• 1200–1399: クラスD
• 1000–1199: クラスE
• 800～999: クラスF
• 600～799: クラスG
• 400～599: クラスH
• 200～399: クラスI
• 100～199: クラス J

USCFレーティングシステムにおけるK係数は、選手のレーティングのベースとなる実効試合数（ N _e）と、選手がトーナメントで完了した試合数（m ）を800で割ることで推定できる。^[21]

${\displaystyle K={\frac {800}{N_{e}+m}}\,}$

USCF は、すべてのレーティングに対して 100 の絶対レーティング フロアを維持しています。したがって、USCF 公認イベントでのパフォーマンスに関係なく、メンバーのレーティングが 100 未満になることはありません。ただし、プレーヤーは、次の式を使用して計算された、より高い個別の絶対レーティング フロアを持つことができます。

${\displaystyle AF=\オペレータ名 {分} \{100+4N_{W}+2N_{D}+N_{R},150\}}$

ここで、 はレートゲームで勝利した数、はレートゲームで引き分けた数、 はプレーヤーが 3 つ以上のレートゲームを完了したイベントの数です。 ${\displaystyle N_{W}}$${\displaystyle N_{D}}$${\displaystyle N_{R}}$

高いレーティングを獲得した経験豊富なプレイヤーには、より高いレーティングフロアが存在します。このような高いレーティングフロアは、レーティング 1200 から始まり、100 ポイントずつ増加して 2100 まで (1200、1300、1400、...、2100) あります。レーティングフロアは、プレイヤーのピーク時の確立されたレーティングから 200 ポイントを差し引き、最も近いレーティングフロアに切り捨てて計算されます。たとえば、ピーク時のレーティング 1464 に達したプレイヤーのレーティングフロアは1464 − 200 = 1264となり、切り捨てられて 1200 になります。このスキームでは、クラス C 以上のプレイヤーのみが、絶対的なプレイヤーレーティングよりも高いレーティングフロアを持つことができます。その他のプレイヤーのフロアは最大 150 になります。

上記の標準スキーム以外で、より高いレーティング フロアを達成する方法は 2 つあります。プレーヤーがオリジナル ライフ マスターのレーティングを達成した場合、そのプレーヤーのレーティング フロアは 2200 に設定されます。このタイトルの達成は、他の公認 USCF タイトルでは新しいフロアが確立されないという点でユニークです。レーティングが 2000 未満のプレーヤーの場合、2,000 ドル以上の賞金を獲得すると、そのプレーヤーのレーティング フロアは、トーナメントへの参加資格を失う最も近い 100 ポイント レベルまで上がります。たとえば、プレーヤーが 1750 以下のトーナメントで 4,000 ドルを獲得した場合、そのプレーヤーのレーティング フロアは 1800 になります。

ペアワイズ比較はElo評価方法論の基礎を形成します。^{[22] EloはGood、 [23]} David、^[24] TrawinskiとDavid、^[25] BuhlmanとHuberの論文を参照しました。 ^[26]

パフォーマンスは絶対的に測定されるものではなく、他のプレイヤーに対する勝ち負けや引き分けから推測されます。プレイヤーの評価は、対戦相手の評価と対戦相手に対して獲得された結果によって決まります。2 人のプレイヤー間の評価の差によって、両者の予想スコアの推定値が決定されます。評価の平均と差は、どちらも任意に選択できます。USCF は当初、平均的なクラブ プレイヤーの評価を 1500 にすることを目標としており、Elo は、チェスで 200 の評価ポイントの差がある場合、より強いプレイヤーの予想スコアが約 0.75 になるように評価をスケーリングすることを提案しました。

プレイヤーの予想スコアは、勝つ確率に引き分けの確率の半分を加えたものです。したがって、予想スコア 0.75 は、勝つ確率が 75%、負ける確率が 25%、引き分けの確率が 0% であることを意味します。反対に、勝つ確率が 50%、負ける確率が 0%、引き分けの確率が 50% である場合もあります。決定的な結果になる確率とは対照的に、引き分けの確率は Elo システムでは指定されていません。代わりに、引き分けは半分が勝ち、半分が負けとみなされます。実際には、各プレイヤーの真の強さは不明であるため、予想スコアは次のようにプレイヤーの現在の評価を使用して計算されます。

プレイヤー Aの評価が で、プレイヤー Bの評価が の場合、プレイヤーAの期待スコアの 正確な式（10を底とするロジスティック曲線を使用）^[27]は次のようになる。 ${\displaystyle \,R_{\mathsf {A}}\,}$${\displaystyle \,R_{\mathsf {B}}\,}$

${\displaystyle E_{\mathsf {A}}={\frac {1}{1+10^{(R_{\mathsf {B}}-R_{\mathsf {A}})/400}}}~.}$

同様に、プレイヤーBの期待スコア は

${\displaystyle E_{\mathsf {B}}={\frac {1}{1+10^{(R_{\mathsf {A}}-R_{\mathsf {B}})/400}}}~.}$

これは次のようにも表現できる。

${\displaystyle E_{\mathsf {A}}={\frac {Q_{\mathsf {A}}}{Q_{\mathsf {A}}+Q_{\mathsf {B}}}}}$

そして

${\displaystyle E_{\mathsf {B}}={\frac {Q_{\mathsf {B}}}{Q_{\mathsf {A}}+Q_{\mathsf {B}}}}~,}$

ここで、 であり、 後者の場合、同じ分母が両方の式に適用され、 であることが明白であることに注意してください。これは、分子だけを調べることによって、プレーヤー Aの期待スコアがプレーヤーBの期待スコアの倍である ことがわかることを意味します。 したがって、対戦相手に対するレーティングポイントの優位性が 400 ポイントごとに、対戦相手の期待スコアと比較して、期待スコアが 10 倍に拡大されることになります。 ${\displaystyle \;Q_{\mathsf {A}}=10^{R_{\mathsf {A}}/400}\;,}$${\displaystyle \;Q_{\mathsf {B}}=10^{R_{\mathsf {B}}/400}~.}$${\displaystyle \;E_{\mathsf {A}}+E_{\mathsf {B}}=1~.}$${\displaystyle \;Q_{\mathsf {A}}/Q_{\mathsf {B}}\;}$

プレイヤーの実際のトーナメント スコアが期待スコアを上回る場合、Elo システムでは、プレイヤーの評価が低すぎる証拠とみなし、上方修正する必要があります。同様に、プレイヤーの実際のトーナメント スコアが期待スコアを下回る場合、そのプレイヤーの評価は下方修正されます。Elo の当初の提案は、現在でも広く使用されているもので、プレイヤーが期待スコアを上回ったか下回ったかの量に比例する単純な線形調整でした。ゲームごとに可能な最大調整は K 係数と呼ばれ、マスターと弱いプレイヤーに対して設定されました。 ${\displaystyle \;K=16\;}$${\displaystyle \;K=32\;}$

プレイヤー A（これもレーティング）がポイントを獲得すると予想されていたが、実際にはポイントを獲得したとします。そのプレイヤーのレーティングを更新する式は次のようになります。 ${\displaystyle R_{\mathsf {A}}}$${\displaystyle \,E_{\mathsf {A}}\,}$${\displaystyle \,S_{\mathsf {A}}\,}$

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}'=R_{\mathsf {A}}+K\cdot (S_{\mathsf {A}}-E_{\mathsf {A}})~.}$^[1]

この更新は、各ゲームまたは各トーナメントの後、または適切な評価期間の後に実行できます。

例を挙げると分かりやすいでしょう:

プレイヤー Aのレーティングが 1613 で、5 ラウンドのトーナメントに参加するとします。プレイヤー A は、レーティングが 1609 のプレイヤーに負け、レーティングが 1477 のプレイヤーと引き分け、レーティングが 1388 のプレイヤーに勝ち、レーティングが 1586 のプレイヤーに勝ち、レーティングが 1720 のプレイヤーに負けます。プレイヤーの実際のスコアは(0 + 0.5 + 1 + 1 + 0) = 2.5です。上記の式に従って計算された予想スコアは、(0.51 + 0.69 + 0.79 + 0.54 + 0.35) = 2.88でした。

したがって、プレーヤーの新しいレーティングは、K係数として 32 が使用されていると仮定すると、[1613 + 32·(2.5 − 2.88)] = 1601 となります。同様に、各ゲームでプレーヤーはゲームの予想スコアのK倍のアンティをポットに入れ、対戦相手も同様にポットに入れ、勝者は価値Kのポット全額を獲得します。引き分けの場合は、プレーヤーはポットを分割して、それぞれポイントを受け取ります。 ${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}K\;}$

2 勝 2 敗 1 引き分けは標準スコアのように見えるかもしれませんが、 対戦相手のレーティングが平均的に低かったため、 プレーヤーAにとっては予想よりも悪いスコアです。したがって、プレーヤーA はわずかにペナルティを受けます。プレーヤー A が2 勝 1 敗 2 引き分けで合計 3 ポイントを獲得していた場合、予想よりもわずかに良いスコアとなり、プレーヤーの新しいレーティングは[1613 + 32·(3 − 2.88)] = 1617になります。

この更新手順は、 FIDE、USCF、Yahoo! Games、インターネット チェス クラブ(ICC) 、およびフリー インターネット チェス サーバー(FICS)が使用するレーティングの中核をなしています。ただし、各組織は、レーティング、特に新規参入者のレーティングに内在する不確実性への対処、およびレーティングのインフレ/デフレの問題への対処について、それぞれ異なるアプローチを採用しています。新規プレイヤーには暫定的なレーティングが割り当てられ、これは確立されたレーティングよりも大幅に調整されます。

これらの評価システムで使用される原則は、国際サッカーの試合など、他の競技の評価にも使用できます。

Elo レーティングは、引き分けの可能性がないゲームや、結果の質 (勝ち/負け) に加えて量 (差が小さい/大きい) も含まれるゲームにも適用されています。詳細については、 Elo による囲碁レーティングを参照してください。

2011年、ジェフ・ソナスは150万のFIDEレーティングゲームを分析した後、イロの公式によれば、レーティング差がXである2人のプレイヤーの実際の差は、約X（5/6）であることを実証した。同様に、レーティング差をそのままにして、400ではなく480で割ることもできる。イロの公式は強いプレイヤーの勝率を過大評価しているため、強いプレイヤーは本当の力でプレイしているにもかかわらず、弱いプレイヤーに対してポイントを失っている。同様に、弱いプレイヤーは強いプレイヤーに対してポイントを獲得している。修正を適用すると、観測された勝率は予測から0.1％未満しか離れていないが、従来のイロは予測率から4％離れている可能性がある。^[28]

USCFが最初に取り組んだ数学的な懸念は、正規分布の使用でした。彼らは、これが特に低評価の選手の実際の結果を正確に表していないことを発見しました。代わりに、彼らはロジスティック分布モデルに切り替えました。USCFは、これが実際の結果により適合すると判断しました。^{[29] [要出典]} FIDEもロジスティック分布の近似値を使用しています。^[14]

2 つ目の大きな懸念は、正しい「K係数」が使用されていることです。チェスの統計学者Jeff Sonas氏は、Elo の作業における元の値 (2400 以上のレーティングを持つプレーヤー) は不正確であると考えています。K 係数の係数が大きすぎると、各ゲームで交換されるポイント数が多いという点で、最近のいくつかのイベントに敏感になりすぎます。また、K 値が小さすぎると、敏感さが最小限になり、プレーヤーの実際のパフォーマンス レベルの変化にシステムが十分に迅速に対応できなくなります。 ${\displaystyle \;K=10\;}$

EloのオリジナルのK係数の推定は、膨大なデータベースと統計的証拠の恩恵を受けずに行われた。ソナスは、K係数24（2400以上の評価を受けた選手の場合）は、将来のパフォーマンスを予測するツールとしてより正確であり、パフォーマンスに対してより敏感である可能性があると示唆している。^[30]

一部のインターネット チェス サイトでは、レーティング範囲に基づいて 3 段階の K 係数の段階的変更を避けているようです。たとえば、ICC は暫定レーティングのプレイヤーと対戦する場合を除き、グローバルK = 32を採用しているようです。

USCF (正規分布ではなくロジスティック分布を使用) は、以前は 3 つの主要な評価範囲に従って K 係数を段階的に設定していました。

現在、USCFは、出場試合数や選手の評価などの要素に基づいてK係数を計算する式を使用しています。また、イベントの制限時間が短い場合、評価の高い選手のK係数も減少します。^[16]

FIDEは以下の範囲を使用しています: ^[31]

FIDEは2014年7月以前に以下の範囲を使用していました: ^[32]

K係数の段階的変化により、評価範囲の上限での評価の変化が減り、低いK係数に達するほど高い評価を受けた人の評価が急激に上昇または下降する可能性が減ります。

理論上は、これはオンラインチェスプレイヤーと対局プレイヤーに等しく当てはまるかもしれない。なぜなら、レーティングが高くなり、K係数が減少すると、すべてのプレイヤーがレーティングを上げるのが難しくなるからである。しかし、オンラインでプレイする場合、2800以上のプレイヤーは、高レーティングの対戦相手を選択するだけで、より簡単にレーティングを上げることができる。ICCプレイサイトでは、グランドマスターは、すべて2700以上のレーティングを持つさまざまな対戦相手と連続してプレイすることがある。 ^[34]対局イベントでは、非常にハイレベルの全員プレイ全員イベントでのみ、プレイヤーは2700以上の対戦相手と対戦することができるだろう。通常のオープンなスイス式チェストーナメントでは、2500未満のレーティングの対戦相手が多数いることが多く、高レーティングのプレイヤーが1回の対戦で獲得できるレーティングは減少する。

上記の式は、Eloレーティングとロジスティック回帰における確率的勾配更新の関係を利用することで正式に導出することができる。^{[35] [36]}

ゲームの結果がバイナリ、つまり勝ちか負けかしか観察できないと仮定すると、問題はロジスティック回帰によって解決できます。ゲームの結果は従属変数、プレイヤーの評価は独立変数で、両者を関連付けるモデルは確率的です。つまり、プレイヤーがゲームに勝つ確率は次のようにモデル化されます 。${\displaystyle {\mathsf {A}}}$

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {勝利}}\}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}}),\quad \sigma (r)={\frac {1}{1+10^{-r/s}}},}$

どこ

${\displaystyle r_{\mathsf {A,B}}=(R_{\mathsf {A}}-R_{\mathsf {B}})}$

は選手の評価の差を表し、スケーリング係数を使用し、全確率の法則により${\displaystyle s=400}$

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}}\}=1-\sigma (r_{\mathsf {A,B}})=\sigma (-r_{\mathsf {A,B}}).}$

対数損失は次のように計算される。

${\displaystyle \ell ={\begin{cases}-\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {if}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}},\\-\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {if}}~{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}},\end{cases}}}$

そして、確率的勾配降下法を使用すると、対数損失は次のように最小化されます。

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}-\eta {\frac {{\textrm {d}}\ell }{{\textrm {d}}R_{\mathsf {A}}}}}$、

${\displaystyle R_{\mathsf {B}}\leftarrow R_{\mathsf {B}}-\eta {\frac {{\textrm {d}}\ell }{{\textrm {d}}R_{\mathsf {B}}}}}$。

適応ステップは どこですか。${\displaystyle \eta }$

、、 およびなので 、適応は次のように記述されます。 ${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}r}}\log \sigma (r)={\frac {\log 10}{s}}\sigma (-r)}$${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}r_{\mathsf {A,B}}}{{\textrm {d}}R_{\mathsf {A}}}}=1}$${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}r_{\mathsf {A,B}}}{{\textrm {d}}R_{\mathsf {B}}}}=-1}$

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow {\begin{cases}R_{\mathsf {A}}+K\sigma (-r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {if}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}}\\R_{\mathsf {A}}-K\sigma (r_{\mathsf {A,B}})&{\textrm {if}}~{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}},\end{cases}}}$

これは簡潔に次のように書くことができる。

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}+K(S_{\mathsf {A}}-E_{\mathsf {A}})}$

ここで、 は、が勝つ場合は、が勝つ場合はを吸収する新しい適応ステップであり、期待スコアは によって与えられます。 ${\displaystyle K=\eta \log 10/s}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=1}$${\displaystyle {\mathsf {A}}}$${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=0}$${\displaystyle {\mathsf {B}}}$${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}})}$

同様に、評価の更新は ${\displaystyle R_{\mathsf {B}}}$

${\displaystyle R_{\mathsf {B}}\leftarrow R_{\mathsf {B}}+K(S_{\mathsf {B}}-E_{\mathsf {B}})}$。

当初から、Elo レーティングはチェスでも使用されており、チェスでは勝ち負けや引き分けを観察し、引き分けに対処するために小数スコア値 が導入されています。ただし、スコア と は、プレーヤーがゲームに勝つか負けるかのイベントを示す指標にすぎない ことに注意してください。したがって、小数スコアの意味はすぐにはわかりません。さらに、レーティング値と をゲーム結果の確率に関連付けるモデルを明示的に指定していないため、勝ち、負け、引き分けの確率が何であるかを言うことはできません。 ${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=0.5}$${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=1}$${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=0}$${\displaystyle {\mathsf {A}}}$${\displaystyle R_{\mathsf {A}}}$${\displaystyle R_{\mathsf {B}}}$

これらの困難に対処し、3 者間ゲームの Elo レーティングを導出するために、結果の明示的な確率モデルを定義します。次に、確率的勾配によって対数損失を最小化します。

負け、引き分け、勝ちは順序変数なので、それらの順序性を考慮したモデルを採用する必要があり、デイビッドソンの研究^[37]に由来する、いわゆる隣接カテゴリモデルを使用する。

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}}\}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa ),}$

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}}\}=\sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa ),}$

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {draws}}\}=\kappa {\sqrt {\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )}},}$

どこ

${\displaystyle \sigma (r;\kappa )={\frac {10^{r/s}}{10^{-r/s}+\kappa +10^{r/s}}}}$

はパラメータである。自由パラメータの導入は驚くべきことではない。なぜなら、3つの可能な結果があり、したがってモデルに自由度が加わるからである。特に、ロジスティック回帰の基礎となるモデルを回復する と、${\displaystyle \kappa \geq 0}$${\displaystyle \kappa =0}$

${\displaystyle \Pr\{{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}}\}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}};0)={\frac {10^{r_{\mathsf {A,B}}/s}}{10^{-r_{\mathsf {A,B}}/s}+10^{r_{\mathsf {A,B}}/s}}}={\frac {1}{1+10^{-r_{\mathsf {A,B}}/s'}}},}$

どこ。 ${\displaystyle s'=s/2}$

上記で定義した順序モデルを使用すると、対数損失は次のように計算されます。

${\displaystyle \ell ={\begin{cases}-\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )&{\textrm {if}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {wins}},\\-\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )&{\textrm {if}}~{\mathsf {B}}~{\textrm {wins}},\\-\log \kappa -{\frac {1}{2}}\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )-{\frac {1}{2}}\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )&{\textrm {if}}~{\mathsf {A}}~{\textrm {draw}},\end{cases}}}$

これは簡潔に次のように書くことができる。

${\displaystyle \ell =-(S_{\mathsf {A}}+{\frac {1}{2}}D)\log \sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )-(S_{\mathsf {B}}+{\frac {1}{2}}D)\log \sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )-D\log \kappa }$

ここで、iff が勝ち、iff が 勝ち、iff が 引き分けとなります。 ${\displaystyle S_{\mathsf {A}}=1}$ ${\displaystyle {\mathsf {A}}}$${\displaystyle S_{\mathsf {B}}=1}$${\displaystyle {\mathsf {B}}}$${\displaystyle D=1}$${\displaystyle {\mathsf {A}}}$

前回と同様に、その導関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \log \sigma (r;\kappa )}$

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}r}}\log \sigma (r;\kappa )={\frac {2\log 10}{s}}[1-g(r;\kappa )]}$、

どこ

${\displaystyle g(r;\kappa )={\frac {10^{r/s}+\kappa /2}{10^{-r/s}+\kappa +10^{r/s}}}.}$

したがって、対数損失の格付けに対する導関数は次のように表される。 ${\displaystyle R_{\mathsf {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}R_{\mathsf {A}}}}\ell &=-{\frac {2\log 10}{s}}\left((S_{\mathsf {A}}+0.5D)[1-g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )]-(S_{\mathsf {B}}+0.5D)g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\right)\\&=-{\frac {2\log 10}{s}}\left(S_{\mathsf {A}}+0.5D-g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\right),\end{aligned}}}$

ここでは、と の関係を使用しました。 ${\displaystyle S_{\mathsf {A}}+S_{\mathsf {B}}+D=1}$${\displaystyle g(-r;\kappa )=1-g(r;\kappa )}$

次に、対数損失を最小化するために確率的勾配降下法を適用すると、評価の次の更新が得られる。${\displaystyle R_{\mathsf {A}}}$

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}+K({\hat {S}}_{\mathsf {A}}-g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa ))}$

ここで、 である。もちろん、が勝ち、が引き分け、が負ける。デイビッドソンが提案したモデルの起源を認識するために、この更新はエロデイビッドソンレーティングと呼ばれています。^[36]${\displaystyle K=2\eta \log 10/s}$${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=S_{\mathsf {A}}+0.5D}$${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=1}$${\displaystyle {\textsf {A}}}$${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=0.5}$${\displaystyle {\textsf {A}}}$${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathsf {A}}=0}$${\displaystyle {\textsf {A}}}$

の更新は、次の式と同じ方法で導出されます。 ${\displaystyle R_{\mathsf {B}}}$

${\displaystyle R_{\mathsf {B}}\leftarrow R_{\mathsf {B}}+K({\hat {S}}_{\mathsf {B}}-g(r_{\mathsf {B,A}};\kappa ))}$、

どこ。 ${\displaystyle r_{\mathsf {B,A}}=R_{\mathsf {B}}-R_{\mathsf {A}}=-r_{\mathsf {A,B}}}$

我々は、

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\hat {S}}_{\mathsf {A}}]&=\Pr\{{\mathsf {A}}~{\text{wins}}\}+0.5\Pr\{{\mathsf {A}}~{\text{draws}}\}\\&=\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )+0.5\kappa {\sqrt {\sigma (r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\sigma (-r_{\mathsf {A,B}};\kappa )}}\\&=g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )\end{aligned}}}$

そして、評価の更新は次のように記述できる。

${\displaystyle R_{\mathsf {A}}\leftarrow R_{\mathsf {A}}+K({\hat {S}}_{\mathsf {A}}-E_{\mathsf {A}})}$、

ここで、期待スコアが の代わりにで与えられることを除いて、Elo レーティングと実質的に同じ式が得られました。 ${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=E[{\hat {S}}_{\mathsf {A}}]}$${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=g(r_{\mathsf {A,B}};\kappa )}$${\displaystyle E_{\mathsf {A}}=\sigma (r_{\mathsf {A,B}})}$

もちろん、上で述べたように、 の場合、 となり、したがって Elo-Davidson レーティングは Elo レーティングとまったく同じになります。しかし、これは引き分けが観測される場合を理解するのに役立ちません ( は使用できず、これは引き分けの確率がゼロであることを意味します)。一方、 を使用すると、 ${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle g(r;0)=\sigma (r)}$${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle \kappa =2}$

${\displaystyle g(r;2)={\frac {10^{r/s}+1}{10^{-r/s}+2+10^{r/s}}}={\frac {1}{1+10^{-r/s}}}=\sigma (r)}$

つまり、を使用すると 、Elo-DavidsonレーティングはEloレーティングとまったく同じになります。^[36]${\displaystyle \kappa =2}$

場合によっては、レーティングシステムによって、レーティングを守りたいプレイヤーのゲーム活動が阻害されることがあります。^[38]プレイヤーが高いレーティングに固執しないようにするため、2012年にイギリスのグランドマスター、ジョン・ナンがチェス世界選手権の出場者を選ぶ際に、レーティングと組み合わせた活動ボーナスを含めることを提案しました。^[39]

チェスの世界以外では、プレイヤーがレーティングを守るために競技的なプレイを避けることへの懸念から、ウィザーズ・オブ・ザ・コーストはマジック：ザ・ギャザリングのトーナメントでイロ・システムを放棄し、独自に考案した「プレインズウォーカー・ポイント」というシステムを採用した。^{[40] [41]}

より微妙な問題は、ペアリングに関係しています。プレーヤーが自分で対戦相手を選べる場合、負けるリスクが最小で、勝ったときの報酬が最大の対戦相手を選ぶことができます。レーティング 2800 以上のプレーヤーがリスクが最小でレーティングが上がる可能性が最大の対戦相手を選ぶ具体的な例としては、特定の戦略で勝てるとわかっている相手を選ぶ、過大評価されていると思う相手を選ぶ、自分より数百ポイント低いレーティングだが IM や GM などのチェスのタイトルを持っている可能性のある強いプレーヤーとの対戦を避ける、などが挙げられます。過大評価されている相手を選ぶというカテゴリでは、レーティング システムに新しく参加し、50 ゲーム未満しかプレイしていないプレーヤーは、暫定レーティングでは過大評価されている可能性があるため、理論上は格好のターゲットです。ICC は、既存のプレーヤーが新しいレーティングの参加者に勝った場合、より低い K 係数を割り当てることでこの問題を補います。K 係数は、実際には、新しい参加者がプレイしたレーティング ゲームの数の関数です。

したがって、オンラインの Elo レーティングは、対戦相手のレーティングに基づいてレーティングを提供するための便利なメカニズムとして依然として機能しています。ただし、その全体的な信頼性は、少なくとも前述の 2 つの主要な問題 (エンジンの悪用と対戦相手の選択的なペアリング) を考慮して判断する必要があります。

ICC は最近^{[いつ? ] 、}ランダムなペアリングに基づく「自動ペアリング」レーティングも導入しました。ただし、連続して勝利するたびに、統計的に非常に強力な対戦相手が x ゲーム連続で勝利していることが保証されます。数百人のプレイヤーが参加する可能性があるため、ラウンドの勝者とラウンドの勝者が対戦する、激しい戦いが繰り広げられる大規模なスイスのイベントの課題がいくつか生じます。このペアリングのアプローチは、たとえば 3000 未満のプレイヤーからの非常に厳しい反対に直面する可能性のある、高レートの参加者のレーティングリスクを確かに最大化します。これはそれ自体が別のレーティングであり、「1 分」および「5 分」のレーティング カテゴリに属します。2500 を超える最大レーティングが達成されることは非常にまれです。

レーティングに適用される「インフレーション」という用語は、レーティングされたプレイヤーが示すプレイングの強さのレベルが時間の経過とともに低下していることを意味します。逆に、「デフレーション」はレベルが上昇していることを意味します。たとえば、インフレーションがある場合、現代のレーティング 2500 は歴史的なレーティング 2500 よりも低いことを意味しますが、デフレーションがある場合はその逆になります。インフレーションやデフレーションが存在すると、レーティングを使用して異なる時代のプレイヤーを比較することが難しくなります。(「歴史上のトップ チェス プレイヤーの比較」も参照してください。)

ジェフ・ソナスは、FIDEのレーティングリストを時系列で分析し、インフレは1985年頃から起こっている可能性があると示唆している。 ^[42]ソナスは、すべてのレーティングを受けた選手ではなく、最も高いレーティングを受けた選手に注目し、レーティングの分布の変化は最高レベルのプレー水準の向上によって引き起こされた可能性があることを認めているが、他の原因も探している。

2700以上のレーティングを持つ人の数は増加しています。1979年頃、この高いレーティングを持つ現役プレイヤーはアナトリー・カルポフ1人だけでした。1992年、ヴィスワナタン・アナンドは、その時点でチェスの歴史上2700に到達した8人目のプレイヤーでした。^[43]これは1994年までに15人に増加しました。2009年には33人のプレイヤーが2700以上のレーティングを持ち、2012年9月時点では44人です。2800のレーティングを破ったプレイヤーはわずか14人です。

このインフレの原因として考えられるのは、長い間2200だったレーティングの下限であり、プレイヤーがこの下限を下回るとレーティングリストから外された。その結果、下限よりわずかに下のスキルレベルのプレイヤーは、過大評価されている場合にのみレーティングリストに載り、これによりレーティングプールにポイントが流入することになった。^[42] 2000年7月、トップ100の平均レーティングは2644だった。2012年7月までに2703に増加した。^[43]

レーガンとハワースは、強力なチェスエンジンを使用して、格付けされたプレイヤー間のゲームで行われた動きを評価し、FIDE格付けトーナメントのゲームセットを分析し、1976年から2009年までインフレはほとんどなかったという結論を導き出しました。^[44]

純粋なEloシステムでは、各ゲームはレーティングポイントの平等な取引で終了します。勝者がNレーティングポイントを獲得した場合、敗者はNレーティングポイントを失います。これにより、ゲームがプレイされ、評価されるときにポイントがシステムに出入りするのを防ぎます。ただし、プレーヤーは低レーティングの初心者としてシステムに参加し、高レーティングの経験豊富なプレーヤーとしてシステムから引退する傾向があります。したがって、長期的には、厳密に平等な取引を行うシステムは、レーティングの低下につながる傾向があります。^[45]

1995年、USCFは、若い学力の高い選手がレーティングシステムで追跡できるよりも速く上達していることを認めた。その結果、安定したレーティングを持つベテラン選手が、若くて過小評価されている選手にレーティングポイントを奪われ始めた。ベテラン選手の中には、不当なレーティングの低下に不満を抱く者もおり、中にはチェスをやめた者もいた。^[46]

インフレとデフレの発生タイミングには大きな違いがあるため、またデフレに対抗するため、ほとんどのEloレーティングの実装では、相対的なレーティングを時間の経過とともに維持するためにシステムにポイントを注入するメカニズムが採用されている。FIDEには2つのインフレメカニズムがある。まず、「レーティングフロア」を下回るパフォーマンスは追跡されないため、フロアを下回る真のスキルを持つプレーヤーは、レーティングされないか過大評価されるだけで、正しく評価されることはない。次に、定評のある高レーティングのプレーヤーはK係数が低い。新しいプレーヤーのKは40で、30試合プレイするとKは20に下がり、プレーヤーが2400に達するとKは10に下がる。 ^[31] 米国の現在のシステムには、向上するプレーヤーを追跡するためにシステムにレーティングポイントを供給するボーナスポイントスキームと、プレーヤーごとに異なるK値が含まれている。^[46]例えばノルウェーで使用されているいくつかの方法では、ジュニアとシニアを区別し、若い選手にはより大きなK係数を使用し、予測されたパフォーマンスを大幅に上回るスコアを獲得した場合は、評価の進行を100％増加させます。^[47]

米国のレーティングフロアは、選手が一定の限度を下回らないように保証するものである。これはデフレ対策にもなるが、USCFレーティング委員会の委員長は、上達中の選手に追加ポイントが与えられないとしてこの方法を批判している。これらのレーティングフロアの動機として考えられるのは、サンドバッギング、つまりレーティングを意図的に下げて、より低いレーティングクラスのセクションや賞品を獲得する資格を得ることと戦うことである。^[46]

1997 年 ( Deep Blue 対 Garry Kasparov ) から 2006 年までの人間とコンピュータのチェスの試合では、チェスのコンピュータは最強の人間プレイヤーでさえも倒すことができることが実証されました。しかし、チェス エンジンの評価は、時間制御やプログラムが実行されるハードウェアなどの可変要素、およびチェスが公平なゲームではないという事実のため、定量化が困難です。チェスにおける先手優位性の存在と大きさは、コンピュータ レベルで非常に重要になります。あるスキルのしきい値を超えると、白のエンジンは、完璧なプレイに対しても、要求に応じて開始位置から引き分けを強制できるはずです。これは、白が起こす可能性のあるエラーの規模が小さいことに比べて、失うには大きすぎる優位性から開始するためです。したがって、このようなエンジンは、完璧なプレイに対しても、少なくとも 25% のスコアを獲得することが多かれ少なかれ保証されています。あるポイントを超えるスキルの差は、通常の開始位置から開始せず、代わりに一方がかろうじて負けない開始位置を選択した場合にのみ検出できます。これらの要因により、レーティングはペアリングと選択されたオープニングに依存します。^[48] CCRLなどの公開されたエンジンレーティングリストは、標準的なハードウェア構成でのエンジンのみのゲームに基づいており、FIDEレーティングと直接比較することはできません。

いくつかのレーティングの推定については、チェス エンジン § レーティングを参照してください。

• 囲碁:欧州囲碁連盟は、チェコ囲碁連盟が最初に開発した Elo ベースの評価システムを採用しました。
• バックギャモン: 人気のFirst Internet Backgammon Server (FIBS)は、改良されたEloシステムに基づいてレーティングを計算します。新しいプレーヤーには1500のレーティングが割り当てられ、最高の人間とボットのレーティングは2000を超えます。同じ計算式は、 Play65、DailyGammon、GoldToken、VogClubなど、他のいくつかのバックギャモンサイトでも採用されています。VogClubは、新しいプレーヤーのレーティングを1600に設定します。英国バックギャモン連盟は、英国国内のレーティングにFIBSの計算式を使用しています。 ^[49]
• スクラブル:英国を除く各国のスクラブル組織は、正規分布の Elo レーティングを計算しますでは別のシステムが使用されています。北米スクラブル プレイヤー協会は、 2011 年初頭の時点で約 2,000 名という、最も多くのレーティングを持つアクティブ メンバーを擁しています。LexulousもElo システムを使用しています。
• 運が要素となるゲームを評価するためにイロシステムを使用することの適切性について疑問があるにもかかわらず、トレーディングカードゲームの製造業者は、組織的プレイの取り組みにイロレーティングを使用することが多い。DCI （旧デュエリスト・コンボケーション・インターナショナル）は、マジック：ザ・ギャザリングやその他のウィザーズ・オブ・ザ・コースト社のゲームのトーナメントにイロレーティングを使用していた。しかし、DCIは2012年にこのシステムを放棄し、新しい累積的な「プレインズウォーカーポイント」システムを採用した。これは主に、イロが高評価のプレイヤーに「自分のレーティングを守る」ためにプレイを避けるよう促すという前述の懸念による。^{[40] [41]} ポケモンUSAは、 TCG組織的プレイの競技者のランク付けにイロシステムを使用している。^{[50] 2011-2012シーズンまで、さまざまな地域のトッププレイヤーへの賞品には、休暇や世界選手権への招待などがあり、このシーズンでは、賞はチャンピオンシップポイントシステムに基づいており、その根拠は}マジック：ザ・ギャザリングに対するDCIと同じであった。同様に、Decipher, Inc. は、Star Trek Customizable Card GameやStar Wars Customizable Card Gameなどのランク付けされたゲームに Elo システムを使用しました。

Elo レーティング システムは、チェス ボクシングのチェス パートで使用されます。プロのチェス ボクシングに参加するには、少なくとも 1600 の Elo レーティングを持ち、アマチュア ボクシングまたは格闘技の試合に 50 回以上出場している必要があります。

アメリカの大学フットボールは、1998年から2013年までボウル・チャンピオンシップ・シリーズの評価システムの一部としてイロ方式を使用していましたが、その後BCSはカレッジ・フットボール・プレーオフに置き換えられました。USAトゥデイのジェフ・サガリンは、ほとんどのアメリカのスポーツのチームランキングを発表しており、その中にはカレッジ・フットボールのイロ方式の評価も含まれています。評価システムの使用は、2014年にカレッジ・フットボール・プレーオフが創設されたことで事実上廃止されました。

他のスポーツでは、個人がEloアルゴリズムに基づいてランキングを作成している。これらは通常非公式であり、スポーツの統括団体によって承認されていない。ワールドフットボールEloレーティングは、男子フットボールに適用された方法の一例である。^[51] 2006年、当時Baseball Prospectusに所属していたネイト・シルバーが、メジャーリーグベースボールのチーム向けにEloレーティングを採用した。^[52]この採用に基づいて、両氏はチームがプレーオフに進出するかどうかのオッズについて、Eloベースのモンテカルロシミュレーションも行った。 ^[53] 2014年、SB NationのサイトであるBeyond the Box Scoreが、国際野球のEloランキングシステムを導入した。^[54]

テニスでは、年齢、性別、国籍を問わず、イロベースのユニバーサル・テニス・レーティング（UTR）が世界規模で選手を評価している。これは、大学テニス協会や世界チームテニスなどの主要組織の公式評価システムであり、テニス・チャンネルのコーナーでも頻繁に使用されている。このアルゴリズムは、世界中の80万人以上のテニス選手の800万以上の試合結果を分析する。2018年5月8日、ラファエル・ナダルはクレーコートの試合で46セット連続で勝利し、ほぼ完璧なクレーUTR16.42を記録した。^[55]

ビリヤードでは、組織化されたアマチュアおよびプロの大会でプレイヤーをランク付けするために、Fargo Rateと呼ばれるEloベースのシステムが使用されています。^[56]

スポーツ統括団体が承認している数少ないEloベースのランキングの1つが、FIFA女子世界ランキングです。これは、 FIFAが女子サッカーの代表チームの公式ランキングシステムとして使用しているEloアルゴリズムの簡易版に基づいています。

FIFAは2018年FIFAワールドカップ後の最初のランキングリストからFIFA世界ランキングにイロを使用している。^[57]

2015年、統計解説ウェブサイトFiveThirtyEightの編集長ネイト・シルバーとルーベン・フィッシャー・バウムは、2014年シーズンまでの全NBAチームとシーズンのイロレーティングを作成した。 ^{[58] [59] 2014年にFiveThirtyEightは、アメリカのプロ}のNFLのイロベースのレーティングと勝利予測を作成した。^[60]

イングランド・コーフボール協会は、2011/12 シーズンのカップ戦のハンディキャップを決定するために、Elo レーティングに基づいてチームを評価しました。

ナショナルホッケーリーグの選手を対象にしたEloベースのランキングが開発されました。^[61]ホッケーElo指標は、均等な強さとパワープレー/ペナルティキルの両方の状況での得点と防御という、選手の総合的な双方向のプレーを評価します。

Rugbyleagueratings.com は、Elo 評価システムを使用して、国際およびクラブラグビー リーグチームをランク付けします。

Hemaratings.comは2017年に開始され、グリコ2アルゴリズムを使用して、ロングソード、レイピア、歴史的なサーベル、ソード＆バックラーなどのさまざまなカテゴリーで世界中の歴史的なヨーロッパの武術剣士をランク付けしています。^[62]

多くのビデオゲームは、競技ゲームプレイで修正されたEloシステムを使用しています。MOBAゲームのLeague of Legendsは、競技プレイの第2シーズンより前にEloレーティングシステムを使用していました。^[63]ユニークなプロスポーツ組織Overwatch Leagueの基礎となっているeスポーツゲームのOverwatchは、競技シーズン間でさまざまな調整を加えたEloシステムの派生システムを使用して競技プレイヤーをランク付けしています。^[64] World of Warcraftも以前はGlicko-2システムを使用してArenaプレイヤーをチーム分けして比較していましたが、現在はMicrosoftのTrueSkillに似たシステムを使用しています。^[65]ゲームPuzzle Piratesは、さまざまなパズルの順位を決定するためにEloレーティングシステムを使用しています。このシステムは、FIFA MobileのDivision Rivalsモードにも使用されています。Eloレーティングシステムを使い始めた最近の別のゲームはAirMechで、1v1、2v2、3v3のランダム/チームマッチメイキングにElo [66] レーティングを^{使用しています。} RuneScape 3は、 2016年にバウンティハンターミニゲームの再リリースでEloシステムを使用しました。 ^[67] Mechwarrior Onlineは、2017年6月20日のパッチで、新しい「Comp Queue」モードにEloシステムを導入しました。^[68] Age of Empires II DEと Age of Empires III DEは、リーダーボードとマッチメイキングにEloシステムを使用しており、新しいプレーヤーはElo 1000から始まります。 ^[69] Competitive Classic Tetris（Nintendo Entertainment Systemでプレイするテトリス）は、プレーヤーの個人的な最高スコアと大幅に修正されたEloシステムを組み合わせて評価を導き出します。^[70]

オリジナルのEloレーティングシステムを使用しているビデオゲームはほとんどありません。オンラインチェスサーバーのLichessによると、Eloシステムは時代遅れで、現在多くのチェス組織ではGlicko-2が使用されています。 ^[71] PlayerUnknown's Battlegroundsは、最初のEloシステムを使用している数少ないビデオゲームの1つです。Guild Warsでは、ギルド対ギルドの戦いで獲得または失われたギルドレーティングを記録するためにEloレーティングが使用されています。1998年には、 Clanbase ^[72]と呼ばれるオンラインゲームラダーが開始され、Eloスコアリングシステムを使用してチームをランク付けしました。当初のK値は30でしたが、2007年1月に5に変更され、2009年7月に15に変更されました。^[73]このサイトはその後、2013年にオフラインになりました。^{[74]同様の代替サイトが2016年に}Scrimbase ^[75]という名前で開始され、チームのランク付けにEloスコアリングシステムを使用しました。 2005年以来、ゴールデンティーライブはEloシステムに基づいてプレイヤーを評価してきました。新しいプレイヤーは2100から始まり、トッププレイヤーは3000以上の評価を受けています。^[76]

多くのビデオゲームではマッチメイキングにさまざまなシステムを使用していますが、ランク付けされたビデオゲームのプレイヤーは、すべてのマッチメイキングの評価をEloと呼ぶのが一般的です。

Elo評価システムは、人間の特徴を用いた個人の識別に関するソフトバイオメトリクス^[77]で使用されています。Elo評価システムと並行して比較特徴が使用され、堅牢で識別力のある「相対測定」が提供され、正確な識別が可能になりました。

Eloレーティングシステムは、生物学では男性の優位性の階層を評価するために使用され、^{[78]また、}生地の検査のための自動化とコンピュータービジョンにも使用されています。^[79]

さらに、オンライン審査サイトもEloレーティングシステムまたはその派生システムを使用しています。たとえば、Topcoderは正規分布に基づく修正版を使用していますが、 ^[80] Codeforcesはロジスティック分布に基づく別のバージョンを使用しています。^{[81] [82] [83]}

Eloレーティングシステムは、Eloレーティングシステムの変種を使用しているマッチングアプリTinderなどの出会い系アプリでも注目されています。 ^[84]

YouTuberのマルケス・ブラウンリーと彼のチームは、2022年に発売されたさまざまなスマートフォンモデルで撮影されたデジタル写真の間で投票してもらう際に、Elo評価システムを使用しました^。[85]

Elo評価システムは、デジタル資格会社パーチメントによる米国の公開選考大学ランキングにも使用されている。 ^{[86] [87] [88]}

EloレーティングシステムはAIモデルの評価にも採用されています。2021年、Anthropicは研究でAIモデルのランキング付けにEloシステムを利用しました。^{[89] LMSYSリーダーボードは、} Bradley–Terryモデルに移行する前に、AIモデルのランキング付けにEloレーティングシステムを短期間採用しました[90 ^]。^[91]

Elo レーティング システムは、2010 年の映画「ソーシャル ネットワーク」で、マーク ザッカーバーグがFacemash を公開したアルゴリズムのシーンで大きく取り上げられました。そのシーンでは、エドゥアルド サベリンがザッカーバーグの寮の部屋の窓に Elo レーティング システムの数式を書いています。映画の主張によると、舞台裏では Elo システムが女の子の魅力をランク付けするために使用されています。アルゴリズムを動かす方程式は、窓に書かれて簡単に示されていますが、^[92]少し間違っています。^[要出典]

• エロ地獄
• レーティングパーセンテージインデックス（RPI）、対戦相手の強さを組み込んだ別のシステム

• エロ、アルパド（1986）[初版1978年]。チェスプレイヤーのレーティング、過去と現在（第2版）。ニューヨーク：アルコパブリッシング、Inc。ISBN 978-0-668-04721-0。

• ハークネス、ケネス(1967)。公式チェスハンドブック。マッケイ。

• マーク・グリックマンの研究ページ。チェスの評価システムに関する技術論文へのリンクが多数掲載されている。