Gリング

可換代数において、G環またはグロタンディーク環は、その局所環のいずれかから完備化への写像が正則であるようなネーター 環である（以下で定義）。代数幾何学や数論で自然に現れるネーター環のほとんどすべてはG環であり、G環ではないネーター環の例を構築するのは非常に難しい。この概念はアレクサンダー・グロタンディークにちなんで名付けられた。

G 環とJ-2 環の両方である環は準優秀環と呼ばれ、さらに普遍カテナリーである場合は優秀環と呼ばれます。

• 体k を含む(ネーター) 環Rがk上幾何学的に正則であるとは、 kの任意の有限拡大Kに対して環R  ⊗ _k Kが正則環であるときです。  
• RからSへの環の準同型は、平坦であり、任意の p ∈ Spec( R ) に対してファイバーS  ⊗ R k (  p ₎がpの留数体k ( p )上で幾何学的に正則である場合に正則と呼ばれます。(ポペスクの定理も参照。) 
• 環がネーター局所環であり、その完備化への写像（その最大イデアルに関して）が正則である場合、その環は局所 G 環と呼ばれます。
• 環がネーター環であり、素イデアルにおけるその局所化がすべて局所 G 環である場合、その環は G 環と呼ばれます。(極大イデアルについてのみこれを確認すれば十分であり、したがって特に局所 G 環は G 環です。)

• すべてのフィールドはGリング
• すべての完全なネーター局所環はG環である
• RまたはC上の有限個の変数における収束するべき級数の環はすべてG 環です。
• 特性0のすべてのデデキント領域、特に整数環は G 環ですが、正の特性ではG 環ではないデデキント領域 (および離散値環) が存在します。
• Gリングのあらゆる局在はGリングである
• G 環上のすべての有限生成代数は G 環です。これはグロタンディークの定理です。

以下は、 G 環ではない、特性p >0 の離散付値環Aの例です。k が[ k : k p ] = ∞ かつ R = k [[ x ]] となる特性 pの^任意の体であり、Aが[ k p ( ^a 0 , _a 1 , _... ) : k ^p ] が有限となるような冪級数 Σ a _i x ⁱの部分環である場合、一般点上のAの形式ファイバーは幾何学的に正則でないため、Aは G 環ではありません。ここで、k ^{p は}、フロベニウス射a → a ^pによるkの像を表します。

• A. Grothendieck、J. Dieudonné、Eléments de géométrie algébrique IVPubl。数学。 IHÉS 24 (1965)、セクション 7
• H. Matsumura,可換代数 ISBN  0-8053-7026-9、第13章。