オイラーの公式

指数関数${\displaystyle f(z)=e^{z}}$は、導関数が関数に等しくなる複素変数の唯一の微分可能な関数です。$${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$$そして$${\displaystyle f(0)=1.}$$

複素数zの場合$${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}。$$

比率判定法を用いると、このべき級数が無限の収束半径を持ち、すべての複素数zに対してe ^zを定義することが示される。

複素数zの場合$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

ここで、nは正の整数に限定されているため、指数nを持つべき乗の意味について疑問の余地はありません。

この証明は、三角関数と指数関数の商が1の定数関数であることを示しているので、それらは等しくなければならない（指数関数は決してゼロにならないので、これは許容される）。^{[ 9 ] [ 10 ]}

関数f ( θ )を考えてみましょう$${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$$ 実数θに対して。微分すると、積の法則により$${\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0}$$ したがって、f ( θ )は定数です。指数関数は定義によりθ =0のとき1であり、複素三角関数もそこで1となるため、f (0)=1/1=1となり、すべての実数θに対してf ( θ )=1となり、したがって $${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

以下に、べき級数展開を用いたオイラーの公式の証明と、 iのべき乗に関する基本的な事実を示します。^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}$$

ここで上記のべき級数の定義を用いると、実数値のxに対して次のことが分かる。$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}$$ 最後のステップで、2つの項がcos xとsin xのマクローリン級数であることがわかります。正弦級数と余弦級数は収束することがわかっているので、2つの級数に分割することは正当化されます。

別の証明^{[ 12 ]}は、すべての複素数は極座標で表現できるという事実と、${\displaystyle e^{ix}}$同様に表現することもできます。これは、解が見つかった場合に当てはまります。したがって、xに依存するあるrとθに対して、 $${\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}$$rとθ については仮定を置いていません。これらは証明の過程で決定されます。指数関数のどの定義からでも、 e ^ixの導関数はie ^ixであることが示せます。したがって、両辺を微分すると次のようになります 。$${\displaystyle ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.}$$e ^ixの代わりにr (cos θ + i sin θ ) を代入し、この式の実部と虚部を等しくすると、dr / dx = 0およびdθ / dx = 1となります。したがって、 rは定数であり、θはある定数Cに対してx + Cとなります。これで、次の式が得られます 。$${\displaystyle e^{i\theta }=re^{iC}(\cos \theta +i\sin \theta );}$$e ^{i 0} = 1 で あることを知っているので、θ = 0の場合、これは次のようになります。 $${\displaystyle 1=re^{iC}(\cos(0)+i\sin(0))=re^{iC}(1+i0)=re^{iC},}$$ 私たちに一定の${\displaystyle re^{iC}=1}$そして公式を証明する $${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

位相幾何学の言葉で言えば、オイラーの公式は虚指数関数が${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$は実数直線からの位相群の（全射）射である${\displaystyle \mathbb {R} }$単位円へ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$実際、これは${\displaystyle \mathbb {R} }$覆いスペースとして${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$同様に、オイラーの等式によれば、この写像の核は次のようになります。${\displaystyle \tau \mathbb {Z} }$、 どこ${\displaystyle \tau =2\pi }$これらの観察結果は、以下の可換図式にまとめられる。

微分方程式では、最終的な解が正弦関数と余弦関数を含む実関数であっても、解を簡略化するために関数e ^ixがよく用いられます。これは、指数関数が微分演算の固有関数であるためです。

電気工学、信号処理、および類似の分野では、時間とともに周期的に変化する信号は、正弦関数の組み合わせとして記述されることが多く（フーリエ解析を参照）、これらはオイラーの公式を用いて虚数指数を持つ指数関数の和としてより簡便に表現されます。また、回路のフェーザ解析では、コンデンサやインダクタのインピーダンスを表すためにオイラーの公式を用いることができます。

四元数の4次元空間には、虚数単位の球面が存在する。この球面上の任意の点rと実数 xに対して、オイラーの公式が成り立つ。$${\displaystyle \exp xr=\cos x+r\sin x,}$$そして、この要素は四元数ではバーソル と呼ばれる。すべてのバーソルの集合は、4次元空間において3次元球面を形成する。