キラリティー（数学）

幾何学では、図形がその鏡像と同一でない場合、またはより正確には、回転と平行移動だけでは鏡像に写像できない場合、その図形はキラルである（キラリティーを持つと言われる）。キラルでないオブジェクトはアキラルであると言われる。

キラルな物体とその鏡像は、エナンチオモルフと呼ばれます。キラリティという言葉は、ギリシャ語のχείρ (cheir)（手、最もよく知られているキラルな物体）に由来しています。エナンチオモルフという言葉は、ギリシャ語のἐναντίος (enantios)「反対」+ μορφή (morphe)「形」に由来しています。

らせん構造などの一部のキラルな三次元物体は、右手の法則に従って右巻きまたは左巻きに割り当てることができます。

手袋や靴など、他の多くの身近な物体も人体と同じキラル対称性を示しています。右の靴と左の靴の違いは、互いに鏡像であるという点だけです。対照的に、薄​​い手袋は裏返しに着用できる場合、キラルとは見なされない場合があります。^[1]

人気ビデオゲーム「テトリス」のJ 字型、L 字型、S 字型、Z 字型のテトリミノもキラリティーを示しますが、これは 2 次元空間でのみ発生します。個別に見ると、平面内で鏡面対称性は存在しません。

図形がアキラルであるためには、その対称群に少なくとも 1 つの方向反転等長変換が含まれます。(ユークリッド幾何学では、任意の等長変換は直交行列とベクトルとして表すことができます。この場合、の行列式は 1 または -1 になります。それが -1 の場合、等長変換は方向反転であり、それ以外の場合は方向保存です。 ${\displaystyle v\mapsto Av+b}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$

群論に基づくキラリティーの一般的な定義が存在する。^[2]これはいかなる方向概念にも言及していない。等長変換は等長変換の平方の積である場合にのみ直接的であり、そうでない場合は間接的である。結果として得られるキラリティーの定義は時空で機能する。^{[3] [4]}

2次元では、対称軸を持つすべての図形は非対称であり、すべての有界な非対称図形は対称軸を持つ必要があることが示されます。(図形の対称軸は、座標系の -軸として が選択されたときに、マッピング に対して不変である直線 です。)そのため、三角形は、正三角形または二等辺三角形の場合は非対称であり、不等辺三角形の場合は非対称です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle L}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$

次のパターンを考えてみましょう。

この図は鏡像と同一ではないため、キラルです。

しかし、パターンを両方向に無限に延長すると、対称軸を持たない（無限の）アキラル図形が得られます。その対称群は、単一のすべり反射によって生成されるフリーズ群です。

3次元では、対称面 S ₁、対称反転中心S ₂、またはより高次の不適正回転（回転反射）S _n対称軸^[5]を持つすべての図形は非対称です。（図形の対称面とは、座標系の-平面として選択されたときに、マッピング に対して不変である平面です。図形の対称中心とは、座標系の原点として選択されたときに、マッピング に対して不変である点です。）ただし、平面と対称中心の両方を欠く非非対称図形があることに注意する必要があります。例として、図 ${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y,-z)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}}$

これは向きを反転する等長変換に対して不変であり、したがって非非対称であるが、対称面も対称中心も持たない。 ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)}$

${\displaystyle F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}}$

原点は対称中心ですが、対称面がないため、アキラルでもあります。

アキラルな図形は中心軸を持つことができます。

結び目は、連続的に鏡像に変形できる場合、アキラルと呼ばれます。そうでない場合は、キラル結び目と呼ばれます。たとえば、アンクノットと8 の字結び目はアキラルですが、トレフォイルノットはキラルです。

• キラル多面体
• カイラリティ（物理学）
• パリティ（物理学）
• キラリティー（化学）
• 非対称
• 歪度
• 頂点代数

• フラパン、エリカ(2000)。トポロジーと化学が出会うとき。展望。ケンブリッジ大学出版局およびアメリカ数学協会。ISBN 0-521-66254-0。

• 対称性、キラリティー、対称性の尺度、キラリティーの尺度: 一般的な定義
• キラル多面体、Eric W. Weisstein、Wolfram Demonstrations Project著。
• 多様体アトラスのキラル多様体。