イオネスク・トゥルチャの定理

数学の確率論において、イオネスク＝トゥルチャの定理（イオネスク＝トゥルチャの拡張定理とも呼ばれる）は、可算無限個の個々の確率事象からなる確率事象に対する確率測度の存在を扱っている。特に、個々の事象は互いに独立している場合もあれば、依存している場合もある。したがって、この定理は可算積測度の単なる存在を超えている。この定理は1949年にカッシウス・イオネスク＝トゥルチャによって証明された。^{[1] [2]}

が確率空間であり、が測定可能な空間の列であるとする 。各${\displaystyle (\Omega _{0},{\mathcal {A}}_{0},P_{0})}$${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \kappa _{i}\colon (\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})\to (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$

とから導かれるマルコフ核とする。ここで ${\displaystyle (\Omega ^{i-1},{\mathcal {A}}^{i-1})}$${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i}),}$

${\displaystyle \Omega ^{i}:=\prod _{k=0}^{i}\Omega _{k}{\text{ および }}{\mathcal {A}}^{i}:=\bigotimes _{k=0}^{i}{\mathcal {A}}_{k}.}$

すると、確率測度の列が存在する。

${\displaystyle P_{i}:=P_{0}\otimes \bigotimes _{k=1}^{i}\kappa _{k}}$シーケンスの積空間上で定義され、${\displaystyle (\Omega ^{i},{\mathcal {A}}^{i})}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$

そして、上に一意に定義された確率測度が存在するので、 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \left(\prod _{k=0}^{\infty }\Omega _{k},\bigotimes _{k=0}^{\infty }{\mathcal {A}}_{k} \右）}$

${\displaystyle P_{i}(A)=P\left(A\times \prod _{k=i+1}^{\infty }\Omega _{k}\right)}$

はそれぞれおよびに対して満たされる。（この測度は確率核に等しい条件付き確率を持つ。） ^[3]${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}^{i}}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle P}$

イオネスク-トゥルチャの定理の証明に用いられる構成は、マルコフ決定過程の理論、特にマルコフ連鎖の理論でよく用いられる。^[3]

• 崩壊定理
• 通常の条件付き確率

• クレンケ、アヒム (2013)。Wahrscheinlichkeitstheorie (第 3 版)。ベルリン ハイデルベルク: Springer-Verlag。 292–294ページ。土井：10.1007/978-3-642-36018-3。ISBN 978-3-642-36017-6。
• Kusolitsch、Norbert (2014)。Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung (第 2 版)。ベルリン;ハイデルベルク: Springer-Verlag。 169–171ページ。土井：10.1007/978-3-642-45387-8。ISBN 978-3-642-45386-1。