2カテゴリー

定義上、厳密な2カテゴリCは、次のデータで構成されます。^{[ 3 ]} 

• 0-セルのクラス、
• 0セルのペアごとに${\displaystyle a,b}$セット${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$1-セルのセットと呼ばれる${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$、
• 1セルの各ペアについて${\displaystyle f,g}$同じホムセット内のセット${\displaystyle \operatorname {2Mor} (f,g)}$2-セルのセットと呼ばれる${\displaystyle f}$に${\displaystyle g}$、
• 一般的な構成：地図${\displaystyle \circ$ :\operatorname {Hom} (b,c)\times \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)} 、
• 垂直構成：地図${\displaystyle \circ$ :\operatorname {2Mor} (g,h)\times \operatorname {2Mor} (f,g)\to \operatorname {2Mor} (f,h)} 、ただし${\displaystyle f,g,h}$同じホームセットに属し、
• 水平構成：地図${\displaystyle *:\operatorname {2Mor} (u,v)\times \operatorname {2Mor} (f,g)\to \operatorname {2Mor} (u\circ f,v\circ g)}$のために${\displaystyle f,g:a\to b}$そして${\displaystyle u,v:b\to c}$

以下の条件を満たすもの

• 0セルと1セルが交互に存在する0セルは、通常の構成の下でカテゴリーを形成する。
• 各0セルについて${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$1セルから${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$2つのセルが間に挟まれており、垂直構成のカテゴリを形成している。
• 0セルと、その間に1セルを挟んだ2セルは、水平合成の下でカテゴリーを形成する。すなわち、オブジェクトは0セルであり、${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$は、次の形式のすべての 2 セルの集合です。${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g}$一部の人にとって${\displaystyle f,g:a\to b}$、
• 交換法：${\displaystyle (\delta *\beta )\circ (\gamma *\alpha )}$定義すると、 は と同じである${\displaystyle (\delta \circ \gamma )*(\beta \circ \alpha )}$。

0-セル、1-セル、2-セルという用語は、一部の文献^{[ 4 ]}では0-射、1-射、2-射に置き換えられています（高次圏論も参照）。垂直合成と水平合成は次のように表記されます。$\displaystyle \circ _{1},\circ _{0}}$。

交換法則は、以下のように貼り付け図として表すことができる。

ここでは、左側の図は水平複合材の垂直構成を表し、右側の図は垂直複合材の水平構成を表し、中央の図は両方の一般的な表現です。2セルは二重矢印⇒、 1セルは単一矢印→、0セルは点で表されます。

定義はご覧のとおり簡潔ではないため、実際には、厳密な 2-圏を定義するために、高次圏論（下記参照）や拡張圏論などの圏論の一般化を用いる方が一般的です。厳密な 2-圏の概念は、下記で定義されるより一般的な弱い 2-圏の概念とは異なり、1-セルの合成（水平合成）が厳密に結合的である必要がありますが、弱いバージョンでは、一貫性のある 2-同型を除いて結合的であれば十分です。

モノイド圏Vが与えられたとき、 V上で拡張された圏C は圏の抽象版である。すなわち、それはデータから構成される。

• オブジェクトのクラス、
• オブジェクトの各ペアについて${\displaystyle a,b}$、ホームオブジェクト${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$で${\displaystyle V}$、
• 合成：射${\displaystyle \operatorname {Hom} (b,c)\otimes \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)}$で${\displaystyle V}$、
• 恒等式：射${\displaystyle 1\to \operatorname {Hom} (a,a)}$で${\displaystyle V}$

結合法則と単位公理に従うもの。特に、${\displaystyle V={\textbf {セット}}}$は、集合のカテゴリです。${\displaystyle \otimes }$直積の場合、その上に拡張されたカテゴリは通常のカテゴリである。

もし${\displaystyle V={\textbf {猫}}}$小さなカテゴリのカテゴリ${\displaystyle \otimes }$カテゴリーの積である場合、その上に拡張されたカテゴリーは厳密には厳密な2カテゴリーである。実際、${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$は圏の構造を持つため、2セルと垂直合成を与える。また、各合成は関手であり、特に2セルを2セルに写像することで水平合成を与える。交換法則は合成の関手性から導かれる結果である。

3つのカテゴリーについても同様のプロセスを行うと、3つのカテゴリーが導き出され、より一般的にはnつのカテゴリーに対して弱いnカテゴリーが導き出されるが、このような帰納的なアプローチは今日では必ずしも一般的ではない。

弱い 2 圏または双圏は、水平合成がコヒーレント同型を除いて結合的である必要がある点を除いて、厳密な 2 圏とまったく同じように定義できます。ここでのコヒーレント条件は、モノイド圏に必要な条件と似ています。したがって、たとえば、モノイド圏は 1 つの 0 セルを持つ弱い 2 圏と同じです。^{[ 5 ]}

高次圏論において、C が0 単体、1 単体、2 単体のみによって構造が決定される∞ 圏(弱い Kan 複体)である場合、それは弱い (2, 1) 圏、すなわち、すべての 2 射が可逆である弱い 2 圏である。したがって、弱い 2 圏とは、0、1、2単体のみによって構造が決定される(∞, 2) 圏である。

典型的な2-圏は、自然変換が2-射として機能する小圏の圏である。 ^{[ 6 ]}オブジェクト（0-セル）はすべて小圏であり、オブジェクトaとbについては、 hom-集合は${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,b)}$ファンクター圏として圏の構造を獲得する。垂直合成は^{[ 7 ]}自然変換の合成である。

同様に、モノイド圏Vが与えられた場合、 V上で豊饒化された (小さな) 圏の圏は2-圏である。また、${\displaystyle A}$カテゴリの場合は、カンマで区切ります。$\displaystyle \mathbf {Cat} \downarrow A}$は、同一性にマッピングされる自然な変換を持つ2カテゴリである。^{[ 6 ]}

Catと同様に、群圏（射が可逆な圏）は2-圏を形成し、2-射は自然変換である。多くの場合、すべての2-射が可逆変換であるGrpdも考慮される。後者の場合、それは(2, 1)-圏である。

順序付き集合のカテゴリOrd は、各 hom-集合が自然な順序付き構造を持つため 2-カテゴリです。したがって、カテゴリ構造は${\displaystyle f\leq g\Leftrightarrow f(x)\leq g(x)}$各要素xについて。

より一般的には、ある圏における順序付けられた対象の圏は2-圏である。^{[ 6 ]}

モノイドM = ({T, F}, ∧ , T)に基づくモノイド前順序Bool ^{[ 8 ]}のような単純なモノイド圏を考えます。圏としては、2 つのオブジェクト {T, F} と単一の射g : F → Tで表されます。

このモノイドを単一の対象x (1 つの 0-セル)を持つ双圏として再解釈することができます。この構成は、モノイドから小さな圏を構成するのと類似しています。対象 {T, F} は射となり、射gは自然変換となります (単一の hom-圏B ( x , x ) の関手圏を形成します)。

• すべての双圏は2-圏と「双同値」である^{[ 9 ] 。 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}これは厳密化（一貫性のある同型写像を等式に置き換えるプロセス）の一例である。