デルタ電位

出典：^{[ 1 ]}

ポテンシャルは空間を2つの部分（x < 0とx > 0）に分割する。これらの各部分ではポテンシャルはゼロであり、シュレーディンガー方程式は次のように簡略化される。 $$\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi$$  これは定数係数を持つ線形微分方程式であり、その解はe ^ikxとe ^{− ikx}の線形結合であり、波数kはエネルギーと次の関係にある 。 $${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.}$$

一般に、原点にデルタポテンシャルが存在するため、解の係数は両方の半空間で同じである必要はない。 $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}}$$ここで、正のエネルギー（実数k ） の場合、e ^{ikx は}右方向に伝わる波を表し、e ^{− ikx は}左方向に伝わる波を表します。

波動関数が原点で連続であるという条件を課すことで、係数間の関係式が得られる。 $${\displaystyle \psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},}$$

2つ目の関係は、波動関数の導関数を調べることで見つけることができます。通常、原点で微分可能性を課すこともできますが、デルタポテンシャルのためこれは不可能です。しかし、x = 0の周りでシュレーディンガー方程式を区間で積分すると、${\displaystyle [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.}$$

極限では${\displaystyle \varepsilon \to 0}$、この方程式の右辺はゼロになり、左辺は $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),}$$ なぜなら $${\displaystyle \int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].}$$ψ の定義をこの式に 代入すると、$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.}$$

したがって、境界条件は係数に対して以下の制約を与える。 $${\displaystyle {\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}}$$

任意の一次元引力ポテンシャルには束縛状態が存在する。そのエネルギーを求めるには、E < 0の場合、k = i √ 2 m | E | / ħ = iκは虚数であり、上記の計算で正のエネルギーに対して振動していた波動関数は、xの指数関数的に増加または減少する関数となることに注意する（上記参照）。波動関数が無限遠で発散しないという条件により、項の半分が消去される。A r = B _l = 0。すると波動関数は次のようになる _。$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

境界条件と正規化条件から、 $${\displaystyle {\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}}$$ このことから、λは負でなければならない、つまり束縛状態は井戸に対してのみ存在し、障壁に対しては存在しないことがわかる。この波動関数のフーリエ変換はローレンツ関数である。

束縛状態のエネルギーは次のようになる。 $${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.}$$

正のエネルギーの場合、粒子は半空間（ x < 0またはx > 0 ）内を自由に移動できる。デルタ関数ポテンシャルで散乱される可能性がある。

量子的なケースは、次の状況で研究できます。粒子が左側から障壁に入射します( A _r )。反射( A _l )または透過( B _r )する可能性があります。左側からの入射に対する反射と透過の振幅を求めるには、上記の式にA _r = 1 (入射粒子)、A _l = r (反射)、B _l = 0 (右側からの入射粒子なし)、B _r = t (透過) を代入し、 tに関する式はありませんが、 rとtについて解きます。結果は次のようになります。 $${\displaystyle t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.}$$

モデルの鏡面対称性により、右側からの入射の振幅は左側からの入射の振幅と同じになります。その結果、ゼロでない確率が存在します。 $${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}}$$粒子が反射されるためには、 λ の符号に依存しない。つまり、障壁も井戸も粒子を反射する確率は同じである。これは古典力学とは大きく異なる。古典力学では、障壁の場合の反射確率は 1 (粒子は単純に跳ね返る)、井戸の場合の反射確率は 0 (粒子は井戸を妨害されずに通過する) となる。

感染の確率は $${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.}$$

上記の計算は、一見すると非現実的で役に立たないように思えるかもしれません。しかし、実際には様々な実世界のシステムに適したモデルであることが証明されています。

一例として、2つの導電性材料間の界面が挙げられます。材料内部では、電子の運動は準自由であり、上記のハミルトニアンの運動項と有効質量mで記述できます。多くの場合、このような材料の表面は酸化物層で覆われていたり、その他の理由で理想的ではありません。この薄い非導電性層は、上記のように局所的なデルタ関数ポテンシャルでモデル化できます。電子は一方の材料から他方の材料へトンネル効果によって移動し、電流が発生します。

走査型トンネル顕微鏡（STM）の動作は、このトンネル効果に基づいています。この場合、障壁はSTMの探針と対象物の間の空気によって生じます。障壁の強さは分離距離に関係しており、両者の距離が離れるほど障壁は強くなります。この状況のより一般的なモデルについては、「有限ポテンシャル障壁（QM）」を参照してください。デルタ関数ポテンシャル障壁は、そこで検討されているモデルにおいて、非常に高く狭い障壁の場合の極限ケースです。

上記のモデルは一次元ですが、私たちの周りの空間は三次元です。したがって、実際にはシュレーディンガー方程式を三次元で解く必要があります。一方、多くのシステムは一方向の座標に沿ってのみ変化し、他の方向には並進不変です。この場合、シュレーディンガー方程式は、波動関数の次のタイプの仮説によって、ここで検討されているケースに還元できます。${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!}$。

あるいは、デルタ関数をある領域Dの表面上に存在するように一般化することも可能です(指標のラプラシアンを参照)。^{[ 2 ]}

デルタ関数モデルは、実際にはダドリー・R・ハーシュバックのグループによって開発された次元スケーリング法に従って水素原子の1次元バージョンです^{[ 3 ]。}デルタ関数モデルは、次のセクションで示すように、水素分子イオンの1次元バージョンを表す二重井戸ディラックデルタ関数モデル で特に有用になります。