リング内の粒子

量子力学では、一次元リング内の粒子は箱の中の粒子と類似している。リングに制限された自由粒子（厳密には、その構成空間は円である）に対するシュレーディンガー方程式は次のようになる。$\displaystyle S^{1}}$） は

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$

境界条件付き

${\displaystyle \psi (\theta +2\pi )=\psi (\theta )}$

粒子が環状構造の中に存在するという事実を表している。

半径 R の 1 次元リング上の極座標を使用すると、波動関数は角度座標のみに依存するため、^{[ 1 ]}

$\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$

波動関数が周期的であることを要求し、${\displaystyle \ \theta }$ピリオド付き$2π$（波動関数が円上で一価関数であるという要求から）そしてそれらが正規化されているという要求から、以下の条件が得られる。

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,d\theta =1\ }$、

そして

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$

これらの条件下では、シュレーディンガー方程式の解は次のように与えられる。

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\,\theta }}$

エネルギー固有値​${\displaystyle E}$周期境界条件により量子化され、満たす必要がある

$${\displaystyle e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\,\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}}$$または

${\displaystyle e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}}$

固有関数と固有エネルギーは次のとおりです。

${\displaystyle \psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm in\theta }}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}}$どこ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots }$

したがって、すべての値に対して2つの縮退した量子状態が存在する。${\displaystyle n>0}$（${\displaystyle \ e^{\pm in\theta }}$したがって、${\displaystyle 2n+1}$エネルギーが番号で示されるエネルギーまでの状態${\displaystyle n}$。

一次元リング内の粒子の場合、例えば原子核の周りを軌道運動する電子の角運動量の量子化を研究する際に、非常に参考になる例となる。この場合、方位角方向の波動関数は、リング上の粒子のエネルギー固有関数と同一である。

リング上の粒子の任意の波動関数はエネルギー固有関数の重ね合わせとして表せるという記述は、任意の周期関数をフーリエ級数で展開することに関するフーリエの定理と全く同じである。

この単純なモデルは、ベンゼンなどの環状分子のおおよそのエネルギー準位を求めるために使用できる。

有機化学において、芳香族化合物は、ベンゼン環（ケクレ構造）のように、通常は炭素原子5個または6個からなる原子環を含んでいます。バックミンスターフラーレンの表面も同様です。この環は円形導波路のように振る舞い、価電子は両方向に軌道を描きます。nまでのすべてのエネルギー準位を満たすには、${\displaystyle 2\times (2n+1)=4n+2}$電子は、スピンの向きがさらに2つあるため、非常に安定しています。これは「芳香族性」という特性をもたらし、ヒュッケル則として知られています。

さらに、回転分光法においては、このモデルは回転エネルギー準位の近似値として使用できる。

• 角運動量
• 調和解析
• 一次元周期的な場合
• 半円形のポテンシャル井戸
• 球形ポテンシャル井戸