ドリーニュ＝ルスティグ理論

数学において、ドリーニュ・ルスティグ理論は、ピエール・ドリーニュとジョージ・ルスティグ（1976年）によって導入された、コンパクトな台を持つℓ進コホモロジー（エタールコホモロジー）を用いて、リー型の有限群の線形表現を構築する方法である。 

Lusztig (1985)はこれらの表現を用いて、リー型のすべての有限単純群のすべての表現を見つけた。

G を有限体上で定義された簡約群とし、Fをフロベニウス写像とする。

イアン・G・マクドナルドは、F安定極大トーラスの一般位置指標から既約表現への写像が存在するはずだと推測した。${\displaystyle G^{F}}$（ Fの固定点）。一般線形群については、これはすでにJA Green ( 1955 )の研究で知られていました。これはPierre DeligneとGeorge Lusztigによって証明された主な結果です。彼らは、 F安定最大トーラスのすべての指標の仮想表現を発見しました。この指標は、指標が一般位置にあるときに（符号を除いて）既約です。 

最大トーラスが分割されている場合、これらの表現はよく知られており、トーラスの指標の放物型誘導によって与えられます（指標をボレル部分群に拡張し、次にそれをGまで誘導します）。放物型誘導の表現は、適切なゼロ次コホモロジー群の要素と考えることができる空間上の関数を使用して構成できます。デリーニュとルスティグの構成は、高次のコホモロジー群を使用して、非分割トーラスへの放物型誘導の一般化です。（放物型誘導は、GのトーラスをGのレヴィ部分群に置き換えて行うこともできます。この場合にも、デリーニュ-ルスティグ理論の一般化があります。）

ウラジミール・ドリンフェルドは、 SL ₂ ( F _q ) の離散級数表現がℓ 進コホモロジー群の中に見出される ことを証明した。

${\displaystyle H_{c}^{1}(X,\mathbb {Q} _{\ell })}$

定義されるアフィン曲線Xの

${\displaystyle xy^{q}-yx^{q}=1}$。

多項式​${\displaystyle xy^{q}-yx^{q}}$は一般線形群のディクソン不変量を構成する際に用いられる行列式であり 、特殊線形群の不変量である。

ドリーニュとルスティグの構成は、この基本的な例を他のグループに一般化したものである。アフィン曲線Xは、$\displaystyle T^{F}}$TがGの極大トーラスである「デリーニュ・ルスティグ多様体」上の束であり、最初のコホモロジー群だけを使用する代わりに、コンパクトな台を持つ ℓ 進コホモロジー群の交代和を使用して仮想表現を構成します。

ドリーニュ＝ルスティグの構成は、ヘルマン・ワイルによる極大トーラスの指標からコンパクト群の表現を構成する方法と形式的に類似している。コンパクト群の場合、極大トーラスの共役類が1つしかないため、比較的容易である。コヒーレント層コホモロジーを用いたボレル＝ワイル＝ボットによる代数群の表現の構成も同様である。

実半単純群の場合、表現を構成するためにズッカーマン関手を用いる、デリーニュとルスティグの構成法の類似物が存在する。

ドリーニュ・ルスティグ指標の構成には、有限体F _q上で定義された簡約線形代数群Gから構成される、ドリーニュ・ルスティグ多様体と呼ばれる補助代数多様体X _Tの族が用いられます。

BがGのボレル部分群であり、T がBの極大トーラスである場合、次のように書きます。

W _T、B

ワイル群の場合（正規化モジュール中央集権化モジュール）

N _G ( T )/ T

Tに関するGの、 Bに対応する単純根とともに。B 1 が最大トーラス T 1 を持つ別のボレル部分群である場合、₂つの_{ワイル群を同一視する}TからT ₁への 標準同型が存在する。したがって、これらすべてのワイル群を同一視し、それをGのワイル群Wと呼ぶことができる。同様に、正の根の選択が与えられた任意の 2 つの最大トーラスの間に標準同型が存在するため、これらすべてを同一視し、それをGの最大トーラスTと呼ぶことができる。

ブルハット分解により

G = BWB、

部分群B _{1 は}、あるb ∈ Bおよびw ∈ W ( W _{T , B}と同一視される)に対して、 bwによるBの共役として記述できます。ここで、 wは一意に決定されます。この場合、BとB _1は相対位置wにあると言います。

wがGのワイル群に属すると仮定し、Gのすべてのボレル部分群の滑らかな射影多様体をXとします。デリーニュ・ルスティグ多様体X ( w ) は、BとF ( B ) が相対位置wにあるGのすべてのボレル部分群Bから構成されます[ Fはフロベニウス写像であることを思い出してください]。言い換えれば、これは、相対位置wにあるボレル部分群のペアのG等質空間の、式で与えられるラング同種写像の逆像です。

g . F ( g ) ⁻¹ .

例えば、w = 1 の場合、 X ( w ) は 0 次元であり、その点はGの有理ボレル部分群である。

T ( w )を、フロベニウスがwFとなる有理構造を持つトーラスTとする。GのF安定最大トーラスのG ^F共役類は、WのF共役類と同一視できる。ここで、 w ∈ Wは、 v ∈ Wに対してvwF ( v ) ^-1の形の要素とF共役であると言う。群Gが分裂していて、FがWに自明に作用する場合、これは通常の共役と同じだが、一般に分裂していない群Gの場合、Fは非自明な図式自己同型を介してWに作用する可能性がある。F安定共役類は、トーラスの非可換ガロアコホモロジー群の要素と同一視できる。

${\displaystyle H^{1}(F,W)}$。

Gの最大トーラスTと、それを含むボレル部分群Bを固定します。どちらもフロベニウス写像F の下で不変であり、Bの単冪根基をUとします。wを表す正規化群N ( T )の代表元w ′を選択すると、 X ′( w ′) はF ( u )= uw ′となるG / Uの要素として定義されます。これはT ( F )によって自由に作用され、商はX ( T ) と同型です。したがって、 T ( w ) ^Fの各指標 θ に対して、X ( w )上に対応する局所システムF _θが得られます。デリーニュ・ルスティグ仮想表現

R ^θ ( w )

G ^Fは交代和によって定義される

${\displaystyle R^{\theta }(w)=\sum _{i}(-1)^{i}H_{c}^{i}(X(w),F_{\theta })}$

L進コンパクトサポートコホモロジー群X ( w )の係数は_、L進局所システムFθである。

Tが、 BとFB が相対位置wにあるボレル部分群Bに含まれるGの最大F不変トーラスである場合、 R ^θ ( w ) はR ^θ _{T ⊂ B}またはR ^θ _Tとも表記され、同型を除いてBの選択に依存しません。

• R ^θ _Tの指標は素数l ≠ pの選択に依存せず、θ=1 の場合はその値は有理整数になります。
• G ^Fのすべての既約指標は、少なくとも 1 つの指標R ^θ ( w ) に現れる。
• R ^θ _TとR ^θ′ _{T ′}の内積は、 θ を θ′ に変換するW ( T , T ′) ^Fの要素の数に等しい。集合W ( T , T ′) は、共役のもとでT をT ′に変換するGの要素の集合であり、自明な方法で作用する群T ^Fを法とする (したがって、T = T ′ の場合はワイル群となる)。特に、 wとw ′ がF共役でない場合、内積は 0 となる。θ が一般の位置にある場合、R ^θ _{T の}ノルムは 1 であり、したがって符号を除いて既約指標となる。したがって、これはマクドナルドの予想を検証する。
• 表現R ^θ _Tは、θ=1の場合に限り自明な表現を含みます(この場合、自明な表現はちょうど 1 回出現します)。
• 表現R ^θ _{T の}次元は

${\displaystyle \dim(R_{T}^{\theta })={\pm |G^{F}| \over |T^{F}||U^{F}|}}$

ここで、U ^FはG ^Fのシローp部分群であり、位数は| G ^F | を割り切るpの最大のべき乗である。

• 指標R ^θ _Tを単冪元uに制限することはθ に依存せず、グリーン関数と呼ばれ、Q _{T , G} ( u ) と表記されます (グリーン関数は、単冪元でない元では 0 と定義されます)。指標公式は、部分群のグリーン関数を用いてR ^θ _Tの指標を次のように表します。

${\displaystyle R_{T}^{\theta }(x)={1 \over |G_{s}^{F}|}\sum _{g\in G^{F},g^{-1}sg\in T}Q_{gTg^{-1},G_{s}}(u)\theta (g^{-1}sg)}$

ここで、x = suは、可換な半単純かつ単冪元sとuの積としてのxのジョルダン・シュヴァレー分解であり、G _{s は}Gにおけるsの中心化群の単位成分である。特に、 xの半単純部分がG ^Fの下でトーラスT内の何かと共役でない限り、指標値はゼロになる。

• ドリーニュ・ルスティグ多様体は通常アフィンであり、特に特性pがワイル群のコクセター数hより大きい場合にアフィンとなります。アフィンであり、指標 θ が一般の位置にある場合 (つまり、ドリーニュ・ルスティグ指標が符号を除いて既約である場合)、コホモロジー群H ⁱ ( X ( w ), F _θ ) のうち、非ゼロとなるのは 1 つ ( iがwの長さに等しいもの) だけであり、このコホモロジー群が既約表現のモデルとなります。一般に、θ が 1 の場合など、複数のコホモロジー群が非ゼロとなる可能性があります。

ルスティグは、 G ^Fのすべての既約形質を、半単純形質と単能形質（別のグループに属する）に分解し、半単純形質と単能形質を別々に分類することによって分類した。

q を奇素数のべき乗とし、 G を代数群SL _{2とします。ここでは、群}SL ₂ ( F _q )のデリーニュ・ルスティグ表現について説明します。（これらの群の表現論は、デリーニュ・ルスティグ理論が提唱されるずっと以前からよく知られていました。）

既約表現は以下のとおりです。

• 次元1の自明な表現。
• 次元qのスタインバーグ表現
• 次元q + 1 の( q  −  3)/2 の既約主系列表現と、可約主系列表現から得られる次元 ( q + 1)/2 の 2 つの表現。    
• 次元q − 1の ( q  −  1)/2 個の既約離散系列表現と、可約離散系列表現から得られる次元 ( q − 1)/2 の 2 つの表現。    

ワイル群の 2 つの要素 (または共役類) に関連付けられた 2 つのクラスのトーラスがあり、それぞれT (1) (位数q −1 の巡回トーラス) とT ( w ) (位数q  +  1 の巡回トーラス) で表されます。ワイル群の非自明な要素は、これらのトーラスの指標に作用し、各指標をその逆数に変更します。したがって、ワイル群は、指標の位数が 1 または 2 の場合に限り、その指標を固定します。直交性公式により、 R ^θ ( w ) は、θ の位数が 1 または 2 でない場合は (符号を除いて) 既約であり、位数が 1 または 2 の場合は 2 つの既約表現の和となります。

分割トーラスのデリーニュ・ルスティグ多様体X (1) はq +1 個の点を持つ 0 次元であり、 F _q上で定義された 1 次元射影空間の点と同一視できる。表現R ^θ (1) は次のように与えられる。

• 1+スタインバーグ（θ=1の場合）
• θが2次である場合、次元( q +1)/2の2つの表現の合計。
• θの次数が2より大きい場合、既約主系列表現となる。

非分割トーラスのデリーニュ・ルスティグ多様体X ( w ) は 1 次元であり、 1 次元射影空間におけるX (1) の補集合と同一視できます。つまり、フロベニウス写像 ( x : y )→ ( x ^q : y ^q )によって固定されない射影空間の点 ( x : y ) の集合、言い換えれば、次の点です。

${\displaystyle xy^{q}-yx^{q}\neq 0}$

ドリンフェルドのアフィン空間の点( x , y )の多様性

${\displaystyle xy^{q}-yx^{q}=1}$

は自明な方法でX ( w )に写像され、 1 のq +1 乗根 λの群(これはF _q上で定義された非分割トーラスの要素と同一視できる) によって自由に作用され、λ は ( x , y ) を (λ x ,λ y ) に写像します。デリーニュ・ルスティグ多様体は、この群作用によるドリンフェルド多様体の商です。表現 − R ^θ ( w ) は次のように与えられます。

• θ=1の場合、スタインバーグ−1
• θが2次である場合、次元( q -1)/2の2つの表現の合計。
• θの次数が2より大きい場合、既約離散級数表現となる。

単冪表現は自明表現とスタインバーグ表現であり、半単純表現はスタインバーグ表現以外のすべての表現である。（この場合、Gの中心は連結ではないため、半単純表現は双対群の幾何学的共役類と正確には対応しない。）

Lusztig (1985) は、 Deligne-Lusztig 表現を定義するために使用されていた ℓ 進コホモロジーを交差 ℓ 進コホモロジーに置き換え、特性層と呼ばれる特定の偏った層を導入した。交差コホモロジーを使用して定義された表現は、Kazhdan–Lusztig 多項式によって通常のコホモロジーを使用して定義された表現と関連付けられる。F不変既約特性層は、群G ^Fの既約特性と密接に関連している。

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