スタインバーグの表現

数学において、スタインバーグ表現、スタインバーグ加群、スタインバーグ指標は、 Stと表記され、有限体または局所体上の簡約代数群、またはBN ペアを持つ群の特定の線型表現です。これは、すべての反射を –1 にする コクセター群またはワイル群の 1 次元符号表現 ε に類似しています。

有限体上の群については、これらの表現はロバート・スタインバーグ (1951, 1956, 1957) によって、最初は一般線型群に対して、次に古典群に対して、そしてすべてのシュヴァレー群に対して導入され、その構成はすぐにスタインバーグ、鈴木、およびリーによって発見された他のリー型の群に一般化されました。特性pの有限体上で、スタインバーグ表現の次数は、群の位数を割り切る pの最大累乗に等しくなります。

スタインバーグ表現は、自明な 1 次元表現の Alvis-Curtis 双対です。

松本（1969）、シャリカ（1970）、ハリシュ・チャンドラ（1973）は、局所体上の代数群に対して類似のスタインバーグ表現（特殊表現と呼ばれることもある）を定義した。一般線型群GL(2)に対して、特殊表現の ジャケ加群の次元は常に1である。

• 元g上のStの指標値は、 gの位数がpと素数である場合、符号を除けばgの中心化子のシロー部分群の位数に等しく、 gの位数がpで割り切れる場合は 0 になります。
• スタインバーグ表現は、放物線部分群の恒等表現から誘導される表現の、ボレル部分群を含むすべての放物線部分群にわたる交代和に等しい。 ^[1]
• スタインバーグ表現は正則かつ単零であり、唯一の既約な正則単零表現です（与えられた素数pに対して）。
• スタインバーグ表現は、ハブーシュの定理（マンフォード予想）の証明に使用されます。

ほとんどの有限単純群は、正確に 1 つの Steinberg 表現を持ちます。いくつかのグループは、複数の方法でリー型のグループであるため、複数の Steinberg 表現を持ちます。対称グループ (およびその他の Coxeter グループ) の場合、符号表現は Steinberg 表現に類似しています。散在単純グループの一部は、二重推移的置換グループとして機能するため、Steinberg 表現を定義できる BN ペアを持ちますが、ほとんどの散在グループには、それと類似するものは知られていません。

松本（1969）、シャリカ（1970）、ハリシュ＝チャンドラ（1973）は、局所体上の代数群に対するスタインバーグ表現を導入した。カッセルマン（1973）は、スタインバーグ表現を定義するさまざまな方法が同等であることを示した。ボレル＆セール（1976）とボレル（1976）は、コホモロジー群Hにおけるスタインバーグ表現の実現方法を示した。^lc
_​（X）グループの Bruhat-Titsビル。

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