エクアント

エカント（またはプンクトゥム・アエクアンス）は、惑星の観測された運動を説明するために、紀元後 2 世紀にクラウディウス・プトレマイオスによって開発された数学的概念です。エカントは、惑星の軌道のさまざまな段階で観測される速度の変化を説明するために使用されます。この惑星の概念により、プトレマイオスは、天体の軌道が 1 点の周りでは均一で、別の点の周りでは円形であると述べて、等速円運動の理論を維持することができました。

プトレマイオスは偏心を表す言葉を持っておらず、「偏心が平均運動を生み出す」といった表現を使っていた。^[1]

偏心点（図では大きな・で示される）は、偏心点（×で示される）の中心から地球に対して正反対に位置するように配置される。惑星または周転円（惑星を運ぶ小さな円）の中心は、偏心点に対して一定の角速度で移動すると考えられている。偏心点に置かれた仮想の観測者には、周転円の中心（小さな・で示される）は一定の角速度で動いているように見える。しかし、周転円の中心は偏心点に沿って一定の速度で移動するわけではない。^[2]

エクアントを実装した理由は、アリストテレスが哲学的な理由から始めた長年の信条である天体の一定の円運動の見かけを維持するとともに、特に太陽と月を除くすべての太陽系の天体の見かけの逆行運動の大きさにおいて、観測された天体の動きの計算を最もよく一致させるためでした。

等量モデルでは、地球を中心としない円形の軌道上を物体が運動します。移動物体の速度は、外側の円 (破線) の周りを周回する間に変化し、下半分では速く、上半分では遅くなりますが、等量点から見ると惑星は等しい角度を等しい時間で通過するため、運動は均一であると考えられます。物体の角速度は、軌道内の他のどの点から見ても不均一です。

周転円なし（太陽の場合など）で適用すると、等角法を使用すると、近地点と遠地点で角速度が（軌道離心率）の比率で正確になります。しかし、ケプラーの軌道と比較すると、等角法では、天体が地球から遠くにいる時間が短すぎ、地球に近づきすぎます。たとえば、離心率異常が π/2 のとき、ケプラーのモデルでは、近地点から の時間が経過するとされます（周期、ケプラーの方程式を参照）が、等角モデルでは が少し長くなります。さらに、等角モデルによると、この時点での真の異常はのみであるのに対し、ケプラーのモデルでは が で、 が長くなります。ただし、離心率が小さい場合、誤差は非常に小さく、離心率の 3 乗に 漸近します。${\displaystyle (1+e)^{2}/(1-e)^{2}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \pi /2-e}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi /2-\arctan(e),}$${\displaystyle \pi /2+\arctan(e),}$${\displaystyle \pi /2+\arcsin(e),}$

頂点が偏角の中心にあり、辺がそれぞれ惑星と偏角と交差する角度α は、次のように 時間tの関数になります。

${\displaystyle \alpha =\Omega t-\arcsin \left({\frac {E}{\ R\ }}\ \sin(\Omega t)\right)}$

ここでΩは、等角点の半径がRのとき、距離Eにある等角点から見た一定の角速度である。^[3]

プトレマイオスは『アルマゲスト』で等量論を導入した。 ^{[4]等量論が}アリストテレス物理学に必要な調整であったという証拠は、彼自身とある「テオン」（おそらくスミルナのテオン）による観察に基づいていた。^[2]

プトレマイオス以前の惑星運動のモデル（一般にヒッパルコスによるものと考えられている）では、すでに偏心円と周転円が特徴となっていた。紀元1世紀のローマの著述家プリニウスは、後期ギリシャの天文学者の著作を読んでいたようで、自身は天文学者ではなかったが、それでも5つの既知の惑星の遠心円の線と、それらが黄道帯で指している位置を正確に特定した。^[5]このようなデータには、偏心運動中心の概念が必要である。

紀元前430年頃より前に、アテネのメトンとエウクテモンは季節の長さの違いを観察していました。^[2]これは、太陽が軌道に沿って90度移動する時期を示す春分と夏至によって示される季節の長さで観察できます。他の人も試みましたが、ヒッパルコスは紀元前130年頃に最も正確な季節の長さを計算し、提示しました。

これらの計算によると、春は約94年続きました。 +1/ 2 ⁠日、夏約⁠92+1/ 2 ⁠、秋頃⁠88+1/ 8 ⁠、冬は約90+1/ 8 ⁠、季節の長さには確かに違いがあることを示しました。これは後に、黄道不等式、つまり太陽の運動速度が一定ではなく、軌道の一部が速くなったり遅くなったりしているように見えることの証拠として使われました。この時点でギリシャ天文学で理解されていた太陽の年間運動は、太陽が地球の周りを一定の速度で回る完全な円軌道を持っていると想定されていたため、この点を考慮していませんでした。天文学者ヒッパルコスによると、太陽の軌道の中心を地球からわずかに遠ざけると、観測された太陽の動きが簡単に満たされ、太陽の軌道が偏心的になります。^[2]

ヒッパルコスについて私たちが知っていることのほとんどは、プトレマイオスによる彼の著作の引用を通じて私たちに伝わっています。^[4]ヒッパルコスのモデルの特徴は、地球上の季節の長さの違い（「第一の異常」として知られる）と、惑星の逆行運動の出現（「第二の異常」として知られる）を説明しました。しかし、ヒッパルコスは、惑星の逆行運動の位置と期間に関する予測を観測と一致させることはできませんでした。位置を一致させることも、期間を一致させることもできましたが、両方を同時に行うことはできませんでした。^[6]

ヒッパルコスのモデルとプトレマイオスのモデルの間には、火星の観測された動きに基づいて、惑星の一般的な動きを説明するために提案された中間モデルがありました。このモデルでは、従円の中心は等円でもあり、従円の対称線に沿って動かすことで、惑星の逆行運動に合わせることができます。しかし、このモデルは、ヒッパルコスが指摘したように、実際の惑星の動きとは一致していませんでした。これは、特に逆行弧の実際の間隔と幅に関して当てはまり、後にプトレマイオスのモデルに従って比較することができました。^[2]

^{プトレマイオス自身は、この矛盾を、彼の著作[4]}に等量円を導入して、それを従円の中心から分離し、従円と従円の中心の両方をモデルの独自の部分にし、従円の中心を惑星の運動中ずっと動かないようにすることで修正しました。^[2]位置は従円と周転円によって決定され、持続時間は等量の周りの等速運動によって決定されました。彼は、どのようにしてその創造点に到達したかについて、あまり説明も正当化もせずにこれを行い、科学的な出版物のように、証明とともに形式的かつ簡潔に提示することに決めました。説明が不足していることに気づいた後の著作でさえ、彼はそれ以上説明しようとはしませんでした。^[2]

プトレマイオスの天文学モデルは、ほぼ1,500年にわたって占星術や惑星の位置の予測に関する疑問に答える技術的な方法として使われたが、その後の多くの天文学者からは、すべての運動は地球を中心に行われるとする純粋なアリストテレス物理学に反するものとみなされていた。プトレマイオスの宇宙モデルは非常に人気があり革命的だったと報告されており、実際、プトレマイオス自身の著作以外では、以前に使われていたモデルの詳細を見つけることは通常非常に難しい。^[2]

何世紀にもわたり、こうした違反を正すことは学者たちの最大の関心事であり、イブン・アル・シャティルとコペルニクスの解決に至った。プトレマイオスの予言は、何世紀にもわたって関心のある学者による絶え間ない検討と修正を必要とし、ウラニボルグでのティコ・ブラーエの観測に至った。

ヨハネス・ケプラーがウラニボルグでティコと収集したデータに基づいて『新天文学』を出版するまで、プトレマイオスの天体モデルは新しい幾何学モデルに完全に取って代わられることはなかった。 ^{[7] [8]}

等角点は惑星の異常な運動を説明するという最後の大きな問題を解決したが、古代ギリシャの哲学者の原理、すなわち地球の周りの等速円運動に反すると考える者もいた。^{[9] 等}速性は一般に従点の中心から観測されるものと想定されていたが、それは一点のみで起こるため、他の点からは非等速運動のみが観測される。プトレマイオスは観測点を従点の中心から等角点に移動させた。これは等速円運動の公理に違反していると考えられる。

等円円説に対する著名な批判者としては、ペルシャの天文学者ナシル・アッディーン・トゥーシーが代替説明としてトゥーシーカップルを考案した[10]ことや、ニコラウス・コペルニクスがそれぞれの従円に対して新しい一対の小さな周転円を代替として提案したことがある。等円円説に対する嫌悪^は、コペルニクスが太陽中心説を構築した大きな動機であった。^{[11] [12]}

従円の中心の周りの等速円運動の違反は、多くの思想家、特にコペルニクスを悩ませた。コペルニクスは『天球回転論』の中で、等速円運動を「とんでもない構築物」と述べている。コペルニクスが地球を宇宙の中心からずらしたことで、プトレマイオスの周転円の根本的な必要性はなくなった。周転円運動は、地球と惑星の相対運動による遠近法の効果として説明された。しかし、太陽と月の非等速運動は説明されなかった。コペルニクスは、太陽と月の相対運動を変えなかった（太陽が地球を周回する説を、地球が太陽を周回する説に書き直したが、この2つは幾何学的に同等である）。惑星運動の中心を地球から太陽に移動しても、太陽の非等速運動を説明する必要性はなくなるわけではなく、コペルニクスは、等速円運動の代わりに2つ（または複数）のより小さな周転円を代用した。

• 等次元:形容詞として使われる場合、これはequantの同義語です。 ^{[引用が必要]}

ウィキメディア・コモンズには、 Equantに関連するメディアがあります。

• プトレマイオス体系 – ライス大学のガリレオ プロジェクト
• プトレマイオス体系の Java シミュレーション - ノーザンイリノイ大学の Paul Stoddard の Animated Virtual Planetarium にて。