ノイバーグ立方体

ユークリッド幾何学において、ノイバーグ三次曲線は、いくつかの注目すべき特性を持つ基準三角形に関連付けられた特殊な三次平面曲線である。この曲線は、1884年に発表された論文で初めてこの曲線を導入したルクセンブルクの数学者ジョセフ・ジャン・バティスト・ノイバーグ（1840年10月30日 - 1926年3月22日）にちなんで名付けられた。 ^{[1] [2]}この曲線は、 1200を超える三次三次曲線に関する広範な情報をまとめた ベルナール・ジベールの「三次三次曲線カタログ」^{[1]で、識別番号K001で最初の項目として登場する。}

ノイバーグ三次曲線は、さまざまな方法で軌跡として定義できます。^[1] 1 つの方法は、基準三角形△ ABC の平面上の点Pの軌跡として定義することです。三角形△ ABCの辺線におけるPの反射がP _a、 P _b、 P _cである場合、直線AP _a、 BP _b、 CP _cは共線です。ただし、このように定義された軌跡が実際に三次曲線であることを証明する必要があります。2 つ目の方法は、点Pの軌跡として定義することです。O _a、 O b _、 O _{c が}三角形△ BPC、 △ CPA、 △ APBの外心である場合、直線AO _a、 BO _b、 O _{c は}共線です。さらに別の方法は、四角形インボリューティフとして知られる次の特性を満たすPの軌跡として定義することです^[1] (これは、ノイバーグが曲線を導入した方法です)。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&BC^{2}+AP^{2}&BC^{2}\times AP^{2}\\1&CA^{2}+BP^{2}&CA^{2}\times BP^{2}\\1&AB^{2}+CP^{2}&AB^{2}\times CP^{2}\end{vmatrix}}=0}$

基準三角形△ ABCの辺の長さをa、b、cとすると、重心座標x  : y  : zにおける△ ABCのニューベルク3次方程式は次のようになる 。

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

古い文献では、ノイバーグ曲線は一般に21点曲線と呼ばれています。この用語は、ノイバーグ自身が発見した、基準三角形に関連付けられた特定の21点を通過する曲線の特性を指します。基準三角形が△ ABCであると仮定すると、21点は以下にリストされます。^[3]

• 頂点A、B、C
• 頂点A、B、Cの反対側の辺における反射A _a、_B b 、C _c
• オルソセンター H
• 外心 O
• 3点D _a、 D _b、 D _{c 。}ここで、D _{a は}、 Q _bcとQ _cbを結ぶ線上の A の反射であり、Q _{bc は}、 ACとABの垂直二等分線と交点であり、Q _cbは、 ABとACの垂直二等分線と交点である。D _bとD _{c も}同様に定義される。
• 三角形△ ABCの辺上に作られた正三角形の6つの頂点A'、B'、C'、A"、B"、C"
• 2つの等角中心（三角形の中心百科事典の点X(13)とX(14) ）
• 2つの等力点（三角形の中心百科事典の点X(15)とX(16)）

添付の図は、上記の 21 個の特殊点すべてを含む 三角形△ ABCのノイベルグ 3 次曲線を示しています。

1925年に発表された論文で、BHブラウンはノイバーグ立方体上に16の追加の特殊点を発見したと報告し、当時ノイバーグ立方体上の特殊点の総数は37となった。 ^[3]このため、ノイバーグ立方体は37点立方体とも呼ばれる。現在、ノイバーグ立方体上には膨大な数の特殊点があることが知られている。ギバートのカタログには、三角形の中心でもあるそのような特殊点の一覧専用のページがある。^[4]

基準三角形の平面における無限遠直線の三線座標における方程式は、

${\displaystyle ax+by+cz=0}$

この直線上には、無限遠点と呼ばれる特別な点が2つあります。三角形の平面上のすべての円は、この2つの点を通り、これらの点を通るすべての円錐は円です。これらの点の三線座標は、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos B+i\sin B:\cos Ai\sin A:-1\\&\cos Bi\sin B:\cos A+i\sin A:-1\end{aligned}}}$

ここで。^[5]無限遠にある2つの円の点を通る任意の3次曲線は円3次曲線と呼ばれる。ノイバーグ3次曲線は円3次曲線である。^[1]${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

三角形△ ABCに関する点Pの等角共役は、直線PA、PB、PCがそれぞれA、B、Cの角の二等分線について反射する点です。P の等角共役はP*と表記されることもあります。P *の等角共役はPです。自己等角 3 次式は、等角共役の下で不変な三角形 3 次式です。ピボット等角 3 次式は、3 次式上にある点Pとその等角共役が、3 次式のピボット点と呼ばれる固定点Qと同一線上にある 3 次式です。ノイバーグ 3 次式は、オイラー直線と無限遠直線との交点にピボットを持つピボット等角 3 次式です。キンバリングの「三角形の中心百科事典」では、この点は X(30) で表記されています。

P を三角形△ ABCの平面上の点とする。P からAP 、BP、CPへの垂線はそれぞれP _a、 P b _、 P _cでBC、CA、ABと交わり、これらの点は直線L _{P上にある。L P}の三線極をP ^⊥とする。等ピボット三次関数とは、三次関数上の任意の点 M に対して点P、M、M ^⊥が同一直線上にあるような固定点Pが存在するという性質を持つ三角形三次関数である。固定点Pは三次関数の直交ピボットと呼ばれる。^[6]ノイバーグ三次関数は、三角形の外心に直交ピボットがある直交ピボット三次関数である。^[1]

• Zvonko Čerin (1998). 「ノイバーグ立方体の軌跡特性」. Journal of Geometry . 63 (1–2): 39–56. doi :10.1007/BF01221237. S2CID  116778499. 2021年11月30日閲覧。
• TW Moore と JH Neelley (1925 年 5 月)。「三角形の 21 の頂点にある円形立方体」。 アメリカ数学月刊誌。32 ( 5): 241–246。doi : 10.1080 /00029890.1925.11986451。JSTOR 2299192。2021年12 月 2 日に閲覧。
• アブディカディル・アルティンタス、ニューバーグ立方体のいくつかの性質について
• Bernard Gibert. 「Neuberg Cubics」（PDF） .三角形平面における立方体. 2021 年12 月 2 日閲覧。