条件付き確率

確率論において、条件付き確率とは、あるイベントが発生する確率の尺度であり、そのイベントは、別のイベント（仮定、推定、主張、または証拠によって）がすでに発生していることがわかっている場合に限ります。^[1]この特定の方法は、イベント A が別のイベント B と何らかの関係で発生することを前提としています。この状況では、イベント A は、B に関する条件付き確率によって分析できます。関心のあるイベントがAで、イベントBが発生したことがわかっているか想定されている場合、「Bが与えられた場合のAの条件付き確率」、または「条件Bの下でのAの確率」は、通常P( A | B ) ^[2]またはP _B ( A )と表記されます。これは、確率 B が A と交差する割合、または両方のイベントが発生する確率と「与えられた」イベントが発生する確率の比（B が発生していないと仮定するのではなく、A が発生する回数）として理解することもできます。^[3]${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

たとえば、ある人が特定の日に咳をする確率は 5% に過ぎないかもしれません。しかし、その人が病気であるとわかっているか、または想定している場合、その人は咳をする可能性がはるかに高くなります。たとえば、体調が悪い (病気の) 人が咳をする条件付き確率が 75% である場合、P(咳) = 5%、P(咳|病気) = 75 % となります。この例ではAとB の間に関係がありますが、 AとBの間にそのような関係または依存関係は必須ではなく、同時に発生する必要もありません。

P( A | B )は、 P( A )、つまりAの無条件確率または絶対確率と等しい場合も、等しくない場合もあります。P( A | B ) = P( A )の場合、イベントAとBは独立していると言われます。このような場合、どちらかのイベントについての知識が、互いの確率を変更することはありません。P( A | B ) ( Bが与えられた場合のAの条件付き確率) は、通常、P( B | A )とは異なります。 たとえば、ある人がデング熱にかかっている場合、その人は 90% の確率でデング熱の検査で陽性と判定される可能性があります。 この場合、測定されているのは、イベントB (デング熱にかかっている) が発生した場合、 Bが発生した場合のA (陽性と判定される)の確率が90% であるということです。つまり、単にP( A | B ) = 90% と書きます。 あるいは、ある人がデング熱の検査で陽性と判定された場合、偽陽性率が高いため、実際にこのまれな病気にかかっている可能性は 15% しかない可能性があります。この場合、イベントA (陽性検査)が発生した場合のイベントB (デング熱に罹患) の確率は 15%、つまりP( B | A ) = 15% です。2 つの確率を誤って同一視すると、さまざまな推論エラーにつながる可能性があることは明らかです。これは、基準率の誤謬によく見られます。

条件付き確率は非常に有用な情報を提供しますが、提供される情報や手元にある情報は限られていることがよくあります。そのため、ベイズの定理を使用して条件付き確率を逆転または変換すると便利です。[ 4 ^{]もう1つのオプションは、条件付き確率を}条件付き確率表に表示して、イベント間の関係を明らかにすることです。 ${\displaystyle P(A\mid B)={{P(B\mid A)P(A)} \over {P(B)}}}$

確率空間のシグマ体から2つのイベント AとBが与えられ、 Bの無条件確率が0より大きい（つまり、P( B )>0）場合、 Bが与えられた場合のAの条件付き確率（）は、 Bが発生したか発生したと仮定された場合にAが発生する確率です。 ^[5] Aは、制限されたサンプル空間または縮小されたサンプル空間を持つ実験またはランダム試行のすべての可能な結果の集合であると仮定されます。条件付き確率は、イベントAとBの結合交差の確率、つまり、AとBが同時に発生する確率と、Bの確率の商で求められます。^{[2] [6] [7]}${\displaystyle P(A\mid B)}$ ${\displaystyle P(A\cap B)}$

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$。

等確率の結果から成る標本空間の場合、イベントAの確率は、標本空間内のすべての結果の数に対するAの結果の数の割合として理解されます。次に、この式は、集合Bに対する集合の割合として理解されます。上記の式は定義であり、単なる理論的な結果ではないことに注意してください。量をと表し、これを「Bが与えられた場合のAの条件付き確率」と呼びます。 ${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$${\displaystyle P(A\mid B)}$

デ・フィネッティなどの一部の著者は、条件付き確率を確率の公理として導入することを好む。

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)}$。

この条件付き確率の式は、数学的には同等ですが、直感的に理解しやすいかもしれません。これは、「Bが発生する確率に、 Bが発生した場合のA が発生する確率を掛けたものは、必ずしも同時に発生するとは限らないが、 AとB が同時に発生する確率に等しい」と解釈できます。さらに、これは哲学的に好ましいかもしれません。主観的理論などの主要な確率解釈では、条件付き確率は基本的な実体と見なされます。さらに、この「乗算規則」は、の確率を計算する際に実際に役立ちます。また、ポアンカレの公式の和の公理との対称性を導入します。 ${\displaystyle A\cap B}$

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

したがって、方程式を組み合わせて、次の新しい表現を見つけることができます。

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=P(A\mid B)P(B)}$

${\displaystyle P(A\cup B)={P(A)+P(B)-P(A\mid B){P(B)}}}$

条件付き確率は、条件付きイベントの確率として定義できます。Goodman –Nguyen–Van Fraassen条件付きイベントは次のように定義できます。 ${\displaystyle A_{B}}$

${\displaystyle A_{B}=\bigcup _{i\geq 1}\left(\bigcap _{j<i}{\overline {B}}_{j},A_{i}B_{i}\right)}$ここで、およびはA またはBの状態または要素を表す。^[8]${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{i}}$

それは次のことが証明できる

${\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

これはコルモゴロフの条件付き確率の定義を満たす。^[9]

の場合、定義によれば、は未定義 となります。 ${\displaystyle P(B)=0}$${\displaystyle P(A\mid B)}$

最も興味深いケースは、ランダム変数Yが連続ランダム変数Xを条件として特定の結果xをもたらす場合です。このイベントの確率は 0 であるため、条件を付けることはできません。 ${\displaystyle B=\{X=x\}}$

Xがxと全く同じ であるという条件の代わりに、 xから距離だけ近いという条件も考えられます。この事象は一般に確率がゼロではないので、条件にすることができます。すると、次の極限を取ることができます。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle B=\{x-\epsilon <X<x+\epsilon \}}$

たとえば、2 つの連続ランダム変数XとY が結合密度 を持つ場合、ロピタルの法則とライプニッツの積分則により、 について微分すると次のようになります。 ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\epsilon \to 0}P(Y\in U\mid x_{0}-\epsilon <X<x_{0}+\epsilon )&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\int _{x_{0}-\epsilon }^{x_{0}+\epsilon }\int _{U}f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}-\epsilon }^{x_{0}+\epsilon }\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x}}\\&={\frac {\int _{U}f_{X,Y}(x_{0},y)\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x_{0},y)\mathrm {d} y}}.\end{aligned}}}$

結果として得られる極限は、Xが与えられた場合のYの条件付き確率分布であり、分母である確率密度が厳密に正である場合に存在します。 ${\displaystyle f_{X}(x_{0})}$

限界( 1 )を使って未定義の確率を定義したくなるが、これは一貫した方法で行うことはできない。特に、イベントとが同一であるようなランダム変数XとW 、および値x、wを見つけることは可能であるが、結果として生じる限界は次のようになる。 ${\displaystyle P(A\mid X=x)}$${\displaystyle \{X=x\}}$${\displaystyle \{W=w\}}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}P(A\mid x-\epsilon \leq X\leq x+\epsilon )\neq \lim _{\epsilon \to 0}P(A\mid w-\epsilon \leq W\leq w+\epsilon ).}$

ボレル-コルモゴロフのパラドックスは、幾何学的な議論によってこれを実証します。

X を離散確率変数とし、その起こり得る結果をVとします。たとえば、X がサイコロを振った結果を表す場合、Vは集合 です。説明のため、X は離散確率変数であり、 Vの各値にはゼロ以外の確率があると仮定します。 ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$

V内の値xとイベントAに対して、条件付き確率は次のように表されます。 ${\displaystyle P(A\mid X=x)}$

${\displaystyle c(x,A)=P(A\mid X=x)}$

簡単に言えば、これはxとAという 2 つの変数の関数であることがわかります。

Aを固定すると、ランダム変数 を形成できます。これは、 Xの値xが観測されるたびに、の結果を表します。 ${\displaystyle Y=c(X,A)}$${\displaystyle P(A\mid X=x)}$

したがって、 X が与えられた場合のAの条件付き確率は、区間 内の結果を持つランダム変数 Yとして扱うことができます。全確率の法則から、その期待値はAの無条件確率に等しくなります。 ${\displaystyle [0,1]}$

部分条件付き確率 は、各条件イベントが 100% とは異なる可能 性がある程度 (信念の程度、経験の程度) 発生した場合 の イベントの確率に関するものです 。頻度論的には、条件が適切な長さの実験繰り返しでテストされる場合、部分条件付き確率は意味をなします。^[10]このような - 制限付き部分条件付き確率は、確率仕様のすべてに準拠する 長さのテストベッドでの イベントの 条件付き期待平均発生として定義できます。つまり、 ${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{i}\equiv b_{i}}$

${\displaystyle P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\operatorname {E} ({\overline {A}}^{n}\mid {\overline {B}}_{1}^{n}=b_{1},\ldots ,{\overline {B}}_{m}^{n}=b_{m})}$^[10]

これに基づいて、部分条件付き確率は次のように定義できる。

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\lim _{n\to \infty }P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m}),}$

ここで^[10]${\displaystyle b_{i}n\in \mathbb {N} }$

ジェフリー条件化^{[11] [12]} は部分条件付き確率の特殊なケースであり、条件イベントはパーティションを形成する必要がある。

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\sum _{i=1}^{m}b_{i}P(A\mid B_{i})}$

誰かが 2 つの 6 面サイコロを秘密裏に振ったとします。その合計が 5 以下であるという情報を与えられた場合、最初のサイコロの表向きの値が 2 である確率を計算します。

• サイコロ1で出た値をD ₁とします。
• サイコロ2で出た値をD ₂とします。

D ₁  = 2となる確率

表 1 は、 2 つのサイコロを振った結果の 36 通りの組み合わせのサンプル空間を示しています。各組み合わせは 1/36 の確率で発生し、赤色のセルおよび濃い灰色のセルにはD ₁ + D ₂という数字が表示されています。

 36 の結果のうち 6 つでD _{1 = 2 となるため、} P ( D ₁ = 2) =  6 ⁄ 36  =  1 ⁄ 6 となります。

D ₁  +  D ₂  ≤ 5となる確率

表2は 、36の結果のうちちょうど10でD ₁  +  D _{2 ≤ 5であることを示しています。したがって、} P ( D ₁  +  D ₂  ≤ 5) =  10 ⁄ 36です。

D ₁  +  D ₂  ≤ 5の場合にD ₁  = 2となる確率

表 3 は、これら 10 個の結果のうち 3 個について、D ₁  = 2 であることを示しています。

したがって、条件付き確率P( D ₁  = 2 |  D ₁ + D ₂  ≤ 5) =  3 ⁄ 10  = 0.3:

ここで、条件付き確率の定義の以前の表記では、条件イベントBはD ₁  +  D ₂ ≤ 5であり 、イベントAはD ₁  = 2です。表に示されているとおりです。 ${\displaystyle P(A\mid B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\tfrac {3}{10}},}$

統計的推論において、条件付き確率とは、新たな情報に基づいて事象の確率を更新することである。 ^[13]新たな情報は以下のように組み込むことができる。^[1]

• 関心のあるイベントAが標本空間( X , P ) 内にあるとします。
• イベントBが発生したか、または発生するであろうこと を知った上でのイベントAの発生は、イベント Aの発生がBに限定されていることを意味します。${\displaystyle A\cap B}$
• Bの発生に関する知識がなければ、 Aの発生に関する情報は単にP ( A )となる。
• A がイベントBが発生したか発生するであろうことを知っている確率は、 Bが発生した確率P ( B )に対する確率になります。${\displaystyle A\cap B}$
• これにより、P ( B ) > 0の場合は常に となり、それ以外の場合は 0 となります。${\textstyle P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)}$

このアプローチにより、元の確率測度と一致し、すべてのコルモゴロフ公理を満たす確率測度が得られます。この条件付き確率測度は、 Xに関するAの確率の相対的な大きさがBに関しても保存されると仮定することによっても得られます(以下の正式な導出を参照)。

「証拠」または「情報」という表現は、ベイズ確率の解釈で一般的に使用されます。条件付けイベントは、条件付けイベントの証拠として解釈されます。つまり、P ( A ) は証拠Eを考慮する前のAの確率であり、P ( A | E ) は証拠Eを考慮した後、またはP ( A )を更新した後のAの確率です。これは、上記の最初の定義である頻度主義の解釈と一致しています。

モールス信号を送信すると、受信した「短点」または「長点」が誤っている可能性が一定数あります。これは、メッセージ送信の妨害とみなされることがよくあります。したがって、たとえば「短点」を送信する場合、「短点」が受信される確率を考慮することが重要です。これは次のように表されます。モールス信号では、送信時点での短点と長点の比率は 3:4 であるため、「短点」と「長点」の確率は です。短点が長点として送信される確率が 1/10、長点が短点として送信される確率も 1/10 であると仮定すると、ベイズの定理を使用して を計算できます。 ${\displaystyle P({\text{dot sent }}|{\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}|{\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}.}$${\displaystyle P({\text{dot sent}})={\frac {3}{7}}\ and\ P({\text{dash sent}})={\frac {4}{7}}}$${\displaystyle P({\text{dot received}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received }}\cap {\text{ dot sent}})+P({\text{dot received }}\cap {\text{ dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received }}\mid {\text{ dot sent}})P({\text{dot sent}})+P({\text{dot received }}\mid {\text{ dash sent}})P({\text{dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})={\frac {9}{10}}\times {\frac {3}{7}}+{\frac {1}{10}}\times {\frac {4}{7}}={\frac {31}{70}}}$

ここで、次のように計算できます。 ${\displaystyle P({\text{dot sent }}\mid {\text{ dot received}})}$

${\displaystyle P({\text{dot sent }}\mid {\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}\mid {\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}={\frac {9}{10}}\times {\frac {\frac {3}{7}}{\frac {31}{70}}}={\frac {27}{31}}}$^[14]

イベントAとB は、 A と B の交差の確率が A と B の確率の積に等しい場合、 統計的に独立していると定義されます。

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).}$

P ( B ) がゼロでない場合、これは次の文と同等である。

${\displaystyle P(A\mid B)=P(A).}$

同様に、P ( A ) がゼロでない場合は、

${\displaystyle P(B\mid A)=P(B)}$

も同等である。導出形式はより直感的に思えるかもしれないが、条件付き確率が定義されていない可能性があり、推奨される定義はAとBで対称的であるため、推奨される定義ではない。独立性は、互いに素なイベントを指すものではない。^[15]

また、独立したイベントペア[AB]とイベントCが与えられた場合、積が真であれば、ペアは条件付きで独立であると定義される： ^[16]

${\displaystyle P(AB\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)}$

この定理は、複数の独立したイベントが観察されるアプリケーションで役立つ可能性があります。

独立したイベントと相互に排他的なイベント

相互に独立したイベントと相互に排他的なイベントの概念は別個かつ明確に区別されます。次の表は、2 つのケースの結果を比較したものです (条件付けイベントの確率がゼロではないことを条件とします)。

実際、相互に排他的なイベントは、統計的に独立することはできません (両方が不可能でない限り)。これは、一方が発生することを知ることで、他方に関する情報 (特に、後者は確実に発生しないということ) が得られるためです。

これらの誤謬は、論点先取となる反事実的な例を扱ったロバート・K・ショップの 1978 年の「条件付きの誤謬」と混同すべきではありません。

一般に、P ( A | B ) ≈  P ( B | A ) と仮定することはできません。これは、統計に精通している人にとっても、潜在的な誤りとなる可能性があります。^[17] P ( A | B ) とP ( B | A )の関係は、ベイズの定理によって与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(B\mid A)&={\frac {P(A\mid B)P(B)}{P(A)}}\\\Leftrightarrow {\frac {P(B\mid A)}{P(A\mid B)}}&={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}}$

つまり、P( A | B ) ≈ P( B | A )となるのは、 P ( B )/ P ( A ) ≈ 1 の場合のみであり、同様に、P ( A ) ≈  P ( B ) となる。

一般に、 P ( A ) ≈  P ( A | B )とは仮定できません。これらの確率は、全確率の法則によって結び付けられています。

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}).}$

ここで、イベントはの可算な分割を形成します。 ${\displaystyle (B_{n})}$${\displaystyle \Omega }$

この誤謬は選択バイアスによって生じる可能性がある。^[18]たとえば、医療請求の文脈では、状況（急性の状態） Cの結果として後遺症（慢性疾患）Sが発生するイベントをS _Cとする。個人が医療の助けを求めるイベントをHとする。ほとんどの場合、 CはSを引き起こさない（したがってP ( S _C )は低い）と仮定する。また、 SがCが原因で発生した場合にのみ医療の診察が求められると仮定する。したがって、患者の経験から、医師はP ( S _C )が高いと誤って結論付ける可能性がある。医師が観察する実際の確率はP ( S _C | H )である。

事前確率を部分的または完全に考慮しないことを基準率無視と呼びます。逆に、事前確率からの不十分な調整を保守主義と呼びます。

正式には、P ( A  |  B )は、標本空間上の新しい確率関数によるAの確率として定義され、 Bに含まれない結果の確率は0であり、すべての元の確率尺度と一致する。^{[19] [20]}

Ω を基本イベント{ ω }を含む離散標本空間とし、P をΩ のσ 代数に関する確率測度とする。イベントB  ⊆ Ω が発生したと仮定する。これを反映するために、新しい確率分布(条件付き表記で示される) を { ω }に割り当てる。 Bに含まれないすべてのイベントは、新しい分布では確率がゼロになる。Bに含まれるイベントについては、 Bの確率が 1 であることと、確率の相対的な大きさが維持されることという 2 つの条件を満たす必要がある。前者は確率の公理によって要求され、後者は、新しい確率測度がBの確率が 1 であるPの類似物でなければならないという事実から生じ、したがって、 Bに含まれないすべてのイベントの確率はゼロになる。したがって、何らかのスケール係数αについて、新しい分布は次の条件を満たす必要がある。

1. ${\displaystyle \omega \in B:P(\omega \mid B)=\alpha P(\omega )}$
2. ${\displaystyle \omega \notin B:P(\omega \mid B)=0}$
3. ${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}=1.}$

1と2を3に代入してαを選択します。

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega \mid B)}\\&=\sum _{\omega \in B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \notin B}P(\omega \mid B)}}\\&=\alpha \sum _{\omega \in B}{P(\omega )}\\[5pt]&=\alpha \cdot P(B)\\[5pt]\Rightarrow \alpha &={\frac {1}{P(B)}}\end{aligned}}}$

つまり、新しい確率分布は

1. ${\displaystyle \omega \in B:P(\omega \mid B)={\frac {P(\omega )}{P(B)}}}$
2. ${\displaystyle \omega \notin B:P(\omega \mid B)=0}$

さて、一般イベントAですが、

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\mid B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega \mid B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega \mid B)}}\\&=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P(B)}}\\[5pt]&={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\end{aligned}}}$

ウィキメディア・コモンズには、条件付き確率に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「条件付き確率」。MathWorld。
• 条件付き確率の視覚的説明