マルコフカーネル

確率論において、マルコフカーネル（確率カーネルまたは確率カーネルとも呼ばれる）は、マルコフ過程の一般理論において、有限状態空間を持つマルコフ過程の理論における遷移行列の役割を果たすマップである。^[1]

および を測定可能な空間とします。ソースおよびターゲットを持つマルコフ核は、 と表記されることもあり、次の特性を持つ 関数です。${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$

1. あらゆる（固定された）に対して、地図は測定可能である${\displaystyle B_{0}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\mapsto \kappa (B_{0},x)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
2. 任意の（固定された） に対して、マップは確率測度である。${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle B\mapsto \kappa (B,x_{0})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$

言い換えれば、各点に 上の確率測度を関連付け、すべての測定可能な集合に対して、マップが-代数に関して測定可能であるようにします。^[2]${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \kappa (dy|x):B\mapsto \kappa (B,x)}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\mapsto \kappa (B,x)}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

、および(のべき集合)を取ります。すると、マルコフ核は、各 に対してシングルトンに割り当てる確率によって完全に決定されます。 ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{m\},\,m\in Y=\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\in X=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \kappa (B|n)=\sum _{m\in B}\kappa (\{m\}|n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B \in {\数学 {B}}}$。

確率で右へ 、確率で左へ進むランダムウォークは次の ように定義されます。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$

${\displaystyle \kappa (\{m\}|n)=p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1},\quad \forall n,m\in \mathbb {Z} }$

ここで、はクロネッカーのデルタです。ランダムウォークの 遷移確率はマルコフカーネルに相当します。${\displaystyle \delta}$${\displaystyle P(m|n)=\kappa (\{m\}|n)}$

より一般的には、可算と の両方を取ります。ここでも、マルコフ核は、各${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle i\in X}$

${\displaystyle \kappa (B|i)=\sum _{j\in B}\kappa (\{j\}|i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$、

マルコフ過程は、遷移確率を定義することによって定義されます。 ここで、数値は（可算な）確率行列を定義します。${\displaystyle P(j|i)=K_{ji}}$${\displaystyle K_{ji}}$ ${\displaystyle (K_{ji})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\in Y\times X,\\\sum _{j\in Y}K_{ji} &=1,\qquad &\forall i\in X.\\\end{aligned}}}$

次に定義する

${\displaystyle \kappa (\{j\}|i)=K_{ji}=P(j|i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}}$。

ここでも、遷移確率、確率行列、およびマルコフカーネルは同等の再定式化です。

を 上の測度とし、積代数に関する測定可能な関数をとすると、 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle k:Y\times X\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \int _{Y}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)=1,\qquad \forall x\in X}$、

つまりマッピング ${\displaystyle \kappa (dy|x)=k(y,x)\nu (dy)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)\end{cases}}}$

はマルコフ核を定義する。^{[3]この例は、}計数測度が であった可算マルコフ過程の例を一般化したものである。さらに、畳み込み核、特に熱方程式によって定義されるマルコフ核など、他の重要な例も含んでいる。後者の例には、標準的なルベーグ測度 を持つのガウス核と${\displaystyle \nu}$${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle \nu (dx)=dx}$

${\displaystyle k_{t}(y,x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}t}}e^{-(yx)^{2}/(2t^{2} )}}$。

と任意の測定可能な空間を取り、測定可能な関数をとします。ここで定義します。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \kappa (dy|x)=\delta _{f(x)}(dy)}$

${\displaystyle \kappa (B|x)=\mathbf {1} _{B}(f(x))=\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}f(x)\in B\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$すべてに対して。${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

指示関数は、測定可能である場合に限り、すべてに対して - 測定可能であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {1} _{f^{-1}(B)}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f}$

この例では、マルコフ カーネルを、特定の値ではなく (一般的には) ランダムな値を持つ一般化された関数として考えることができます。つまり、値が均等に重み付けされていない多値関数です。

あまり明白ではない例として、、およびボレル集合の標準的なシグマ代数を持つ実数を取ります。すると、 ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \kappa (B|n)={\begin{cases}\mathbf {1} _{B}(0)&n=0\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +\xi _{x}\in B)&n\neq 0\\\end{cases}}}$

ここで、は状態 の要素の数、 はiidランダム変数(通常、平均 0)、 は指示関数です。コイン投げの単純なケースでは、これはGalton ボードのさまざまなレベルをモデル化します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{B}}$

測定可能な空間 が与えられた場合、 マルコフ核を射 として考えます。直感的に、核はそれぞれに明確に定義された点を割り当てるのではなく、実際の物理的測定のように、ある程度の不確実性でのみ知られる「あいまいな」点を割り当てます。3 つ目の測定可能な空間と確率核およびがある場合、チャップマン-コルモゴロフ方程式によって構成を定義できます。${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$${\displaystyle \kappa :X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (Z,{\mathcal {C}})}$${\displaystyle \kappa :X\to Y}$${\displaystyle \lambda :Y\to Z}$${\displaystyle \lambda \circ \kappa :X\to Z}$

${\displaystyle (\lambda \circ \kappa )(dz|x)=\int _{Y}\lambda (dz|y)\kappa (dy|x)}$。

この合成は単調収束定理によって結合的であり、マルコフ核として考慮される恒等関数（すなわちデルタ測度 ）がこの合成の単位となる。 ${\displaystyle \kappa _{1}(dx'|x)=\delta _{x}(dx')}$

この構成は、マルコフ核を射として持つ測定可能空間上のカテゴリの構造を定義し、これはローヴェレ^{[4]によって最初に定義された}マルコフ核のカテゴリである。

確率空間と確率核の合成は確率空間を定義し、確率測度は次のように与えられる。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P_{X})}$${\displaystyle \kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},P_{Y}=\kappa \circ P_{X})}$

${\displaystyle P_{Y}(B)=\int _{X}\int _{B}\kappa (dy|x)P_{X}(dx)=\int _{X}\kappa (B|x)P_{X}(dx)=\mathbb {E} _{P_{X}}\kappa (B|\cdot ).}$

を確率空間とし、 からへのマルコフ核を 仮定します。このとき、上には 次のような一意の測度が存在し 、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})}$

${\displaystyle Q(A\times B)=\int _{A}\kappa (B|x)\,P(dx),\quad \forall A\in {\mathcal {A}},\quad \forall B\in {\mathcal {B}}.}$

をボレル空間、測度空間上の -値ランダム変数、部分-代数とします。すると、からまでのマルコフ核が存在し、 は任意の に対する条件付き期待値のバージョン、 すなわち${\displaystyle (S,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,Y)}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$${\displaystyle (S,Y)}$${\displaystyle \kappa (\cdot ,B)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B\in Y}$

${\displaystyle P(X\in B\mid {\mathcal {G}})=\mathbb {E} \left[\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}\right]=\kappa (\cdot ,B),\qquad P{\text{-a.s.}}\,\,\forall B\in {\mathcal {G}}.}$

これは与えられた正規条件付き分布と呼ばれ、一意に定義されません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

遷移カーネルは、すべての に対して、マップ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle B\mapsto \kappa (B|x)}$

必ずしも確率測度ではなく、任意のタイプの（負でない）測度にすることができます。

• nLab のマルコフカーネル。

• バウアー、ハインツ (1996)、確率理論、デ・グリュイター、ISBN 3-11-013935-9

§36. カーネルとカーネルの半群

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