ドゥーブ・ディンキン補題

確率論において、ジョセフ・L・ドゥーブとユージン・ディンキンにちなんで名付けられたドゥーブ・ディンキン補題（因数分解補題とも呼ばれる）は、ある確率変数が別の確率変数の関数である状況を、以下の式を含めることによって特徴づける。${\displaystyle \sigma }$ランダム変数によって生成される代数。補題の通常の記述は、1 つのランダム変数がに関して測定可能であるという観点から定式化される。${\displaystyle \sigma }$-他方によって生成された代数。

この補題は確率論の条件付き期待値において重要な役割を果たしており、確率変数による条件付けを、${\displaystyle \sigma }$ランダム変数によって生成される代数。

以下の補題において、$\displaystyle {\mathcal {B}}[0,1]}$は${\displaystyle \sigma }$ボレル集合の代数${\displaystyle [0,1].}$もし${\displaystyle T\colon X\to Y,}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$測定可能な空間であれば、

${\displaystyle \sigma (T)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{T^{-1}(S)\mid S\in {\mathcal {Y}}\}}$

最小${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle T}$は${\displaystyle \sigma (T)/{\mathcal {Y}}}$測定可能である。

させて${\displaystyle T\colon \Omega \rightarrow \Omega '}$関数であり、${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$測定可能な空間。関数${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1]}$は$\displaystyle \sigma (T)/\mathcal {B}}[0,1]$測定可能であるのは、${\displaystyle f=g\circ T,}$一部の人にとって$\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$測定可能${\displaystyle g\colon \Omega '\to [0,1].}$^{[ 1 ]}

注記：「もし」の部分は、2つの可測関数の合成が可測であることを述べているだけです。「必要条件」の部分は以下で証明されています。

注記。空間が${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}[0,1])}$に置き換えられます${\displaystyle (S,{\mathcal {B}}(S)),}$どこ${\displaystyle S\subseteq [-\infty ,\infty ],}$${\displaystyle S}$は全単射である${\displaystyle [0,1],}$そして、この全単射は両方向において測定可能である。

定義上、測定可能性${\displaystyle f}$つまり${\displaystyle f^{-1}(S)\in \sigma (T)}$すべてのボレル集合に対して${\displaystyle S\subseteq [0,1].}$したがって${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T),}$そして、この補題は次のように言い換えることができる。

補題。${\displaystyle T\colon \Omega \rightarrow \Omega ',}$${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1],}$ そして${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$測定可能な空間です。${\displaystyle f=g\circ T,}$一部の人にとって$\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$測定可能${\displaystyle g\colon \Omega '\to [0,1],}$かつその場合に限り${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T)}$。

• 条件付き期待値

• A. Bobrowski:確率と確率過程のための関数解析入門、ケンブリッジ大学出版局 (2005)、ISBN 0-521-83166-0
• MM Rao、RJ Swift  ：応用を伴う確率論、数学とその応用、第582巻、Springer-Verlag（2006）、ISBN 0-387-27730-7doi : 10.1007/0-387-27731-5