行列の類似性

線型代数学において、2つのn行n列の 行列 AとBが相似であるとは、 n行n列の逆行列 Pが存在し、次の式を満たすときをいう。 相似行列は、2つの（おそらく）異なる基底の下で同じ線型写像を 表し、Pは基底変換行列である。^{[1] [2]}$${\displaystyle B=P^{-1}AP.}$$

変換A ↦ P ⁻¹ APは、行列Aの相似変換または共役と呼ばれます。一般線型群では、相似は共役と同じであり、相似行列は共役とも呼ばれます。ただし、一般線型群の特定の部分群Hでは、共役の概念は相似よりも制限的である可能性があります。これは、共役の概念では、 P がHに含まれるように選択される必要があるためです。

線形変換を定義する場合、基底の変更によって同じ変換がより単純な形式になることがあります。たとえば、回転軸が座標軸と一致していない場合のR ³での回転を表す行列の計算は複雑になることがあります。回転軸が正のz軸と一致している場合は、単に となり、 は 回転角度です。新しい座標系では、変換は と記述されます。 ここで、 x'とy'は、回転軸に平行なベクトルを含む新しい基底の、それぞれ元のベクトルと変換されたベクトルです。元の基底では、変換は と記述されます。 ここで、ベクトルxとyおよび未知の変換行列T は、元の基底にあります。Tをより単純な行列で記述するには、 xとy をおよびに変換する基底変更行列P を使用します。 $${\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \theta}$$${\displaystyle y'=Sx',}$$$${\displaystyle y=Tx,}$$${\displaystyle x'=Px}$${\displaystyle y'=Py}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}$$

したがって、元の基底の行列は で与えられます。元の基底の変換は、簡単に導出できる 3 つの行列の積であることがわかります。実際には、相似変換は、新しい基底 ( P ) への変更、単純な変換の実行 ( S )、古い基底への変更 ( P ⁻¹ ) という 3 つのステップで実行されます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T=P^{-1}SP}$

相似性は、正方行列の空間上の 同値関係です。

行列が類似しているのは、（おそらく）異なる基底に関して同じ線形演算子を表す場合のみであるため、類似の行列は、共通の基礎演算子のすべてのプロパティを共有します。

• ランク
• 特性多項式、およびそこから導出できる属性:
  • 決定要因
  • トレース
  • 固有値とその代数的重複度
• 固有値の幾何学的多重度（ただし、固有空間は含まれません。固有空間は、使用される基本変更行列Pに従って変換されます）。
• 最小多項式
• フロベニウス正規形
• ジョルダン標準形、ジョルダンブロックの順列を除く
• 零位指数
• 基本因子、これは主イデアル領域上の行列の相似性に対する不変量の完全な集合を形成する。

このため、与えられた行列Aに対して、 Aに類似した単純な「正規形」B を見つけることに興味があります。つまり、 Aの研究は、より単純な行列Bの研究に帰着します。たとえば、A は対角行列に類似している場合、対角化可能と呼ばれます。すべての行列が対角化可能であるわけではありませんが、少なくとも複素数(または任意の代数的に閉じた体) 上では、すべての行列はジョルダン形式の行列に類似しています。これらの形式はどちらも一意ではないため (対角要素またはジョルダン ブロックは並べ替えることができます)、実際には正規形ではありません。さらに、それらの決定は、 Aの最小または特性多項式を因数分解できること(つまり、その固有値を見つけること) に依存します。有理標準形にはこれらの欠点がありません。任意の体上に存在し、真に一意であり、体での算術演算のみを使用して計算できます。AとB は、同じ有理標準形を持つ場合にのみ類似しています。有理標準形はAの基本因子によって決定されます。これらはジョルダン形式の行列からすぐに読み取ることができますが、多項式環上の行列 XI n − A (その行列式が特性多項式を定義するものと同じもの) のスミス_標準形を計算することによって任意の行列に対して直接決定することもできます。このスミス標準形は A 自体の標準形ではないことに注意してください。さらに、これはXI _n − Aとも類似しておらず、後者から異なる可逆行列 (多項式要素を持つ) による左乗算と右乗算によって得られます。

行列の相似性は基底体に依存しません。つまり、L がK を部分体として含む体であり、AとB がK上の 2 つの行列である場合、AとB がK 上の行列として相似なのは、それらがL上の行列として相似な場合のみです。これは、K上の有理標準形がL上の有理標準形でもあるためです。つまり、より大きな体上でのみ存在するジョルダン形式を使用して、与えられた行列が相似かどうかを判断できます。

類似性の定義では、行列P が順列行列として選択できる場合、AとBは順列類似です。一方、 P がユニタリ行列として選択できる場合、AとBはユニタリ同値です。 スペクトル定理によれば、すべての正規行列は、何らかの対角行列とユニタリ同値です。Spechtの定理によれば、2 つの行列は、特定のトレースの等式を満たす場合にのみユニタリ同値です。

• 標準形
• 行列の合同
• 行列の等価性
• ヤコビ回転