バケット論法

バケツ内の回転する液体の表面の形状は、表面の要素に作用するさまざまな力に対するニュートンの法則を使用して決定できます。たとえば、Knudsen と Hjorth を参照してください。^{[ 16 ]}解析は、水が静止しているように見える共回転座標系での自由体図から始まります。水の高さh = h ( r ) は、回転軸Ωからの半径方向距離rの関数であり、目的はこの関数を決定することです。表面上の水の体積要素には、3 つの力が作用することが示されています。重力による垂直方向の力F _g、水平方向で半径方向に外向きの遠心力F _Cfgl、および選択された表面要素を取り囲む残りの水による水面に垂直な力F _{n です。平衡状態にある液体は}せん断応力を支えることができないため、周囲の水による力は水面に垂直であることがわかっています。^{[ 17 ]} Anthony と Brackett の言葉を引用すると、次のようになります。^{[ 18 ]}

密度が均一な流体の表面は、静止している場合、あらゆる場所で力線に垂直である。もしそうでなければ、表面上の点における力は、表面に垂直な成分と表面に接する成分の2つに分解できてしまう。しかし、流体の性質から、接線方向の力は流体の運動を引き起こし、これは流体が静止しているという記述に反する。

さらに、水の要素は動かないため、3つの力の合計はゼロでなければなりません。合計がゼロになるためには、水の力が遠心力と重力の合計と反対方向を向いている必要があり、つまり、水面の法線がこの方向を向くように水面を調整する必要があります。（これと非常によく似た問題として、バンク付きカーブの設計があります。カーブの傾斜は、車が路面から滑り落ちないように設定されています。回転するバケツの場合の類推としては、水面の法線がベクトル加算F _g + F _Cfglによって形成されるベクトル合成と一致しない限り、水面の要素は水面を上下に「滑り落ちる」ことになります。）

rが増加すると、遠心力は次の関係式に従って増加します（式は単位質量あたりで記述されています）。

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=m\オメガ ^{2}r\ ,}$

ここでΩは水の一定の回転速度である。重力は変化しない。

${\displaystyle F_{\mathrm {g} }=mg\ ,}$

ここで、gは重力加速度である。これら2つの力が合わさって、鉛直方向から角度φの合力となり、次式で表される。

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {F_{\mathrm {Cfgl} }}{F_{\mathrm {g} }}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}$

これは明らかにr が増加するにつれて大きくなります。この合力が水面に垂直であり、したがって水面下の力によって効果的に相殺されるようにするには、水面に対する法線が同じ角度、つまり、

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}\ ,}$

これにより、表面形状に関する常微分方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}$

または、統合する：

${\displaystyle h(r)=h(0)+{\frac {1}{2g}}\left(\Omega r\right)^{2}\ ,}$

ここで、h (0)はr =0における水面の高さである。言い換えれば、水面は半径に対して放物線状の依存性を示す。

水面の形状は、共回転座標系における遠心力に関連する位置エネルギーという興味深い考え方を用いることで、非常に直感的な別の方法で求めることができます。角速度Ωで一様に回転する基準座標系では、仮想遠心力は保存力であり、位置エネルギーは次の形式になります。^{[ 19 ] [ 20 ]}

${\displaystyle {U}_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {1}{2}}m\Omega ^{2}r^{2}\ ,}$

ここで、rは回転軸からの半径である。この結果は、ポテンシャルの勾配を取って半径方向外向きの力を求めることで検証できる。

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {\partial }{\partial r}}{U}_{\mathrm {Cfgl} }}$${\displaystyle =m\Omega ^{2}r\ .}$

位置エネルギー（蓄積された仕事）の意味は、試験体がより大きな半径からより小さな半径へ移動する際には、遠心力に逆らって仕事をし、それによって位置エネルギーを得るということである。しかし、より小さな半径で標高が低い位置にあるこの試験体は、同等の重力による位置エネルギーを失っている。

したがって、位置エネルギーは回転するバケツ内の水面が凹状になる理由を説明する。平衡状態では、水面は、その表面上のどの位置にある体積要素も他のどの位置にある体積要素と同じ位置エネルギーを持つような形状をとることに注目してほしい。そのため、表面上のどの水要素も位置を移動しようとする動機を持たない。なぜなら、すべての位置がエネルギー的に等価だからである。つまり、平衡状態が達成される。一方、より低いエネルギーを持つ表面領域が存在する場合、理想的な液体では横方向の移動に対する障壁がないため、より高い位置にある水は、より低いエネルギーを持つ位置へと移動するだろう。

意図的にこの平衡状態を崩すために、水の表面形状を一時的に変化させて、等エネルギー表面とは異なる形状にすることを想像してみましょう。この形状変化は安定せず、水は人工的に作り出した形状にとどまらず、バケツの側面との摩擦や液体の非理想的な性質によって生じる非理想的な摩擦力が振動を抑制し、水が平衡形状に落ち着くまで、様々な形状を一時的に模索します。

等エネルギー面の原理を理解するために、バケツの回転速度をゼロから徐々に上げていく様子を想像してみましょう。水面は最初は平らで、水面に作用する重力場において、水面上のすべての点が同じ高さにあるため、明らかに等ポテンシャルエネルギー面です。しかし、回転速度が小さい場合、遠心力の影響を受けて水面の一部が外側に移動することで、ポテンシャルエネルギーを下げます。地球の中心に向かって重力によって移動する物体を想像してみてください。物体は力に従うことでポテンシャルエネルギーを下げます。水は圧縮されないため、バケツの範囲内に留まらなければなりません。そのため、この外側への移動によって、半径の大きい部分では水の深さが増し、半径の大きい部分では水面の高さが上がり、半径の小さい部分では水面が低くなります。水面はわずかに凹状になり、その結果、半径の大きい部分では、より高い高さに到達するために重力に逆らって行われた仕事によって、水のポテンシャルエネルギーが増加します。水位が上昇するにつれて、遠心力による位置エネルギーの減少と重力に逆らうエネルギーの増加が釣り合うため、周辺方向への移動はもはや有利ではなくなります。したがって、一定の回転角速度では、凹面が安定した状態を表し、回転速度が速いほど、この凹面はより深くなります。回転が停止すると、平衡状態である平面が回復する前に、凹面を形成するために蓄えられたエネルギーが、例えば摩擦などによって散逸されなければなりません。

一定のポテンシャルエネルギー面を定量的に実装するために、水の高さを${\displaystyle h(r)\,}$: すると、重力によってもたらされる単位質量あたりの位置エネルギーは${\displaystyle gh(r)\ }$そして、表面上の単位質量あたりの全ポテンシャルエネルギーは

${\displaystyle {U}={U}_{0}+gh(r)-{\frac {1}{2}}\Omega ^{2}r^{2}\,}$

と${\displaystyle {U}_{0}}$背景エネルギーレベルはrに依存しない。静止状態（回転座標系で流体が動かない場合）では、このエネルギーは位置rに依存しない一定値となる。エネルギーが一定であるという条件から、放物線状の式が得られる。

${\displaystyle h(r)={\frac {\Omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h(0)\ ,}$

ここで、h (0)はr =0（軸）における高さである。図1および図2を参照のこと。

遠心分離機の動作原理は、位置エネルギーに関するこの式を用いて簡単に理解することもできます。この式は、回転軸から遠い領域に重い物質が占められている方がエネルギー的に有利であることを示しています。