VSOPモデル

半解析的惑星理論VSOP（フランス語：Variations Séculaires des Orbites Planétaires ）は、水星から海王星までの惑星の軌道の長期的な変化（永年変化）を説明する数学モデルです。最も初期の現代科学モデルでは、太陽と各惑星間の重力のみを考慮し、その結果、軌道は不変のケプラーの楕円となります。実際には、すべての惑星が互いにわずかな力を及ぼし、これらの楕円の形状と方向にゆっくりと変化を引き起こします。これらの偏差については、ますます複雑な解析モデルや、効率的で正確な数値近似法が構築されてきました。

VSOP は、パリの経度局の科学者によって開発され、維持管理されています (最新のデータで更新されています) 。最初のバージョンである VSOP82 では、任意の時点の軌道要素のみを計算しました。更新されたバージョンである VSOP87 では、任意の時点の惑星の位置と軌道要素が直接計算され、精度が向上しました。

天空の惑星の位置を予測することは、古代からすでに行われていました。注意深い観察と幾何学的計算により、地球を中心とした太陽系の運動モデルであるプトレマイオス体系が生まれました。この理論のパラメータは、中世にインドとイスラムの天文学者によって改良されました。

近代ヨーロッパ初期のティコ・ブラーエ、ヨハネス・ケプラー、アイザック・ニュートンの研究は、現代の太陽中心説の基礎を築きました。1740 年のジャック・カッシーニの表に至るまで、過去の観測位置を外挿することで、将来の惑星の位置が予測され続けました。

問題は、例えば、地球は太陽の引力によって引きつけられるだけではないということです。太陽の引力によって、地球は安定した楕円軌道を描くことが容易に予測できますが、月、その他の惑星、太陽系の他の物体によっても、程度の差はありますが引きつけられます。これらの力によって軌道に摂動が生じますが、この摂動は時間とともに変化し、正確に計算することはできません。近似値を求めることはできますが、扱いやすい方法で求めるには、高度な数学や非常に高性能なコンピュータが必要です。通常は、各惑星の相互作用ごとに、( a + bt + ct ² +...)×cos( p + qt + rt ² +...) などの時間の関数となる周期的な級数に展開します。前の式の係数aは主な振幅、係数q は主な角速度で、これは推進力の高調波、つまり惑星の位置に直接関係します。たとえば、q = 3×(火星の長さ) + 2×(木星の長さ) です。 (この文脈における「長さ」という用語は黄道経度、つまり惑星が単位時間内に軌道を進んだ角度を指します。したがって、 qも時間の経過に伴う角度です。長さが 360° 増加するのに必要な時間は、公転周期に等しくなります。)

1781 年にジョセフ・ルイ・ラグランジュが初めて本格的な計算を行い、線形化法を使用して解を近似しました。他の研究者もこれに続きましたが、1897 年にジョージ・ウィリアム・ヒルが2 次項を考慮して理論を拡張しました。3 次項は、コンピューターが利用可能になり、理論の開発で実行される膨大な計算がようやく管理可能になった 1970 年代まで待たなければなりませんでした。

ピエール・ブルタニョン氏は 1982 年までにこの研究の第一段階を完了し、その結果は VSOP82 として知られています。しかし、周期変動が長いため、彼の結果は 100 万年以上持続しないものと予想されています (精度が非常に高い場合、おそらく 1000 年未満です)。

どのような理論でも大きな問題は、摂動の振幅が惑星の質量の関数であることです(その他の要因もありますが、質量がボトルネックです)。これらの質量は、各惑星の衛星の周期を観測するか、惑星の近くを通過する宇宙船の重力による偏向を観測することで決定できます。観測を増やすと精度が向上します。短周期の摂動 (数年未満) は、非常に簡単かつ正確に決定できます。しかし、長周期の摂動 (数年から数世紀に及ぶ周期) ははるかに困難です。正確な測定値が存在する時間範囲が十分に長くないため、定数項とほとんど区別がつかない場合があります。しかし、これらの項は、数千年にわたって最も重要な影響を与えています。

悪名高い例としては、金星の大周期と木星と土星の大不等式があります。これらの惑星の公転周期を調べてみると、8 × (地球の周期) が 13 × (金星の周期) にほぼ等しく、5 × (木星の周期) が約 2 × (土星の周期) に等しいことに気付くでしょう。

VSOP82 の実際的な問題は、惑星の軌道要素に対してのみ長いシリーズを提供していたため、完全な精度が必要ない場合にシリーズをどこで切り捨てるかを判断するのが容易ではなかったことです。この問題は VSOP87 で修正され、惑星の位置と軌道要素のシリーズが提供されます。

VSOP87では特にこれらの長周期項が対処され、計算方法自体は同様のままであったものの、精度が大幅に向上しました。VSOP87は、水星、金星、地球-月重心、火星について、2000年紀元前後4000年間にわたって1秒の精度を保証します。木星と土星については2000年以上、天王星と海王星についてはJ2000の前後6000年以上にわたって同じ精度が保証されています。^[1]このことと無料で利用できることから、VSOP87は惑星計算に広く使用され、たとえばCelestiaやOrbiterで使用されています。

もう一つの大きな改善点は、楕円座標に加えて直交座標を使用することです。従来の摂動理論では、惑星の基本軌道を次の 6 つの軌道要素で記述するのが通例です (重力により 2 次微分方程式が生成され、その結果 2 つの積分定数が生成され、3 次元空間の各方向に 1 つのそのような方程式が存在します)。

• 半長軸 ​
• 偏心 ​
• 私の 傾向
• Ω 昇交点の経度
• ω 近日点引数（または近日点経度ϖ = ω + Ω）
• T近日点通過時刻（または平均日点角 M）

摂動がなければ、これらの要素は一定であるため、理論の基礎として理想的です。摂動があると、これらの要素はゆっくりと変化するため、計算では可能な限り、または望ましい限り多くの摂動を取り入れます。結果は特定の時間における軌道要素であり、これを使用して、直交座標(X、Y、Z) または球座標(経度、緯度、太陽中心距離) で位置を計算できます。これらの太陽中心座標は、他の視点 (たとえば、地心座標) に簡単に変更できます。座標変換では、直交座標 (X、Y、Z) の方が使いやすいことがよくあります。変換 (たとえば、太陽中心座標から地心座標へ) はベクトルの加算によって実行され、回転 (たとえば、黄道座標から赤道座標へ) は行列の乗算によって実行されます。

VSOP87 には 6 つのテーブルがあります。

• VSOP87 春分点の太陽中心の黄道軌道要素 J2000.0。6 つの軌道要素は、時間の経過とともに軌道がどのように変化するかを把握するのに最適です。
• VSOP87A 春分点の太陽中心の黄道直交座標 J2000.0。地心位置に変換し、後で星図に位置をプロットするときに最も便利です。
• VSOP87B 春分点の太陽中心黄道球面座標 J2000.0
• VSOP87C 一日の分点の太陽中心の黄道直交座標。地心位置に変換して、後で例えば昇り/沈み/南中時刻や、地元の地平線に対する高度と方位を計算するときに最も便利です。
• VSOP87D 当日の春分点の太陽中心黄道球面座標
• VSOP87E太陽系の重心を基準とした、春分点 J2000.0 の重心黄道直交座標。

VSOP87テーブルは公開されており、VizieRから取得できます。^[2]

VSOP2000 の精度は、以前のものより 10 ～ 100 倍優れています。水星、金星、地球の不確実性は、1900 ～ 2000 年の期間で約 0.1ミリ秒(ミリ秒) と報告されており、他の惑星では数ミリ秒です。^[3] VSOP2000 の出版物とデータは公開されています。^[4]

ブレタニョンの最後の研究は相対論的効果の実装に関するもので、これにより精度がさらに10倍向上するはずだった。このバージョンは完成せず、天王星と海王星に対して依然として弱点が残っていた。^[5]

VSOP2010 ファイルには、水星、金星、地球と月の重心、火星、木星、土星、天王星、海王星、および準惑星冥王星の 8 つの惑星の楕円要素の系列が含まれています。VSOP2010 の解は、時間間隔 +1890...+2000 にわたってDE405数値積分に適合されています。 ^[6]数値精度は VSOP82 の 10 倍優れています。より広い間隔 -4000...+8000 で内部数値と比較すると、VSOP2010 の解は、地殻​​惑星では VSOP2000 の約 5 倍、外惑星では 10 ～ 50 倍優れていることがわかります。^[7]

VSOP2013 ファイルには、解 VSOP2013 の 8 つの惑星 (水星、金星、地球と月の重心、火星、木星、土星、天王星、海王星) と準惑星である冥王星の楕円要素の系列が含まれています。惑星解 VSOP2013 は、パリ天文台の IMCCE で構築された数値積分 INPOP10a に、+1890...+2000 の期間にわたって当てはめられています。^[8]

精度は、時間間隔-4000...+8000にわたって、地球型惑星では約0.1インチ（火星では1.6インチ）です。太陽、惑星、および5つの大きな小惑星の重力定数を乗じた質量は、INPOP10aからの値を使用しています。^[9]

これは、木星、土星、天王星、海王星の 4 つの惑星と準惑星である冥王星の (軌道要素ではなく) (球形および長方形の) 位置に対する解析解です。

この解は、+1890...+2000の期間にわたってエフェメリスDE405に適合しています。解TOP2010の参照システムは、力学分点と黄道J2000.0によって定義されます。^[10]

この解は、IMCCE（パリ天文台）で構築された数値積分INPOP10aに、+1890...+2000の期間にわたって当てはめられています。解TOP2013の参照システムは、J2000.0の力学的分点と黄道によって定義されています。^[11]

TOP2013の解は、時間間隔-4000...+8000における動きに対して最も優れています。その精度は4つの惑星に対して0.1インチ程度で、VSOP2013と比較して、惑星に応じて1.5倍から15倍のゲインがあります。冥王星の理論の精度は、0から+4000までの時間範囲まで有効です。^[9]

• 経年変化
• シャピロ時間遅延
• ジェット推進研究所開発暦(JPL)
• ELP-2000
• ニューカムの太陽表

• VSOP87 理論と多言語プログラム ソース コード ジェネレーター - 5 つのコンピュータ言語構造における VSOP87 理論とソース コード - 著者: Jay Tanner
• 関連するVSOPファイルはすべてFTP経由でダウンロードできます。
• P. ブルタニオン (1982)。 「飛行機のアンサンブルの理論。ソリューション VSOP82」。天文学と天体物理学。114 : 278–288。Bibcode :1982A&A...114..278B。
• P. Bretagnon; G. Francou (1988). 「長方形および球面変数の惑星理論。VSOP87 のソリューション」。天文学と天体物理学。202 : 309–315。Bibcode :1988A&A...202..309B。
• JL Simon、P. Bretagnon、他 (1994)。「月と惑星の歳差運動の公式と平均要素の数値表現」天文学と天体物理学。282 :663–683。書誌コード:1994A&A...282..663S。