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カール・フェルディナント・デーゲン（1766年11月1日 - 1825年4月8日）はデンマークの数学者である。彼の最も重要な業績は数論の分野にあり、若く将来有望なノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルに決定的な助言を与えた。デーゲンは、デンマークとノルウェーの学校教育に、より近代的で高度な数学を導入した功績の多くを担っている。
彼はドイツのブラウンシュヴァイクで生まれたが、父親のヨハン・フィリップ・デゲンがデンマーク王立管弦楽団の職を得たため、一家は1771年にコペンハーゲンに移住した。音楽家としての彼の給料は低かったが、息子のカール・フェルディナンドはヘルシンゲルで学校に通えるように奨学金を得た。彼は1783年にそこを卒業し、コペンハーゲン大学に進学した。若いデゲンは通常の学習の道筋をたどる代わりに、自分の興味に従って古典語、哲学、自然科学、特に数学を学んだ。[ 1 ] 1792年に大学が初めていくつかの異なる分野で賞付きの論文コンテストを発表し、各分野で40リクスダラーの賞金が授与されたとき、デゲンは神学と数学の両方で賞を獲得した。彼はラテン語、ギリシャ語、ヘブライ語に堪能で、ロマンス語とゲルマン語に精通しており、ロシア語とポーランド語を読むことができた。この時期、彼は後にデンマーク国王クリスチャン8世となる若い王子の数学の家庭教師を務めた。1798年、デーゲンはカントの哲学に関する論文に基づいて哲学博士号を取得し[ 2 ] 、 1800年にはデンマーク王立科学文学アカデミーに選出された[ 1 ]。
1802年、デゲンはオーデンセ大聖堂付属学校で数学と物理学の主任教師として最初の学術職に就いた。数年後、彼はヴィボーにある同校の 校長に任命された。彼は1814年にコペンハーゲン大学の数学教授になるまでそこに留まった。彼の講義は必ずしも体系的ではなかったが、学生たちに愛され、彼は講義に新しくより現代的な数学を取り入れた。同時に彼は自身の研究も進め、さまざまな分野で成果を発表した。これらすべてにより、彼は当時スカンジナビアで最も尊敬される数学者となった。 [ 2 ]
ニールス・ヘンリック・アーベルが学生時代にコペンハーゲンのデーゲンを訪ねた際、デーゲンを非常に親切だが少し変わった人物で、大きな私設図書館を持っていると評した。[ 2 ]デーゲンは1825年に亡くなるまでそこに留まった。そのため、デーゲンが奨励した楕円関数の発見によって若きアーベルが間もなく大きな名声を得るのを見ることはなかった。デーゲンはコペンハーゲンのノアブロにあるアシステンス教会墓地に埋葬されている。
デゲンは、当時近代数学と呼ばれていた分野の多くの領域で研究を行った。彼の貢献のほとんどは数論の問題に関するものであったが、幾何学や力学に関する論文も執筆した。[ 1 ]
1817年、デゲンはペル方程式x² – ny² = 1 ( nは正の整数) の基本解 ( x , y ) に関する大著を出版した。オイラーは以前、これらの解は連分数を用いて体系的に計算できることを示していた。デゲンはこの方法を用い、 n < 1000のすべての整数解を示した。[ 3 ]同じ計算により、nの平方根についても近似的ではあるが非常に正確な有理数解が得られた。さらに、 n の値が存在する場合には、右辺に −1 を持つ随伴方程式の解も発見した。これらの数値結果の表は、その後数年間でペル方程式の標準的な参考資料となった。[ 4 ]
デゲンのペル方程式に関する研究は、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルによるこの問題への貢献の延長線上にあると言えるが、彼の最も重要かつ独創的な発見は 、八方位の恒等式の発見であった。これはおそらく、ペル方程式を一般化しようとする彼の試みから生まれたものだろう。
2平方恒等式
ディオファントスの時代から知られていた。17 世紀末には、2 つの複素数の積のノルムがそれらのノルムの積に等しい理由を説明した。ほぼ同時期に、オイラーは同様の4 平方恒等式も存在することを示した。後に、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発見された四元数のノルムに関連していることが判明した。1818 年、デーゲンはオイラーが働いていたサンクトペテルブルクの科学アカデミーに、以前の 2 つの恒等式とまったく同じ構造の8 平方恒等式を発表した。[ 5 ]翌年、彼は同じ学術団体の「通信会員」に選出された。
8 マスの恒等式に関する彼の研究は 1822 年に初めて発表されました。[ 6 ] 約 30 年後、彼の恒等式は、八元数のノルムによって満たされるものとして、ジョン T. グレイブスとアーサー ケイリーによって再発見されました。これらはハミルトンの四元数の拡張でした。1898 年にアドルフ フルヴィッツは、 2 kマスを含むこのような恒等式はk = 0、1、2、3の場合にのみ存在できることを証明しました。
1821年、ニールス・ヘンリック・アベルはオスロ大聖堂付属学校の最終学年に在籍する非常に才能のある学生でした。彼は5次方程式を解く方法を見つけたと確信していました。オスロ大学の教師や教授陣は誰も彼の研究に間違いを見つけることができませんでした。天文学教授のクリストファー・ハンステーンは、この論文をコペンハーゲンの科学アカデミーで出版すべきだと勧めました。こうして論文は評価のためにデゲンの手に渡りました。[ 2 ]デゲンは再び間違いを見つけることができず、この新しい方法をまず実例で試してみるよう求めました。ハンステーンへの手紙の中で、彼は方程式 x 5 − 2 x 4 + 3 x 2 − 4 x + 5 = 0 を提案しました。彼は手紙を次のような願いで締めくくりました。
アベル氏がこのやや無益なテーマに費やしている時間と労力は、数学解析とその実用的な研究への応用にとって最も大きな影響を与えるであろう問題にこそ投資されるべきであると私は考えている。私が言及しているのは楕円型超越関数である。この種の研究に適した資格を持つ真摯な研究者であれば、これらの極めて注目すべき関数の数々の奇妙で美しい性質だけに留まることなく、広大な解析的大海原へと続くマゼラン海峡を発見できるだろう。
これはすぐに、非常に予言的な助言であることが判明した。アベル自身もすぐに五次方程式の研究に誤りがあることに気づいたが、解の存在に関する研究を続けた。2年後、彼は一般に代数的な解が存在しないことを証明することができた。
デーゲンが楕円積分に集中するように勧めたことは、若い学生に何らかの印象を与えた可能性が高い。1823年の夏、アーベルはコペンハーゲンに短期間滞在し、そこでデーゲンと会った。オスロにいる友人であり元教師のベルント・ミカエル・ホルムボーへの手紙の中で、彼は対応する積分を反転させることで楕円関数を構成したと書いている。翌年、デーゲンへの手紙の中で、彼はこれらの新しい関数が2つの周期を持つことを報告することができた。[ 7 ]この発見は現代数学の新しく非常に重要な分野の始まりを示すものであったが、アーベルは結果の発表を待った。それが最初に起こったのは1827年のことだった。その間にデーゲンは亡くなっていたため、アーベルが行った素晴らしい発見や彼が予言していたことを知ることはなかった。
