鉛筆（幾何学）

幾何学において、鉛筆は、共通の性質を持つ幾何学的オブジェクトのファミリーであり、たとえば、平面上の特定の点を通過する直線の集合や、平面上の特定の 2 点を通過する円の集合などです。

鉛筆の定義はかなり曖昧ですが、鉛筆は任意の 2 つの要素によって完全に決定されるという共通の特徴があります。同様に、任意の 3 つの要素によって決定される幾何学的オブジェクトの集合は、束と呼ばれます。^{[1]したがって、} 3 次元空間内の点を通るすべての線の集合は線の束であり、その任意の 2 つは線の束を決定します。このような鉛筆の 2 次元的な性質を強調するために、平らな鉛筆と呼ばれることもあります。^[2]

鉛筆には、あらゆる幾何学的オブジェクトを使用できます。一般的なものとしては、線、平面、円、円錐、球、一般的な曲線などがあります。点も使用できます。点の鉛筆は、特定の線上にあるすべての点の集合です。^[1]この集合のより一般的な用語は、点の 範囲です。

平面において、と が2つの異なる交差線であるとします。具体的には、 が方程式 を持ち、が方程式 を持つとします。すると、 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell '}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle aX+bY+c=0}$${\displaystyle \ell '}$${\displaystyle a'X+b'Y+c'=0}$

${\displaystyle \lambda \ell +\mu \ell '=0}$、

は、適切なスカラーおよびに対して、ととの交点を通る任意の直線を表します。共通点を通るこの直線の集合は、直線束と呼ばれます。^[3]直線束の共通点は、直線束の頂点と呼ばれます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \ell =0}$${\displaystyle \ell '=0}$

反射的な平行性を持つアフィン平面では、平行線の集合は平行線束と呼ばれる同値類を形成します。^{[4]この用語は上記の定義と一致しており、アフィン平面から}射影平面への唯一の射影拡張では、平行線束の各線に単一の点（無限遠点）が追加され、射影平面において上記の意味での束になります。

平面束とは、三次元空間内の与えられた直線を通る平面の集合であり、この直線を軸と呼ぶ。この平面束は、軸束^[5]や扇形平面、平面束^[6]と呼ばれることもある。例えば、地球の子午線は、地球の自転軸上の平面束によって定義される。

交差する 2 つの平面は 3 次元空間で一直線に交わり、それによって軸が決定され、したがって鉛筆内のすべての平面が決まります。

四元数 の 4 次元空間は、すべて同じ実数直線を共有する複素平面の軸束として考えることができます。実際、四元数には虚数単位の球面、つまり が含まれます。そして、この球面上の 1 組の反対点は、実軸とともに複素平面を生成します。これらすべての複素平面の和集合は、四元数の 4 次元代数を構成します。 ${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |a,b,c,d\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \{b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} |(b,c,d)\in S^{2}\}}$

平面上の任意の2つの円は共通の根軸を持ち、これは2つの円に対して同じ力を持つすべての点からなる直線です。円束（または同軸システム）は、平面上で同じ根軸を持つすべての円の集合です。^[7]包括的であるためには、同心円は根軸として無限遠直線を持つと言われています。

円束には5つの種類があり、^[8]上の図の2つのアポロニウス円族はそのうちの2つを表しています。各種類は、円束の生成元と呼ばれる2つの円によって決まります。代数的に記述すると、方程式に虚数の解が入ることがあります。種類は次のとおりです。

• 楕円鉛筆(図の赤い円群) は、ちょうど2 つの点で互いを通過する 2 つの生成線によって定義されます。楕円鉛筆のすべての円は同じ 2 つの点を通過します。楕円鉛筆には、仮想の円は含まれません。
• 双曲線鉛筆(図の青い円の族) は、どの点でも互いに交差しない 2 つの生成元によって定義されます。これには、実数円、虚数円、および鉛筆のポンスレー点と呼ばれる 2 つの退化した点円が含まれます。平面上の各点は、鉛筆の 1 つの円に正確に属します。
• 放物線鉛筆(極限的なケース) は、2 つの生成円が1点で互いに接している場合に定義されます。これは、1 つの共通点ですべてが互いに接する実数円の族で構成されます。その点で半径が 0 である退化した円も、この鉛筆に属します。
• 共通の中心を中心とする同心円の族 (もう一方の点が無限遠点である双曲線鉛筆の特殊なケースと考えることができる)。
• 共通点を通る直線の族。これらはすべて無限遠点を通る円として解釈されるべきである（楕円鉛筆の特殊なケースと考えることができる）。^{[9] [10]}

2つの固定された円に直交する円は、それらが定める範囲内のすべての円に直交する。^[11]

2つの固定された円に直交する円は円の束を形成します。^[11]

2つの円は2つの鉛筆、つまりそれらを含む唯一の鉛筆とそれらに直交する円の鉛筆を決定します。一方の鉛筆の根軸は、もう一方の鉛筆の円の中心で構成されます。一方の鉛筆が楕円型の場合、もう一方は双曲型であり、その逆も同様です。^[11]

任意の円束の根軸は、無限半径の円として解釈され、その円束に属します。3 つの円のペアがすべて同じ根軸を共有し、中心が同一線上にある場合、任意の 3 つの円は共通の円束に属します。

平面上の円と 3 次元射影空間内の点の間には自然な対応関係があります(下記参照)。この空間内の線は 1 次元の連続した円の族に対応しており、したがってこの空間内の点の束は平面上の円の束です。

具体的には、点を中心とする半径の円の方程式、 ${\displaystyle r}$${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle (xp)^{2}+(yq)^{2}=r^{2},}$

次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \alpha (x^{2}+y^{2})-2\beta x-2\gamma y+\delta =0,​​}$

ここで。この形式では、四重項にスカラーを掛けると、同じ円を表す異なる四重項が生成されます。したがって、これらの四重項は、円の空間の同次座標であると考えることができます。 ^[12]直線もこのタイプの方程式で表すことができますが、この方程式では、 と は円の退化した形式であると考えられます。 のとき、 、 を解くことができます。後者の式は を与える場合があります(この場合、円は点に退化します)。またはは虚数に等しくなります(この場合、四重項は虚円を表すと言えます)。 ${\displaystyle \alpha =1,\beta =p,\gamma =q,\delta =p^{2}+q^{2}-r^{2}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle p=\beta /\alpha ,q=\gamma /\alpha }$${\displaystyle r={\sqrt {p^{2}+q^{2}-r^{2}}}}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )}$

２つの円のアフィン結合の集合、すなわち、４重項で表される円の集合 ${\displaystyle (\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1})}$${\displaystyle (\alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2},\delta _{2})}$

${\displaystyle z(\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1})+(1-z)(\alpha _{2},\beta _ {2}、\ガンマ _{2}、\デルタ _{2})}$

パラメータのある値に対して、鉛筆を形成します。2 つの円は鉛筆の生成元です。 ${\displaystyle z}$

別のタイプの円束は、次のようにして得ることができます。与えられた円 (生成円と呼ばれる) と、生成円上の特定の点P を考えます。Pを通り、生成円上に中心を持つすべての円の集合は、円束を形成します。この円束の包絡線は心臓形です。

球面は、同一平面上にない4点によって一意に決定されます。より一般的には、球面は、点を通過する、平面に接するなどの4つの条件によって一意に決定されます。^{[13]この性質は、}同一直線上にない3点が平面上の唯一の円を決定するという 性質に類似しています。

したがって、球は円とその円の平面上にない点によって一意に決定されます（つまり、その点を通過します）。

2つの球の方程式の共通解を調べると、2つの球が円で交差し、その円を含む平面が交差球の根基平面と呼ばれることがわかります。 ^[14]根基平面は実平面ですが、円は虚数（球に共通する実数点がない）または1点で構成される（球はその点で接している）場合があります。^[15]

とが2つの異なる球面の方程式である 場合、${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle g(x,y,z)=0}$

${\displaystyle \lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0}$

は、パラメータおよびの任意の値に対する球の方程式でもあります。この方程式を満たすすべての球の集合は、元の2つの球によって決定される球束と呼ばれます。この定義では、球は平面（無限大の半径、無限大の中心）であることが許されており、元の球が両方とも平面である場合、球束のすべての球は平面であり、そうでない場合は、球束には1つの平面（ラジカル平面）しかありません。^[16]${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$

球面束がすべての平面で構成されていない場合、3種類の球面束が存在する。^[15]

• 球が実円Cで交差する場合、鉛筆は根平面を含むC を含むすべての球で構成されます。鉛筆内のすべての通常の球の中心は、 Cの中心を通り根平面に垂直な線上にあります。
• 球が仮想円で交差する場合、鉛筆のすべての球もこの仮想円を通過しますが、通常の球と同様に、それらは分離しています（共通の実点がありません）。中心線は、仮想円を含む鉛筆内の実平面であるラジカル平面に垂直です。
• 球が点Aで交差する場合、鉛筆内のすべての球はAで接し、根平面はこれらすべての球の共通接平面になります。中心線はAで根平面に垂直になります。

根平面の固定点から鉛筆の球面までの接線の長さはすべて同じである。^[15]

根軸平面は、球体束内のすべての球に直交するすべての球の中心の軌跡である。さらに、球体束の任意の2つの球に直交する球は、すべての球に直交し、その中心は球体の根軸平面にある。^[15]

（非退化）円錐曲線は、平面上の一般的な位置にある5つの点（同一直線上にない3点）によって完全に決定され、固定された4点セット（これも平面上であり同一直線上にない）を通過する円錐曲線のシステムは円錐曲線ペンシルと呼ばれます。^[17] 4つの共通点は、円錐曲線の基点と呼ばれます。基点以外の任意の点を通過する円錐曲線は1つです。この概念は円のペンシルを一般化します。

代数的に閉じた体上に定義された射影平面では、任意の2つの円錐曲線は4つの点（重複度を含めて）で交わるため、これらの4つの点に基づいて円錐曲線の束が決定されます。さらに、4つの基点は3つの直線のペア（基点を通る退化円錐曲線、ペアの各直線にはちょうど2つの基点が含まれる）を決定するため、各円錐曲線の束には最大で3つの退化円錐曲線が含まれます。^[18]

円錐曲線の束は、次のように代数的に表すことができます。と を、代数的に閉じた体 上に定義された射影平面内の 2 つの異なる円錐曲線とします。の両方が 0 ではない のすべての要素のペアに対して、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \lambda C_{1}+\mu C_{2}}$$

は、およびによって決まる鉛筆内の円錐曲線を表します。この記号表現は、表記法を少し誤用することで具体的に表現できます (オブジェクトと、オブジェクトを定義する方程式の両方を表すのに同じ表記法を使用します)。 を、たとえば、3 次二次形式と考えると、 は「円錐曲線 」の方程式です。 を、それを表す3×3 対称行列と考えると、別の具体的な表現が得られます。 およびがこのような具体的な表現を持つ場合、上記の鉛筆の各要素も同様に実現されます。 この設定では射影平面の同次座標を使用しているため、2 つの具体的な表現 (方程式または行列) は、乗法定数が 0 以外の値であれば同じ円錐曲線になります。 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{1}=0}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

より一般的には、線型曲線は、パラメータ空間が射影直線であるような線型因子系の特殊なケースである。例えば、 射影平面上の曲線の典型的な線型曲線は、次のように記述される。

${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0\,}$

ここで、は平面曲線です。 ${\displaystyle C=0}$${\displaystyle C'=0}$

デザルグは「線の鉛筆」（ ordonnance de lignes ）という用語を発明したとされている。^[19]

近代射影幾何学の初期の著者であるG.B.ハルステッドは、角度を定義するために共点と平面鉛筆という用語を導入した。「同じ交点を持つ直線は共点である。」また、「共面の共点直線の集合は平面鉛筆と呼ばれる」および「2つ​​の直線で辺として囲まれた平面鉛筆の断片は角度と呼ばれる。」^[20]

• バンドル調整
• レフシェッツ鉛筆
• マトリックスペンシル
• ペンシルビーム
• 繊維化
• 軌跡

• アルバート、エイブラハム・エイドリアン（2016）[1949]、立体解析幾何学、ドーバー、ISBN 978-0-486-81026-3
• アルティン、E. (1957)、幾何代数、インターサイエンス出版社
• フォークナー、TE（1952）、射影幾何学（第2版）、エディンバラ：オリバー＆ボイド、ISBN 9780486154893
• ハルステッド、ジョージ・ブルース（1906年）、総合射影幾何学、ニューヨーク・ワイリー
• ジョンソン、ロジャー A. (2007) [1929]、上級ユークリッド幾何学、ドーバー、ISBN 978-0-486-46237-0
• ペドー、ダン（1988）[1970]、幾何学/総合コース、ドーバー、ISBN 0-486-65812-0
• ファイファー、リチャード E.; ヴァン フック、キャスリーン (1993)、「円、ベクトル、線形代数」、数学雑誌、66 (2): 75–86、doi :10.2307/2691113、JSTOR  2691113
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• ワイスシュタイン、エリック W.、「鉛筆」、MathWorld