ローカルパラメータ

複素代数曲線の幾何学において、曲線Cの滑らかな点Pにおける局所パラメータは、 Pで単純な零点を持つC上の有理型関数である。この概念は、他の体上で定義された曲線にも一般化できる。${\displaystyle \mathbb {C} }$（またはスキーム）なぜなら、代数的に閉じた体上で定義された代数曲線Cの滑らかな点Pにおける局所環は常に離散付値環だからです。^{[ 1 ]}この付値により、点Pで零点または極を持つ有理関数（非複素領域における有理型関数の自然な一般化）の位数を数える方法が示されます。

ローカルパラメータは、その名の通り、主に局所的な方法で多重度を適切にカウントするために使用されます。

C が複素代数曲線である場合、その曲線上で定義された有理型関数の零点と極の重複度を数える。 ^{[ 2 ]}ただし、体以外の体上で定義された曲線について議論する場合${\displaystyle \mathbb {C} }$複素解析の力を利用できない場合は、そのような曲線上で定義された有理関数の零点と極の重複度を定義するために代替手段を見つける必要があります。この最後のケースでは、正則関数の芽を次のようにします。${\displaystyle f}$消える${\displaystyle P\in C}$もし${\displaystyle f\in m_{P}\subset {\mathcal {O}}_{C,P}}$これは複素数の場合と完全に類似しており、点Pにおける局所環の最大イデアルは、実際にはPで消滅する正則関数の芽によって構成されます。

評価関数$\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$は

${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f)=\max\{d=0,1,2,\ldots :f\in m_{P}^{d}\};}$

この評価は、 K ( C ) ( C の有理関数の体)に自然に拡張できます。なぜなら、それは分数の体だからです。$\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$したがって、点Pに単純な零点を持つという考え方はこれで完成する。それは有理関数となる。${\displaystyle f\in K(C)}$その胚芽が${\displaystyle m_{P}^{d}}$dは最大で1です。

これは、可換代数の離散付値環の文脈で見られる均一化パラメータ（または単に均一化子）の概念と代数的に類似しています。DVR ( R, m ) の均一化パラメータは、最大イデアルmの生成子です。この関連性は、 Pの局所パラメータが DVR ( ) の均一化パラメータになるという事実から来ています。$\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$、${\displaystyle m_{P}}$) からその名前がついた。

C を代数的に閉じた体K上で定義された代数曲線とし、K ( C )をCの有理関数体とする。滑らかな点に対応するK ( C )上の評価値は次のようになる。${\displaystyle P\in C}$は次のように定義される。 ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f/g)=\operatorname {ord} _{P}(f)-\operatorname {ord} _{P}(g)}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}}$ローカルリングの通常の評価は$\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$、${\displaystyle m_{P}}$) PにおけるCの局所パラメータは関数である。$t ∈ K(C)$そのため${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(t)=1}$。