生まれながらのルール

ボルンの法則は量子力学の公理で、量子システムの測定が特定の結果をもたらす確率を与える。よく使われる応用例の 1 つでは、特定の位置で粒子を見つける確率密度は、その位置でのシステムの波動関数の振幅の 2 乗に比例すると述べられている。この法則は、1926 年 7 月にドイツの物理学者マックス ボルンによって定式化され、発表された。^[1]

ボルンの法則は、正規化された波動関数（ブラケット記法を参照）を持つシステムで測定された観測量が、次の場合にスペクトルが離散的である自己随伴演算子に対応することを述べています。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A}$

• 測定結果はの固有値 の1つとなり、${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$
• 与えられた固有値を測定する確率は に等しくなります。ここで は に対応するの固有空間への射影です。${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

（に対応するの固有空間が 1 次元で、正規化された固有ベクトル によって張られている場合、は に等しいため、確率は に等しくなります。複素数は状態ベクトルが固有ベクトル に割り当てる確率振幅として知られているため、ボルンの規則では、確率は振幅の 2 乗（実際には振幅とその複素共役の積）に等しいと説明されるのが一般的です。同様に、確率は と書くこともできます。）${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$${\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$

のスペクトルが完全に離散的でない場合、スペクトル定理は、のスペクトル測度である特定の射影値測度 (PVM)の存在を証明します。この場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle A}$

• 測定結果が測定可能な集合に含まれる確率は で与えられる。${\displaystyle M}$${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$

たとえば、単一の構造のない粒子は、位置座標と時間座標に依存する波動関数によって記述できます。ボルンの規則は、時間における粒子の位置の測定結果の確率密度関数が次のようになることを意味します。 ボルンの規則は、運動量、エネルギー、角運動量など、他の観測可能なものの確率 (離散的な結果の集合を持つ測定の場合) または確率密度 (連続値の測定の場合) を計算するためにも使用できます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$$

いくつかの応用では、ボルン則のこの扱いは、正演算子値測度 (POVM)を使用して一般化されます。POVM は、その値がヒルベルト空間上の半正定値演算子である測度です。POVM はフォン ノイマン測定の一般化であり、それに応じて、POVM によって記述される量子測定は、自己随伴観測量によって記述される量子測定の一般化です。大まかに類推すると、POVM と PVM の関係は、混合状態と純粋状態の関係に相当します。混合状態は、より大きなシステムのサブシステムの状態を指定するために必要です (量子状態の精製を参照)。同様に、POVM は、より大きなシステムで実行された射影測定のサブシステムへの影響を記述するために必要です。POVM は、量子力学における最も一般的な種類の測定であり、量子場の理論でも使用できます。^{[2]それらは}量子情報の分野で広く使用されています。

最も単純なケースでは、有限次元ヒルベルト空間に作用する有限個の要素を持つPOVMは、ヒルベルト空間上の半正定値 行列 の集合であり、その和は単位行列となる。^{[3] ：90}${\displaystyle \{F_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$$

POVM要素は測定結果に関連付けられており、量子状態を測定するときにそれを取得する確率は次のように表されます。 ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$$

ここで はトレース演算子です。これはボルン則の POVM バージョンです。測定される量子状態が純粋状態である場合、この式は次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$$

ボルンの規則は、時間発展演算子のユニタリー性（または、同等に、ハミルトニアンがエルミートであること）とともに、理論のユニタリー性を意味します。つまり、ユニタリー演算子によって時間発展する波動関数は、適切に正規化されたままになります。（密度行列の時間発展を考えるより一般的なケースでは、時間発展がトレース保存の完全な正のマップであることを要求することによって、適切な正規化が保証されます。） ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

ボルンの法則は、1926年の論文でボルンによって定式化された。^[4]この論文で、ボルンは散乱問題に対するシュレーディンガー方程式を解き、アルベルト・アインシュタインと光電効果に対するアインシュタインの確率法則に着想を得て、^[5]脚注でボルンの法則が解の唯一の解釈を与えると結論付けている。(論文の本文では、振幅が「確率を与える」[ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ]と述べら​​れているが、証明に追加された脚注では、確率はその大きさの2乗に比例すると述べられている。) 1954年、ボルンはこの研究と他の研究により、ヴァルター・ボーテとともにノーベル物理学賞を受賞した。^[5]ジョン・フォン・ノイマンは、1932年の著書で、ボルンの法則へのスペクトル理論の応用について論じた。 ^[6]

グリーソンの定理は、量子物理学における測定の通常の数学的表現と非文脈性の仮定からボルンの規則が導かれることを示している。アンドリュー・M・グリーソンは1957年にジョージ・W・マッキーの疑問に促されてこの定理を初めて証明した。 [7 ^{] [8] [9]この定理は}、隠れた変数理論の幅広いクラスが量子物理学と矛盾することを示す役割を果たしたため、歴史的に重要である。^[10]

他の研究者も、より基本的な原理からボルンの規則を導出しようと試みてきました。多世界解釈の文脈では、多くの導出が提案されています。これらには、デイビッド・ドイチュ^[11]が開拓し、後にヒラリー・グリーブス^[12]とデイビッド・ウォレス^{[13]が開発した決定理論アプローチや、}ヴォイチェフ・H・ズーレク[14]による「不変性」アプローチが含まれます。^[15]しかし、これらの証明は循環的であると批判されています。^{[15] 2018年には、チャールズ・セベンスと}ショーン・M・キャロル^[16]によって、自己位置特定不確実性に基づくアプローチが提案されましたが、これも批判されています。^[17] サイモン・サンダースは、2021年に、ボルンの規則の枝数え導出を発表しました。このアプローチの重要な特徴は、枝がすべて同じ大きさまたは2ノルムを持つように定義することです。このように定義された枝数の比率は、ボルンの規則に従って、測定のさまざまな結果の確率を与えます。^[18]

2019年に、Lluís Masanes、Thomas Galley、Markus Müllerは、状態推定の可能性を含む公理に基づく導出を提案した。^{[19] [20]}

パイロット波理論はボルンの規則を統計的に導くために使用できるとも主張されているが、これはまだ議論の余地がある。 ^[21]

量子論のQBist解釈では、ボルンの規則は、確率評価の全体にわたって確率評価の自己一貫性を保証する規範的原理の拡張と見なされています。十分に量子的なシステムでの測定結果に賭けていると考えながら、賭けをする際にボルンの規則を使用することを拒否するエージェントは、オランダの本の影響を受けやすいことが示されています。^[22]

Wikiquote にボルンの法則に関する引用があります。

• 量子力学は危機に瀕していない：物理学者が数十年前の重要な原理を実験的に確認 ScienceDaily (2010 年 7 月 23 日)