インフラストラクチャ（数論）

数学において、インフラストラクチャとは、大域フィールドに現れるグループのような構造のことです。

1972 年、D. Shanks は初めて実二次数体のインフラストラクチャを発見し、彼のベイビーステップ ジャイアントステップアルゴリズムを適用して、そのような体のレギュレータを二項演算で計算しました(すべての に対して)。ここで は二次数の判別式であり、以前の方法では二項演算が必要でした。^[1] 10 年後、HW Lenstra は「円群」の観点から実二次数体のインフラストラクチャを説明する数学的枠組みを発表しました^{[2] 。これは R. Schoof [3]}と HC Williams ^[4]によっても説明され、後に HC Williams、GW Dueck、BK Schmid によって単位階数1の特定の三次数体^{[5] [6]}に拡張され、J. Buchmann と HC Williams によって単位階数 1 のすべての数体に拡張されました^{[7] 。J. Buchmann は、}資格論文で、任意の単位階数の数体のレギュレータを計算するベイビーステップ ジャイアントステップ アルゴリズムを提示しました。^[8]任意の単位ランクの数体におけるインフラストラクチャの最初の記述は、2008年にR. Schoofによってアラケロフ因子を使用して行われました。 ^[9]${\displaystyle {\mathcal {O}}(D^{1/4+\varepsilon })}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D^{1/2+\varepsilon })}$

このインフラストラクチャは、他の大域体、すなわち有限体上の代数関数体に対しても記述された。これは、実超楕円関数体の場合に A. Stein と HG Zimmer によって最初に行われた。 ^{[10]これは、} Renate Scheidlerと A. Steinによって、単位階数 1 の特定の 3 次関数体に拡張された。^{[11] [12]} 1999 年に、S. Paulus と H.-G. Rück は、実 2 次関数体のインフラストラクチャを因子類群に関連付けた。^[13]この接続は、任意の関数体に一般化でき、R. Schoof の結果と組み合わせると、すべての大域体に一般化できる。^[14]

1次元（抽象）インフラストラクチャは、 実数、有限集合、および入射マップで構成されます。^[15]このマップは距離マップと呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle X\neq \emptyset }$${\displaystyle d:X\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle d}$

を円周として解釈し、と同一視することで、1 次元インフラストラクチャを、その上に有限の点の集合がある円として見ることができます 。${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d(X)}$

ベイビーステップは、1 次元インフラストラクチャ に対する単項演算 です。インフラストラクチャを円として視覚化すると、ベイビーステップでは、各点を次のインフラストラクチャ に割り当てます。正式には、実数に割り当てることでこれを定義できます。次に、 を定義できます。 ${\displaystyle bs:X\to X}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d(X)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f_{x}:=\inf\{f'>0\mid d(x)+f'\in d(X)\}}$${\displaystyle bs(x):=d^{-1}(d(x)+f_{x})}$

が自然にアーベル群 であることを観察すると、の和を考えることができます。一般に、これは の元ではありません。しかし、代わりに の近くにある の元を取ることができます。この概念を形式化するには、写像 があると仮定します。すると、 を定義して、巨大ステップ演算と呼ばれる二項演算を得ることができます。この演算は一般に結合的ではないことに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle d(x)+d(y)\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle d(X)}$${\displaystyle d(X)}$${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$${\displaystyle gs(x,y):=red(d(x)+d(y))}$ ${\displaystyle gs:X\times X\to X}$

主な難しさは、写像 をどのように選択するかである。条件 が成り立つようにしたいと仮定すると、さまざまな可能性が残る。可能な選択肢の 1 つ^[15]は、次のとおりである。 に対して、 を定義する。すると、 を定義できる。この選択は、いくぶん恣意的に見えるが、大域体からインフラストラクチャを取得しようとすると、自然に現れる。^[14]他の選択肢も可能であり、たとえば、が最小となるような元を選択する（ここで、は を表し、 はの形式である）。実二次超楕円関数体の場合の可能な構成の 1 つは、SD Galbraith、M. Harrison、および DJ Mireles Morales によって示されている。^[16]${\displaystyle 赤}$${\displaystyle red\circ d=\mathrm {id} _{X}}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{v}:=\inf\{f\geq 0\mid vf\in d(X)\}}$${\displaystyle red(v):=d^{-1}(v-f_{v})}$${\displaystyle x\in d(X)}$${\displaystyle |d(x)-v|}$${\displaystyle |d(x)-v|}$${\displaystyle \inf\{|fv|\mid f\in d(x)\}}$${\displaystyle d(x)}$${\displaystyle v+R\mathbb {Z} }$

D. シャンクスは、簡約された二項二次形式のサイクルを見ているときに、実二次数体のインフラストラクチャを観察しました。簡約された二項二次形式と連分数展開の間には密接な関係があることに注目してください。ある二次無理数の連分数展開の 1 ステップは、簡約された形式のセットに対する単項演算を与え、それは 1 つの同値類内のすべての簡約された形式を循環します。これらすべての簡約された形式をサイクルに配置すると、シャンクスは、そのような形式を 2 つ合成して結果を簡約することで、円の始まりからさらに離れた簡約された形式にすばやくジャンプできることに気付きました。彼は、簡約された形式のセットに対するこの二項演算を「ジャイアント ステップ」、サイクル内の次の簡約された形式に行く操作を「ベイビー ステップ」と呼びました。

集合には自然な群演算があり、巨大ステップ演算はそれを使って定義されます。したがって、インフラストラクチャの演算を の演算と比較するのは理にかなっています。 の群演算は、の要素を の要素と比較的小さな実数で表すことによって、巨大ステップとベイビーステップを使って記述できることがわかります。これは、実二次数体から得られるインフラストラクチャの場合、D. Hühnlein と S. Paulus ^[17]および MJ Jacobson, Jr.、R. Scheidler、HC Williams ^[18]によって最初に記述されました。彼らは浮動小数点数を使用して実数を表し、これらの表現をそれぞれ CRIAD 表現と-表現と呼びました。より一般的には、すべての 1 次元インフラストラクチャに対して同様の概念を定義できます。これらは -表現と呼ばれることもあります。^[15]${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (f,p)}$${\displaystyle f}$

-表現の集合は${\displaystyle f}$、写像が全単射であり、任意のに対してとなるようなのサブセットです。が縮小写像である場合、は -表現の集合です。逆に、 が-表現の集合である場合、 を設定することで縮小写像を得ることができます。ここでは$X$ への射影です。したがって、-表現の集合と縮小写像は1 対 1に対応します。 ${\displaystyle fRep}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} ,\;(x,f)\mapsto d(x)+f}$${\displaystyle (x,0)\in fRep}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$${\displaystyle fRep_{red}:=\{(x,f)\in X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \mid red(d(x)+f)=x\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle fRep}$${\displaystyle f}$${\displaystyle red(f)=\pi _{1}(\Psi _{fRep}^{-1}(f))}$${\displaystyle \pi _{1}:X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;(x,f)\mapsto x}$${\displaystyle f}$

一対一変換 を使用すると、 上の群演算を に引き渡すことができ、、によるアーベル群 に変換できます。場合によっては、この群演算はや を使用せずに明示的に記述できます。 ${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$${\displaystyle fRep}$${\displaystyle fRep}$${\displaystyle (fRep,+)}$${\displaystyle x+y:=\Psi _{fRep}^{-1}(\Psi _{fRep}(x)+\Psi _{fRep}(y))}$${\displaystyle x,y\in fRep}$${\displaystyle \Psi_{fRep}}$${\displaystyle d}$

簡約写像 を使用する場合、 が得られます。 が与えられた場合、およびを考えることができます。これは一般に の元にはなりませんが、次のように簡約することができます。 およびを計算します。後者が負でない場合は、を に置き換えて続行します。 値が負の場合、および が得られます。つまり です。 ${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;v\mapsto d^{-1}(v-\inf\{f\geq 0\mid vf\in d(X)\})}$${\displaystyle fRep_{red}=\{(x,f)\mid f\geq 0,\;\forall f'\in [0,f):d(x)+f'\not \in d(X)\}}$${\displaystyle (x,f),(x',f')\in fRep_{red}}$${\displaystyle (x'',f'')}$${\displaystyle x''=gs(x,x')}$${\displaystyle f''=f+f'+(d(x)+d(x')-d(gs(x,x')))\geq 0}$${\displaystyle fRep_{red}}$${\displaystyle bs^{-1}(x'')}$${\displaystyle f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x'')))}$${\displaystyle (x'',f'')}$${\displaystyle (bs^{-1}(x''),f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x''))))}$${\displaystyle (x'',f'')\in fRep_{red}}$${\displaystyle \Psi _{fRep_{red}}(x,f)+\Psi _{fRep_{red}}(x',f')=\Psi _{fRep_{red}}(x'',f'')}$${\displaystyle (x,f)+(x',f')=(x'',f'')}$