プレートの振動

板の振動は、より一般的な機械的振動の問題の特殊なケースです。板の運動を支配する方程式は、板の寸法の1つが他の2つよりもはるかに小さいため、一般的な3次元物体の方程式よりも単純です。これにより、2次元板理論は、板状物体の実際の3次元運動に優れた近似を与えることができます。^[1]

プレートの運動を説明するために開発された理論はいくつかある。最も一般的に使用されているのは、キルヒホッフ・ラブ理論^[2]とウフライアンド・ミンドリン理論^{[3] である。 [4]}後者の理論については、エリシャコフが詳細に論じている。^{[ 5]これらの理論によって予測される支配方程式の解は、}自由条件と強制条件の両方におけるプレート状物体の挙動についての洞察を与えることができる。これには、波の伝播と、プレート内の定在波と振動モードの研究が含まれる。プレートの振動のトピックは、Leissa、^{[6] [7]} Gontkevich、 [ ^8] Rao、^[9] Soedel、^[10] Yu、^[11] Gorman ^{[12] [13]}および Rao の書籍で扱われている。^[14]

キルヒホッフ・ラブ板の力学を支配する方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{aligned}}}$

ここで、はプレートの中央面の面内変位、はプレートの中央面の横方向（面外）変位、は（上向き）に適用される横方向荷重であり、合力とモーメントは次のように定義されます。 ${\displaystyle u_{\alpha}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{and}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.}$

板の厚さはであり、結果は面内応力の加重平均として定義されることに注意してください。支配方程式の導関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle 2h}$${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta}}$

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

ここで、ラテンインデックスは1から3まで、ギリシャインデックスは1から2までです。繰り返しインデックスの合計は暗黙的に計算されます。座標は平面外ですが、座標と座標は平面内です。厚さが均一で質量密度が均一な均一な板の場合${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle 2h}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2\rho h\quad {\text{and}}\quad J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.}$

等方性で均質な板の場合、応力-ひずみ関係は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

ここで、は面内ひずみ、は材料の ポアソン比です。キルヒホッフ・ラブ板のひずみ-変位関係は、${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}$

したがって、これらの応力に対応する合成モーメントは

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}$

面内変位を無視すると、支配方程式は次のように表される。 ${\displaystyle u_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,}$

ここで、板の曲げ剛性です。厚さが均一な板の場合、 ${\displaystyle D}$${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

上記の式は、別の表記法でも表すことができます。

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w-{\hat {q}}+\rho w_{tt}=0\,.}$

固体力学では、プレートは多くの場合、位置エネルギーが平面構成からどのように曲げられるかによって決まり、どのように伸ばされるかによって決まりません (ドラムヘッドなどの膜の場合はそうではありません)。このような状況では、振動するプレートは振動するドラムに類似した方法でモデル化できます。ただし、結果として得られるプレートの平衡位置からの垂直変位wの偏微分方程式は、 wのラプラシアンの 2 乗を含む2 次ではなく 4 次であり、その質的な動作は円形の膜ドラムとは根本的に異なります。

自由振動の場合、外力qはゼロであり、等方性板の支配方程式は次のように簡約される。

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h{\ddot {w}}}$

または

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w+\rho w_{tt}=0\,.}$

この関係は、プレートの曲率を考慮することによって別の方法で導くことができる。^[15] プレートの位置エネルギー密度は、プレートがどのように変形するかに依存し、プレートの平均曲率とガウス曲率も同様に依存する。小さな変形の場合、平均曲率は、プレートの運動平衡からの垂直変位w、wのラプラシアンΔwとして表され、ガウス曲率はモンジュ・アンペール演算子w _xx w _yy − wで表されます。 ^2xy
_​板の全位置エネルギーΩは、したがって次の式で表される。

${\displaystyle U=\int _{\Omega }[(\Delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy}$

全体的に重要でない正規化定数は別として、ここで μ は材料の特性に依存する定数です。

運動エネルギーは、次の形式の積分で与えられる。

${\displaystyle T={\frac {\rho }{2}}\int _{\Omega }w_{t}^{2}\,dx\,dy.}$

ハミルトンの原理は、 wが全エネルギーT + Uの変化に対して定常点であると主張する。結果として得られる偏微分方程式は

${\displaystyle \rho w_{tt}+\mu \Delta \Delta w=0.\,}$

自由に振動する円板の場合、円筒座標におけるラプラシアンは次の形式をとる。 ${\displaystyle w=w(r,t)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\,.}$

したがって、厚さのある円板の自由振動の支配方程式は ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left\{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\right\}\right]=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

拡大すると、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial r^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial ^{3}w}{\partial r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

この方程式を解くには、変数分離の考え方を使い、次のような解を仮定します。

${\displaystyle w(r,t)=W(r)F(t)\,.}$

この仮定の解を支配方程式に当てはめると、

${\displaystyle {\frac {1}{\beta W}}\left[{\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

ここでは定数、 である。右辺の方程式の解は ${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \beta :=2\rho h/D}$

${\displaystyle F(t)={\text{Re}}[Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}]\,.}$

左辺の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\lambda ^{4}W}$

ここで、この固有値問題の、板状に適した 一般解は次の式で表される。${\displaystyle \lambda ^{4}:=\beta \omega ^{2}}$

${\displaystyle W(r)=C_{1}J_{0}(\lambda r)+C_{2}I_{0}(\lambda r)}$

ここで は0次第 1 種ベッセル関数、は 0次第 1 種修正ベッセル関数です。定数と は境界条件から決定されます。半径 のプレートと固定された円周の場合、境界条件は次のようになります。 ${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle W(r)=0\quad {\text{and}}\quad {\cfrac {dW}{dr}}=0\quad {\text{at}}\quad r=a\,.}$

これらの境界条件から、

${\displaystyle J_{0}(\lambda a)I_{1}(\lambda a)+I_{0}(\lambda a)J_{1}(\lambda a)=0\,.}$

この方程式を解くと（根は無限にある）、モード周波数がわかる。変位は次の形式でも表せる。 ${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta }}}$

${\displaystyle w(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\left[J_{0}(\lambda _{n}r)-{\frac {J_{0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.}$

与えられた周波数に対して、上記の式の合計の最初の項はモード形状を与えます。フーリエ成分の直交性を利用して、適切な境界条件と係数を使用して初期条件から の値を見つけることができます。 ${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$

• 
  モードn = 1
• 
  モードn = 2

-平面に寸法があり、 -方向に厚さがある長方形の板を考えます。板の自由振動モードを見つけます。 ${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle 2h}$${\displaystyle x_{3}}$

次のような変位場を仮定する。

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=W(x_{1},x_{2})F(t)\,.}$

それから、

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}=\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]F(t)}$

そして

${\displaystyle {\ddot {w}}=W(x_{1},x_{2}){\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}\,.}$

これらを支配方程式に当てはめると、

${\displaystyle {\frac {D}{2\rho hW}}\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

ここで は定数です。なぜなら、左辺は から独立していますが、右辺は から独立しているからです。右辺から、 ${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

${\displaystyle F(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\,.}$

左側から、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h\omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W}$

どこ

${\displaystyle \lambda ^{2}=\omega {\sqrt {\frac {2\rho h}{D}}}\,.}$

上記の式は重調和固有値問題なので、次の形式のフーリエ展開解を求める。

${\displaystyle W_{mn}(x_{1},x_{2})=\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\,.}$

この解は、単純に支持されたエッジを持つ自由に振動する長方形板の境界条件を満たしていることがわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}w(x_{1},x_{2},t)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\quad {\text{and}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\\M_{22}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{aligned}}}$

この解を重調和方程式に代入すると、

${\displaystyle \lambda ^{2}=\pi ^{2}\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)\,.}$

の前の式と比較すると、無限の数の解が存在することがわかる。 ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle \omega _{mn}=\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.}$

したがって、プレート方程式の一般解は

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.}$

との値を見つけるには、初期条件とフーリエ成分の直交性を使用します。たとえば、 ${\displaystyle A_{mn}}$${\displaystyle B_{mn}}$

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},0)=\varphi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{1}\in [0,a]\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial w}{\partial t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\in [0,b]}$

私たちは、

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{mn}&={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\varphi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\,.\end{aligned}}}$

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