プロジェクト構築

代数幾何学において、Proj は、アフィンスキームの環のスペクトル構成に類似した構成であり、射影空間と射影多様体の典型的な特性を持つオブジェクトを生成します。この構成は、関数的ではありませんが、スキーム理論の基本的なツールです。

この記事では、すべての環は可換であり、単位元を持つものと仮定します。

を可換次数環とします。ここで は次数に関連付けられた直和分解です。の無関係なイデアルは、正の次数の元のイデアルです。イデアルは、同次元によって生成される場合、同次であるといいます。すると、集合として、簡潔にするためにをと書くことがあります。 ${\displaystyle S}$$${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ 同次素イデアル、}}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

閉集合を次の形式と定義することにより 、ザリスキ位相と呼ばれる位相を定義することができる。${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

ここで、 はの同次イデアルです。アフィン スキームの場合と同様に、 が上の位相の閉集合を形成することはすぐに検証されます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V(a)}$${\displaystyle X}$

実際、がイデアルの族であれば、となり、添字集合Iが有限であれば、となる。${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

同様に、開集合を出発点として定義することもできる。

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

一般的な省略形は と表記することです。ここで はによって生成されたイデアルです。任意のイデアル に対して、集合とは相補的であるため、前と同じ証明により、集合 が上の位相を形成することが示されます。このアプローチの利点は、集合 （は環 のすべての同次要素にわたる）がこの位相の基底を形成することです。この基底は の解析に不可欠なツールであり、環のスペクトルに対する類似の事実が同様に不可欠であるのと同じです。 ${\displaystyle D(Sf)}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle Sf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle V(a)}$${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

また、上に層を構築します。これは、アフィンの場合と同様に「構造層」と呼ばれ、スキーム になります。スペック構築の場合と同様に、進める方法は多数あります。最も直接的な方法は、古典的な代数幾何学の射影多様体上の正則関数の構築を強く示唆するもので、次のとおりです。 の任意の開集合（定義により を含まないの同次素イ​​デアルの集合）に対して、環をすべての関数の集合として 定義します。${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{+}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

（ここで は同じ次数の同次元の分数からなる分数環の部分環を表す）の各素イデアルに対して、 ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle S_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle f(p)}$は の要素です。${\displaystyle S_{(p)}}$
2. の同じ次数のと 同次元を含む開部分集合が存在し、の各素イデアルに対して次の条件が満たされます。 ${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$
   • ${\displaystyle t}$は存在しません。${\displaystyle q}$
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

定義から直ちに、 は上の環の層を形成し、ペア ( 、) は実際にはスキームであることが示されます (これは、各開部分集合が実際にはアフィン スキームであることを示すことによって達成されます)。 ${\displaystyle O_{X}(U)}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle D(f)}$

上記の構成におけるの本質的な性質は、の各素イデアルに対して局所化を形成できることであった。 この性質は上の任意の次数付き加群にも備わっているため、前の節では適切な小さな修正を加えることで、 上の-加群の任意のそのような層（ と表記） を構成する。この層は構成により準コヒーレントである。 が次数の有限個の元（例えば、多項式環またはその同次商）によって生成される場合、 上のすべての準コヒーレント層はこの構成により次数付き加群から生じる。^[1]対応する次数付き加群は一意ではない。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{(p)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

次数付きモジュールに関連付けられた層の特殊なケースは、異なる次数で を 自身とするときです。つまり、 の次数元をの次数元とすると、および は を表します。すると、上の準コヒーレント層としてまたは単に と表され、セールのねじれ層と呼ばれる が得られます。 は実際に可逆層であることが確認できます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (d+1)}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$${\displaystyle M=S(1)}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle O_{X}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

の有用性の理由の1つは、の構築時に0次の分数に渡したときに失われたの代数情報を回復することである。環Aの Spec Aの場合、構造層の大域セクションはA自体を形成するが、ここでは の大域セクションはの0次の要素のみを形成する。定義すると ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

すると、それぞれはについての次数情報（ と表記）を含み、これらを合わせると失われたすべての次数情報を含む。同様に、次数付き- 加群の任意の層に対して定義する。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

そして、この「ねじれた」層には についての次数情報が含まれることが期待されます。特に、が次数付き- 加群に関連付けられた層である場合、 についての失われた次数情報も含まれることが期待されます。これは、誤ってはありますが、 が実際にこれらの層から再構築できることを示唆しています。ただし、これは、 が多項式環である場合（以下）に当てはまります。この状況は、スペック関数が局所環空間のカテゴリで大域セクション関数に随伴するという事実と対照的です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}$$${\displaystyle S}$

が環であるとき、上の射影n空間を次の式で定義する。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

多項式環の次数は、各 が次数 1 で、 のすべての要素が次数 0 であると定義されます。これを上記の の定義と比較すると、 のセクションは実際には 自身によって生成された線型同次多項式であることがわかります。これは の別の解釈、つまり の「座標」の層としての解釈を示唆しています。 は文字通り射影 -空間の座標だからです。 ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n}$

基本環を とすると、 は、曲線が節曲線に退化する点を除いて、ファイバーが楕円曲線であるアフィン直線への標準射影写像を持ちます。したがって、スキームの滑らかな写像でもあるファイバー化が存在します (これは、ヤコビアン基準を使って確認できます)。 ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$${\displaystyle \lambda =0,1}$$${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$

射影超曲面は、 カラビ・ヤウ多様体でもあるフェルマーの五次三次多様体の一例です。射影超曲面に加えて、 -変数の同次多項式系によって切り出された任意の射影多様体は、次数代数の proj 構成を使用して射影スキームに変換でき、射影多様体の射影スキームへの埋め込みが可能になります。 ${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$${\displaystyle (n+1)}$$${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$

重み付き射影空間は、変数が非標準次数である多項式環を使用して構築できます。たとえば、重み付き射影空間は、重みがで重みが2 の環を取ることに相当します。 ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} }$${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$${\displaystyle X_{0},X_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{2}}$

proj 構成は、二階格環と多階格環に拡張されます。幾何学的には、これは射影スキームの積を取ることに相当します。たとえば、各生成子の次数が である階格環が与えられます。次に、 上のこれらの代数のテンソル積は、が重みを持ち、 が重みを持つ二階格代数を与えます。次に、proj 構成は を与え、これは射影スキームの積です。次数元が次数元とみなされる全階格代数を取ることにより、このようなスキームを射影空間に埋め込むことができます。これは、 の- 番目の階格部分がモジュールであることを意味します。さらに、このスキームには、層のテンソル積である二階格層が付属するようになりました。ここで、およびは、可換代数のテンソル積図からのこれらの代数の注入から得られる標準的な射影です。 $${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle (0,1)}$$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$$${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a+b)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S_{\bullet }}$$${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$$${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$$${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$

Proj 構成の一般化では、環S を代数の層に置き換え、結果として、環の Proj のファイバ化と考えられるスキームを生成します。この構成は、たとえば、基本スキーム上の射影空間バンドルを構成するためによく使用されます。

形式的には、Xを任意のスキームとし、Sを次数付き -代数の層（その定義は局所環空間上の-加群の定義に似ている）とする。つまり、直和分解 ${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle O_{X}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

ここで、それぞれは-加群であり、 Xの任意の開集合Uに対して、S ( U ) は-代数であり、その結果得られる直和分解 ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

は、この代数を環として次数付けしたものです。ここでは、 と仮定します。さらに、 S は準連接層であるという仮定も立てます。これは、構築を進めるために必要な、異なる開集合上の切断に関する「一貫性」の仮定です。 ${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$

この設定では、X上の任意の開アフィンUに対して、 ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

この定義は、まず各開アフィンUに対してスキームを定義し、次のように設定すること で構築することを示唆している。${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

および をマップし、これらのデータが 2 つの開いたアフィンUとVの各交差点「にわたって」一緒に貼り付けられ、スキームYを形成できることを示します。このスキーム Y を と定義します。それぞれを、 を0 次元の要素としてS ( U )に含めることに対応するマップとして定義すると、 の必要な一貫性が得られ、 自体の一貫性はS上の準コヒーレンス仮定から得られることを示すのは難しくありません。 ${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle Y_{U}}$

S が、連結層であり、上で局所的に S を生成する（つまり、Xの点xにおける層Sの茎（これは次数 0 の要素が環を形成する次数付き代数である）に移ると、次数 1 の要素が 上で有限生成モジュールを形成し、その上の代数として茎も生成する）という追加の特性を持つ場合、さらに構成することができます。各開アフィンU上で、 Proj S ( U ) は可逆な層O(1)を持ち、先ほど行った仮定により、これらの層は上記と同様に接着できることが保証されます。 上の結果として得られる層もO (1)と表記され、に対して、環の Proj 上のねじれ層と ほぼ同じ目的を果たします。${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle O_{X,x}}$${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

をスキーム 上の準連接層とします。対称代数の層は、当然、次数 1 の元によって生成される次数付き- 加群の準連接層です。結果として得られるスキームは と表記されます。 が有限型の場合、その標準射は射影射です。^[2]${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

任意の に対して、 上の上記の射影のファイバーは上のベクトル空間の双対に関連付けられた射影空間です。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$${\displaystyle k(x)}$

が および によって生成される、が有限型であるような次数付き -加群の準連接層である場合、 はの閉じた部分スキームであり、 は 上に射影的である。実際、射影の閉じた部分スキームはすべてこの形式である。^[3]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

特別な場合として、 が局所的に階数から自由である場合、相対次元上の射影バンドルが得られます。実際、 Xの開アフィンによる開被覆をとり、これらのそれぞれに制限される場合、がA上で自由である場合、 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

したがって、は射影空間バンドルです。楕円曲線のワイエルシュトラス族など、多くの多様体の族は、これらの射影バンドルのサブスキームとして構成できます。詳細については、メインの記事を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

大域投影は、レフシェッツ ペンシルの構築に使用できます。たとえば、次数 k の同次多項式とします。の理想層を考え、この代数 の商層の大域投影を構築できます。これは、射影写像 として明示的に記述できます。 ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$

• 射影空間
• 射影空間の代数幾何学
• 投影化

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的計算手法: II. 射影クラスの世界的手法の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。８．土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157