アルゼラ・アスコリ定理

アルツェラ・アスコリの定理は、閉じた有界区間上で定義された実数値連続関数の族のすべての列が一様収束する部分列を持つかどうかを決定するための必要十分条件を与える数学的解析の基本的な結果である。主な条件は、関数の族の等連続性である。この定理は、常微分方程式の理論におけるペアノの存在定理、複素解析におけるモンテルの定理、調和解析におけるピーター・ワイルの定理、積分演算子のコンパクト性に関するさまざまな結果など、数学における多くの証明の基礎となっている。

等連続性の概念は、19 世紀後半にイタリアの数学者チェーザレ・アルツェラとジュリオ・アスコリによって導入されました。定理の弱い形式は、コンパクト性のための十分条件を確立したアスコリ (1883–1884) と、必要条件を確立し、結果を初めて明確に提示したアルツェラ (1895) によって証明されました。定理のさらなる一般化は、定義域がコンパクト距離 空間である実数値連続関数の集合に対してフレシェ (1906) によって証明されました(Dunford & Schwartz 1958、p. 382)。定理の現代的な定式化では、定義域がコンパクトなハウスドルフであり、値域が任意の距離空間であることが許容されています。定理のより一般的な定式化が存在し、コンパクト開位相でコンパクトに生成されたハウスドルフ空間から一様空間への関数の族がコンパクトであるための必要十分条件を与えます。 Kelley（1991、234ページ）を参照。

定義によれば、区間I = [ a , b ]上の連続関数の列は、次の数Mが存在するとき一様有界となる。 ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$

${\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leq M}$

シーケンスに属するすべての関数f _nとすべてのx ∈ [ a , b ]に対して。（ここで、M はnとx から独立している必要があります。）   

任意のε > 0に対してδ > 0が 存在し、

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }$

シーケンス内のすべての関数f _nについて| x − y | < δ が 成り立つ場合。(ここで、 δ はεに依存する可能性がありますが、x、y 、またはnには依存しません。)   

定理の 1 つのバージョンは次のように述べることができます。

実数値連続関数の列{  f _n  } _{n ∈ N}を、実数直線上の閉じた有界区間[ a , b ]上で定義する。この列が一様有界かつ一様等連続である場合、一様収束する部分列{  f _{n k}  } _{k ∈ N}が存在する。

逆もまた真であり、 {  f _n  }自体のすべての部分列が一様収束する部分列を持つ場合、{  f _n  } は一様有界かつ等連続であるという意味です。

定理の仮定は、一様有界な導関数を持つ一様有界な微分可能関数の列{  f _n  }によって満たされる。実際、導関数の一様有界性は平均値定理によって、すべてのxとyに対して、

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|xy|,}$

ここでK は数列の関数の導関数の最大値であり、 nに依存しません。したがって、ε > 0の場合、δ = ⁠ε/2K​⁠シーケンスの等連続性の定義を検証します。これにより、次の系が証明されます。

• { f _n } を[ a , b ]上の実数値微分可能関数の一様有界列とし、導関数{ f _n ′}が一様有界であるとする。すると、 [ a , b ]上で一様収束する部分列{ f _{n k} }が存在する。

さらに、2 次導関数のシーケンスも一様有界である場合、導関数も一様収束します (部分シーケンスまで)。以下同様に続きます。連続微分可能関数についても、別の一般化が当てはまります。関数f _nが導関数f _n ′で連続微分可能であるとします。f _n ′ が一様等連続かつ一様有界であり、シーケンス{  f _n  } が点ごとに有界である (または単一の点でのみ有界である) とします。すると、連続微分可能関数に一様収束する{  f _n  }の部分シーケンスが存在します。   

対角化の議論は、各次数の導関数が一様有界である無限微分可能関数の族には、すべての導関数も一様収束する一様収束部分列があることを示すためにも使用できます。これは、超関数の理論において特に重要です。

上記の議論は、もう少し具体的には

• {  f _n  } が[ a , b ]上の実数値関数の一様有界列であり、各f _nが同じリプシッツ定数Kでリプシッツ連続である場合:

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|xy|}$

すべてのx、y ∈ [ a、b ]およびすべてのf _nに対して、 [ a、b ]に一様収束する部分列が存在する。  

極限関数もリプシッツ連続であり、リプシッツ定数 Kの値も同じである。少し改良すると、

• [ a , b ]上の関数 f の集合Fは一様有界であり、定数M を固定して次数α , 0 < α ≤ 1の ホルダー条件を満たす。  

${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|xy|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]}$

はC([ a , b ])において比較的コンパクトです。特に、ホルダー空間 C ^{0, α} ([ a , b ])の単位球はC([ a , b ])においてコンパクトです。

これは、より一般的には、 X上の計量に関してホルダー条件を満たすコンパクト計量空間X上のスカラー関数に対して当てはまります。

より一般的には、関数f _{n が}d次元ユークリッド空間R ^dで値を取る場合に Arzelà–Ascoli 定理が成り立ち、その証明は非常に簡単です。R 値バージョンの Arzelà–Ascoli 定理を d 回適用して、最初の座標で一様収束する部分列を抽出し、次に最初の 2 つの座標で一様収束する部分部分列を抽出し、これを繰り返していくだけです。上記の例は、ユークリッド空間に値を持つ関数の場合に簡単に一般化できます。   

有界性と等連続性の定義は、任意のコンパクト距離空間、さらに一般的にはコンパクト ハウスドルフ空間の設定に一般化できる。Xをコンパクトハウスドルフ空間とし、C ( X ) をX上の実数値連続関数の空間とする。部分集合F ⊂ C ( X )が等連続であるとは、任意のx  ∈ Xおよび任意のε > 0に対して、x が近傍U _{x を}持ち、

${\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon .}$

集合F ⊂ C ( X , R )が点ごとに有界であるとは、任意のx  ∈ Xに対して、

${\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .}$

この定理のバージョンは、コンパクトなハウスドルフ空間X上の実数値連続関数の空間C ( X )でも成り立つ（Dunford & Schwartz 1958、§IV.6.7）。

X をコンパクトなハウスドルフ空間とする。このとき、 C ( X )の部分集合Fが一様ノルムによって誘導される位相において相対コンパクトであるためには、それが等連続かつ点ごとに有界である必要があります。

したがって、アルツェラ・アスコリ定理は、コンパクトなハウスドルフ空間上の連続関数の代数の研究における基本的な結果です。

上記の結果にはさまざまな一般化が可能である。例えば、関数は、ステートメントに最小限の変更を加えるだけで、距離空間または（ハウスドルフ）位相ベクトル空間内の値を想定することができる（例えば、Kelley & Namioka（1982、§8）、Kelley（1991、第7章）を参照）。

X をコンパクト ハウスドルフ空間、Y を距離空間とします。このとき、F ⊂ C ( X , Y )がコンパクト開位相においてコンパクトであるためには、それが等連続で、点ごとに相対的にコンパクトで、閉じている必要があります。

ここで、点ごとに相対的にコンパクトとは、各x  ∈  Xに対して、集合F _x = {  f  ( x ) :   f   ∈ F }がYにおいて相対的にコンパクトであることを意味します。

Yが完備な場合、上記の証明は、領域の分離可能性に依存しない方法で一般化できます。たとえば、コンパクトなハウスドルフ空間 Xでは、等連続性を使用して、各 ε = 1/ nに対して、ファミリ内の任意の関数の振動が被覆内の各開集合上で ε 未満になるようなXの有限開被覆を抽出します。有理数の役割は、このようにして得られた可算多数の被覆のそれぞれにおける各開集合から抽出された点の集合によって果たされ、証明の主要部分は上記とまったく同じように進行します。同様の議論は、Yの完備性を仮定しない一般バージョンの証明の一部として使用されます。

アルゼラ-アスコリ定理は、 がコンパクトでない関数 に一般化されます。特に重要なのは、 が位相ベクトル空間 である場合です。が位相空間 でが一様空間(任意の距離空間や任意の位相群など、距離化可能かどうかは関係ありません)である場合、関数の集合 上にコンパクト収束の位相が存在することを思い出してください。これは、関数のシーケンス (またはより一般的には フィルタまたはネット) が の各コンパクト部分集合 上で一様収束する場合に限り収束するように設定されます。を、コンパクト収束の位相を備えた、連続関数からなるの部分空間と します。このとき、アルゼラ-アスコリ定理の 1 つの形式は次のようになります。 ${\displaystyle X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$${\displaystyle X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$

が位相空間、ハウスドルフ一様空間、および各 に対して がにおいて相対的にコンパクトとなるような連続関数の等連続集合であるとします。すると はにおいて相対的にコンパクトになります。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$${\displaystyle \{h(x):h\in H\}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$

この定理は、がコンパクトで の一様構造が計量によって与えられる場合に、上記のより特殊なステートメントを直ちに与えます。 上のプレコンパクト収束の位相やその他関連する位相 の観点から、いくつかの他のバリエーションがあります。 のコンパクト部分集合による被覆の集合に制限される場合にのみ連続となる関数にステートメントを拡張することもできます。詳細については、Bourbaki (1998)、第 10 章、§ 2、nr 5 を参照してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$${\displaystyle X}$

放物型方程式の数値解法は、通常、区分的に一定であり、したがって時間的に連続的ではありません。それでも、時間ステップが に近づくにつれて、そのジャンプは小さくなる傾向があるため、古典的な Arzelà–Ascoli 定理の非連続関数への一般化を使用して、時間的に均一な収束特性を確立することができます (例: Droniou & Eymard (2016、付録を参照))。 ${\displaystyle 0}$

からへの関数の空間を一様計量で 表す。${\displaystyle S(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).}$

次に、次のようになります。

をコンパクト距離空間と完全な距離空間とする。を関数と次を満たす 数列が存在する数列とする。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle S(X,Y)}$${\displaystyle \omega :X\times X\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,}$

${\displaystyle \forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.}$

また、すべての に対して、はにおいて相対的にコンパクトであると仮定します。すると はにおいて相対的にコンパクトとなり、この空間における の任意の極限は に含まれます。${\displaystyle t\in X}$${\displaystyle \{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle S(X,Y)}$${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle C(X,Y)}$

アルツェラ・アスコリ定理のほとんどの定式化では、関数族が何らかの位相で（相対的に）コンパクトになるための十分条件を主張しているが、これらの条件は通常は必要でもある。例えば、集合Fが、その一様ノルムに関してコンパクトなハウスドルフ空間上の実数値連続関数のバナッハ空間であるC ( X )内でコンパクトである場合、それはC ( X ) 上の一様ノルム内で有界であり、特に点ごとに有界である。開部分集合U ⊂ X上の振動がε未満であるF内のすべての関数の集合をN ( ε , U ) とする。

${\displaystyle N(\varepsilon ,U)=\{f\mid \operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.}$

固定されたx ∈ Xおよびεに対して、集合N ( ε , U ) は、 U がxのすべての開近傍にわたって変化するとき、Fの開被覆を形成します。有限部分被覆を選択すると、等連続性が得られます。

• 1 < p ≤ ∞で[0, 1]上でp積分可能なすべての関数gに対して、 [0, 1]上で定義された関数G を関連付けます。

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

F を空間L ^p ([0, 1])の単位球における関数gに対応する関数Gの集合とする。qがpのホルダー共役で、次のように定義されるとき、 ⁠1/p⁠ + ⁠1/q⁠ = 1の場合、ヘルダーの不等式は、 Fのすべての関数がα = ⁠のヘルダー条件を満たすこと1/q⁠そして定数M = 1。

したがって、F はC ([0, 1])においてコンパクトである。これは、対応g → G がバナッハ空間L ^p ([0, 1])とC ([0, 1])の間のコンパクトな 線型演算子 T を定義することを意味する。C ([0, 1])のL ^p ([0, 1])への注入と合成すると、TがL ^p ([0, 1])からそれ自身にコンパクトに作用することがわかる。p = 2の場合は、ソボレフ空間からL ² (Ω)への注入 ( ΩはR ^dの有界開集合) がコンパクトであるという事実の単純な例として見ることができる。 ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

• T がバナッハ空間Xからバナッハ空間Yへのコンパクト線型作用素である場合、その転置 T ^{∗ は}（連続）双対 Y ^∗からX ^∗へのコンパクトです。これはアルツェラ・アスコリの定理によって確認できます。

実際、 Xの閉じた単位球Bの像T ( B )は、 Yのコンパクトな部分集合Kに含まれています。 Y ^∗の単位球B ^∗は、 YからKへの制限によって、 K上の（線型）連続関数の集合F を定義します。この集合は有界かつ等連続です。 Arzelà–Ascoli によれば、任意のシーケンス{ y^∗
_n}、B ^∗にはKに一様収束する部分列があり、これはその部分列の像がX ^∗のコーシー像であることを意味します。${\displaystyle T^{*}(y_{n_{k}}^{*})}$

• fが開円板D ₁ = B ( z ₀ , r )上で正則であり、係数がMで制限される場合、（たとえばコーシーの公式により）その導関数f  ′ の係数は⁠で制限されます。   2百万/r⁠小さい方の円板D ₂ = B ( z ₀ , ⁠r/2⁠）。D 1_上の正則関数の族がD ₁上のMによって制限される、 D ₂への制限の族F はD ₂上で等連続であることがわかります。したがって、 D ₂上で一様に収束するシーケンスを抽出できます。これは、モンテルの定理の方向への第一歩です 。
• に一様計量 が与えられているとします。 が特定の偏微分方程式(PDE)の解の列であると仮定します。ここで、PDE は、次の事前推定を保証します。 はすべての に対して等連続であり、 はすべての に対して等密であり、とすべてのに対して、が十分に小さいとき は十分に小さいです。すると、フレシェ–コルモゴロフの定理により、はにおいて相対的にコンパクトであると結論付けることができます。したがって、(一般化された) アルゼラ–アスコリの定理 により、 は において相対的にコンパクトであると結論付けることができます。${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.}$${\displaystyle u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (t,t')\in [0,T]\times [0,T]}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}$${\displaystyle |t-t'|}$${\displaystyle \{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$${\displaystyle \{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).}$

• ヘリーの選択定理
• フレシェ・コルモゴロフの定理

• アルゼラ、チェーザレ(1895)、「Sulle funzioni di linee」、Mem。アッカド。科学。イスト。ボローニャ Cl.科学。 Fis.マット。、5 (5):55-74。
• アルゼラ、チェーザレ(1882–1883)、「Un'osservazione intorno alle serie di funzioni」、Rend。デル・アカド。 R. デッレ Sci.ボローニャの研究所: 142–159。
• Ascoli, G. (1883–1884)、「曲線の限界データ」、Atti della R. Accad.デイ リンセイ メモリー デッラ Cl.科学。 Fis.マット。ナット。、18 (3): 521–586。
• ブルバキ、ニコラス（1998）、一般位相幾何学、第5章から第10章、数学の要素、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-64563-4、MR  1726872。
• ジャン・デュドネ(1988)、『現代分析の基礎』、アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-215507-9
• Droniou, Jérôme; Eymard, Robert (2016)、「非線形退化放物型方程式の数値法の時間一様収束」、Numer. Math.、132 (4): 721–766、arXiv : 2003.09067、doi :10.1007/s00211-015-0733-6、S2CID  5287603。
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ T. (1958)、線形演算子、第 1 巻、ワイリー インターサイエンス。
• Fréchet、Maurice (1906)、「Sur quelques point du calcul fonctionnel」、Rend。円マット。パレルモ、22 : 1–74、doi :10.1007/BF03018603、hdl :10338.dmlcz/100655、S2CID  123251660。
• 数学百科事典のアルゼラ・アスコリ定理
• ケリー、JL（1991）、一般位相幾何学、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90125-1
• ケリー、JL;ナミオカ、I. (1982)、線形位相空間、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90169-5
• ルディン、ウォルター（1976）、数学的解析の原理、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-054235-8

この記事には、 PlanetMathの Ascoli–Arzelà 定理の資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。