異常一致条件

量子場の理論 において、ジェラルド・トホーフトによる異常整合条件^[1]は、フレーバー対称性のあらゆるカイラル異常の計算が、あるエネルギースケールでの理論の自由度を使用して行われる場合、計算に選択されたスケールに依存してはならないことを述べています。これは、トホーフト条件やトホーフトUV-IR異常整合条件としても知られています。^[a]

量子場理論を定式化する上で、密接に関連しているが異なる種類の障害が 2 つあります。これらは両方とも異常と呼ばれます。カイラル異常、またはアドラー・ベル・ジャッキウ異常と ' t Hooft 異常です。

理論の対称性が「トフーフト異常」を持つと言う場合、それは対称性が量子理論のグローバル対称性としては正確であるが、それを理論のゲージとして使用することには何らかの障害があることを意味します。^[2]

トホーフト異常の例として、質量のないフェルミオンを持つ量子色力学を考えます。これは質量のないディラックフェルミオンを持つゲージ理論です。この理論は、フレーバー対称性と呼ばれることが多いグローバル対称性を持ち、トホーフト異常を持ちます。 ${\displaystyle N_{f}}$${\displaystyle SU(N_{c})}$${\displaystyle N_{f}}$${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

G. 't Hooft による異常マッチング条件は、連続対称性の 't Hooft 異常が高エネルギー自由度と低エネルギー自由度（「UV」と「IR」^[a]）の両方で計算され、同じ答えが得られることを提案しています。

例えば、質量ゼロのクォークN _{f 個}を持つ量子色力学を考えてみましょう。この理論はフレーバー対称性^[b]を持ちます。このフレーバー対称性は、背景ゲージ場が導入されると異常になります。異常を計算するには、遠低エネルギー極限 (遠「IR」^{[a] ) での}自由度、または遠高エネルギー極限 (遠「UV」^[a] ) での自由度のどちらかを使用できます。前者の場合、質量ゼロのフェルミオンまたは複合粒子である可能性のある南部-ゴールドストーン ボソンのみを考慮する必要がありますが、後者の場合、基礎となる短距離理論の基本フェルミオンのみを考慮する必要があります。どちらの場合も、答えは同じである必要があります。実際、 QCDの場合、カイラル対称性の破れが発生し、南部-ゴールドストーン ボソンの Wess-Zumino-Witten 項が異常を再現します。^[3]${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

この条件は次の手順で証明できる。^[1]この対称性に関連する電流に結合するゲージ場と、このゲージ場にのみ結合するカイラルフェルミオンを理論に追加して、異常性をキャンセルする（その結果、一貫性を保つために必要なように、ゲージ対称性は異常ではないままになる）。

追加した結合定数がゼロになる限界では、元の理論に戻り、追加したフェルミオンも加わります。フェルミオンはこの限界では自由フェルミオンであるため、どのエネルギー スケールでも自由度は良好です。ゲージ対称性の異常はどのエネルギー スケールでも計算でき、常にゼロでなければならないため、理論は一貫しています。元の理論の対称性の異常は、追加した自由フェルミオンを減算することで得られ、結果はエネルギー スケールに依存しません。

連続対称性に対する異常一致を証明する別の方法は、異常流入メカニズムを使用することです。^[4]具体的には、以下では4次元時空を考えます。

大域連続対称性 に対して、背景ゲージ場 を導入し、有効作用 を計算します。 に対して 't Hooft 異常がある場合、有効作用 は背景ゲージ場上のゲージ変換に対して不変ではなく、 の 4 次元局所カウンター項を追加しても復元できません。Wess –Zumino 整合性条件^{[5] は、 5 次元の}Chern–Simons 作用を追加することでゲージ不変にできることを示してます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma [A]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma [A]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

余分な次元があれば、質量のある場を積分して質量のない自由度のみを含む低エネルギー有効理論を使用して有効作用を定義できます。同じ 5 次元のチャーン-サイモンズ項を追加することで再びゲージ不変になる必要があるため、質量のある自由度を積分しても 't Hooft 異常は変化しません。 ${\displaystyle \Gamma [A]}$

• トホーフト・ポリャコフ単極子
• 't Hooft ループ
• 't Hooft シンボル