社交的な番号

数学において、社交数とは、その約数の和が周期的な数列を形成する数である。これらは完全数と友愛数の概念を一般化したものである。最初の 2 つの社交数列、または社交連鎖は、1918 年にベルギーの 数学者 ポール・プーレによって発見され、命名された^{。[1]社交数列では、各数は前の数の}真約数の合計であり、つまり、合計には前の数自体が含まれない。数列が社交的であるためには、数列は循環的で、開始点に戻る必要がある。

一連の数字の周期、つまり順序​​は、このサイクル内の数字の数 です。

周期が 1 の場合、その数は 1 次数の親和数、つまり完全数です。たとえば、 6 の真約数は 1、2、3 で、その合計はやはり 6 です。親和数のペアは 2 次数の親和数の集合です。3 次数の親和数は知られておらず、 1970 年現在までその探索が行われています。 ^[2]${\displaystyle 5\times 10^{7}}$

すべての数が最終的に可算数または素数(つまり 1) になるかどうか、あるいは同様に、因数列が決して終了せず、したがって無限に増加する数が存在するかどうかは未解決の問題です。

たとえば、1,264,460 という数字は、周期的な因数列の周期が 4 である社交的な数字です。

（） の真約数の和は${\displaystyle 1264460}$${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860、

（） の真約数の和は${\displaystyle 1547860}$${\displaystyle =2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401}$

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636、

（） の真約数の和は${\displaystyle 1727636}$${\displaystyle =2^{2}\cdot 521\cdot 829}$

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184、そして

（） の真約数の和は${\displaystyle 1305184}$${\displaystyle =2^{5}\cdot 40787}$

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460。

以下は、2024 年 10 月時点で知られているすべての社交的な数字を、^{[アップデート]}対応するアリコート シーケンスの長さによって分類したものです。

n が4 を法として 3 と合同である場合、長さがnであるようなシーケンスは存在しないと推測されます。

5サイクルのシーケンスは、12496、14288、15472、14536、14264です。

唯一知られている 28 サイクルは、14316、19116、31704、47616、83328、177792、295488、629072、589786、294896、358336、418904、366556、274924、275444、243760、376736、381028、285778、152990、122410、97946、48976、45946、22976、22744、19916、17716 (OEIS のシーケンスA072890 )です。

これら 2 つの数列は、100 万未満の唯一の社交的な数 (完全数と友好的な数を除く) を提供します。

因数列は、与えられた整数 に対して、有向グラフとして表すことができます。ここで、はの真約数の合計を表します。^[5]内のサイクルは、区間 内の社交的な数を表します。2つの特別なケースとして、完全数を表すループと、友好的なペアを表す長さ 2 のサイクルがあります。 ${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s(k)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle [1,n]}$

長さが 2 を超える社交数サイクルの数が無限大に近づくにつれて、10 で割り切れる社交数サイクルの合計の割合が 1 に近づくと推測されます ( OEISのシーケンスA292217 )。

• H. コーエン「友好数と社交数について」、 Math. Comp. 24 (1970)、pp. 423–429

• 社交的な人として知られている番号のリスト
• 完全数、友好数、社交数の広範な表
• Weisstein、Eric W.「Sociable numbers」。MathWorld。
• OEISの A003416 (各サイクルの最小の社交的な数字) と A122726 (すべての社交的な数字)