ABC予想

abc予想（オステルレ・マッサー予想とも呼ばれる）は、1985年にジョセフ・オステルレとデイビッド・マッサーの議論から生まれた数論の予想である。^{[ 1 ] [ 2 ]}これは3つの正の整数を用いて述べられている。${\displaystyle a,b}$そして${\displaystyle c}$（そのためこの名前が付けられている）相対的に素数であり、${\displaystyle a+b=c}$この予想は基本的に、異なる素因数の積が${\displaystyle abc}$多くの場合、それほど小さくはなれない${\displaystyle c}$数論における数々の有名な予想や定理は、abc予想またはその変形から直ちに導かれるだろう。数学者のドリアン・ゴールドフェルドはabc予想を「ディオファントス解析における最も重要な未解決問題」と評した。^{[ 3 ]}

abc予想は、オステルレとマッサーが楕円曲線に関するスピロ予想を理解しようとした試みの結果として生まれたものであり、^{[ 4 ]}スピロ予想はabc予想よりも多くの幾何学的構造を含んでいます。abc予想は修正されたスピロ予想と同等であることが示されました。^{[ 1 ]}

abc予想を証明するための様々な試みがなされてきたが、いずれも広く受け入れられてはいない。望月慎一は2012年に証明を得たと主張したが、この予想は主流の数学界では未証明とみなされている。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

予想を述べる前に、 整数の根号の概念を導入する必要がある。正の整数に対して、${\displaystyle n}$の根号${\displaystyle n}$、と表記される$\displaystyle {\text{rad}}(n)}$は、の異なる素因数の積です。${\displaystyle n}$。 例えば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{rad}}(16)&={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2,\\{\text{rad}}(17)&=17,\\{\text{rad}}(18)&={\text{rad}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6,\\{\text{rad}}(1000000)&={\text{rad}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10.\end{aligned}}}$$

a、b、cが互いに素な^正の整数で、^{a +} b = cである場合、通常は${\displaystyle c<{\text{rad}}(abc)}$abc予想は例外に関するものです。具体的には、次のように述べられています。

任意の正の実数εに対して、 a + b = cとなる互いに素な正の整数の三つ組 ( a , b , c ) は有限個しか存在せず、 ^{[ 9 ]}

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

同等の表現は次のとおりである。

任意の正の実数εに対して、互いに素な正の整数の三つ組 ( a , b , c ) に対してa + b = cとなる定数K _εが存在する。^{[ 9 ]}

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

同等に（小文字のo表記を使用）：

この予想の4番目の同等な定式化は、3つ組( a , b , c )の品質q ( a , b , c )に関するもので、これは次のように定義されます。

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.}$

例えば：

a + b = cを満たす互いに素な正の整数の典型的な三つ組 ( a , b , c ) は、 c < rad( abc )、すなわちq ( a , b , c ) < 1となります。2 番目の例のようにq > 1となる三つ組はかなり特殊で、小さな素数の高次のべき乗で割り切れる数で構成されます。4 番目の定式化は次のとおりです。

互いに素な正の整数 ( a , b , c ) で a + b = c を満たすものは無限に存在することが知られているが、この予想では、q > 1.01 または q > 1.001 または q > 1.0001 などを満たすものは有限個しかないと予測している。特に、この予想が正しい場合、最大品質q ( a , b , c ) を達成する三つ組 ( a , b , c ) が存在するはずである。

ε > 0という条件は、c > rad( abc )を満たすa、b、c の組が無限に存在するため必要である。例えば、

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

整数bは9で割り切れる。

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

この事実を用いて、以下の計算を行う。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&={\tfrac {2}{3}}b\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

指数 6 n をbがより大きな平方因子を持つように強制する他の指数に置き換えることで、根号とcの比を任意に小さくすることができます。具体的には、p > 2 を素数とし、

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

^ここで、bはp2で割り切れると主張できるかもしれない。

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

最後のステップでは、 p ^{2 が}2 ^{p ( p −1)}  − 1を割り切るという事実を利用します。これは、p > 2 の場合、 ある整数kに対して 2 ^{p −1}  =  pk + 1 となることを示すフェルマーの小定理から導かれます。両辺をp乗すると、2 ^{p ( p −1)}  =  p ² (...) + 1 となります。

そして、上記と同様の計算を行うと、以下の結果が得られます。

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

最高品質のトリプル（ cに対して特に小さな根号を持つトリプル）のリストを以下に示します。最高品質の 1.6299 は、Eric Reyssat によって発見されました( Lando & Zvonkin 2004 、p. 137)。 

abc予想は多くの帰結をもたらす。これには既知の結果（その一部は予想が提唱されてから個別に証明されたもの）と、条件付き証明を与える予想の両方が含まれる。帰結には以下が含まれる。

• 代数的数のディオファントス近似に関するロスの定理。^{[ 10 ] [ 9 ]}
• モルデル予想（ゲルト・ファルティングスによって既に一般的に証明されている）。^{[ 11 ]}
• 同等のものとして、次元1におけるヴォイタの予想。^{[ 12 ]}
• エルデシュ・ウッズ予想は、有限個の反例を許容する。^{[ 13 ]}
• 基数b > 1のすべてにおいて、無限に多くの非ヴィーフェリッヒ素数が存在する。^{[ 14 ]}
• 整数の平方と立方の間の分離に関するマーシャル・ホールの予想の弱い形式。 ^{[ 15 ]}
• フェルマーの最終定理は、アンドリュー・ワイルズによる非常に難しい証明で有名です。しかし、少なくとも${\displaystyle n\geq 6}$これは、 abc予想の弱いバージョンの有効な形式から得られる。abc予想は、すべての性質の集合（上記で定義）のlim supが1であると述べているが、これは、性質には有限の上限が存在するというはるかに弱い主張を意味する。2がそのような上限であるという予想は、フェルマーの最終定理の非常に短い証明に十分である。${\displaystyle n\geq 6}$[ ^{16 ]​}
• フェルマー・カタラン予想は、べき乗の和であるべき乗に関するフェルマーの最終定理の一般化である。 ^{[ 17 ]}
• ルジャンドル記号で構成されたL 関数L ( s , χ _d )は、有理整数に対して上で定式化されたabc予想だけでなく、数体における一様なabc予想が与えられた場合、ジーゲル零点を持たない。^{[ 18 ]}
• 多項式P ( x )は 、少なくとも 3 つの単純零点を持つ場合、すべての整数xに対して有限個の完全べき乗しか持たない。^{[ 19 ]}
• y ^m = x ⁿ + kの解の数に関するTijdeman の定理の一般化(Tijdeman の定理はk = 1 の場合に答える) とAy ^m = Bx ⁿ + kの解の数に関する Pillai の予想 (1931 年) 。
• これと同等なのがグランヴィル・ランジュバン予想で、f が次数n > 2の平方因子を持たない二進形式である場合、すべての実数β > 2 に対して定数C ( f , β ) が存在し、すべての互いに素な整数x , yに対して、 f ( x , y )の根号はC · max{| x |, | y |} ^{n − β}を超える。^{[ 20 ]}
• すべての多項式 (x^n-1)/(x-1) は、平方因子を持たない値を無限に多く持つ。^{[ 21 ]}
• 同等のものとして、修正されたSzpiro予想があり、これはrad( abc ) ^{1.2+ ε}の境界を与える。^{[ 1 ]}
• ダブロフスキ（1996）は、 abc予想により、任意の整数Aに対してディオファントス方程式n ! + A = k ²は有限個の解しか持たないことを示した。
• f ( n )/B' が平方因子を持たないような正の整数 n ≤ N が ~ c f N 個存在し、c f > 0 は次のように定義さ_れる正の定数_です。^{[ 22 ]}
  ${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$
• ビール予想は、フェルマーの最終定理を一般化したもので、A、B、C、x、y、zが正の整数で、 A ^x + B ^y = C ^zかつx、y、z > 2 であるならば、 A、B、Cは共通の素因数を持つというものである。abc予想が成立すれば、反例は有限個しか存在しないことになる。
• ラング予想とは、楕円曲線の非ねじれ有理点の高さの下限値である。
• 有理距離を持つユークリッド点の密集合上のエルデシュ・ウラム問題の否定解。 ^{[ 23 ]}
• 代数曲線上の整数点に関するシーゲルの定理の有効なバージョン。^{[ 24 ]}

abc予想は、cがabcの根号のほぼ線形関数によって上から抑えられることを示唆している。指数関数的な上限が知られている。具体的には、以下の上限が証明されている。

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$（スチュワート＆ティデマン 1986）

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$（スチュワート＆ユー 1991）

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}}$（スチュワート＆ユー 2001）。

これらの境界において、K ₁とK _{3 は}a、b、cに依存しない定数であり、K _{2 は}εに依存する定数（実質的に計算可能な方法で）であるが、 a、b、cには依存しない定数である。これらの境界は、 c > 2となる任意の 3 つ組に適用される。

abc予想の最良の形式の下限を提供する理論的な結果もあります。特に、Stewart & Tijdeman (1986)は、 a + b = cとなる互いに素な整数の組 ( a , b , c ) が無限に存在することを示しました。

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}}$

すべてのk < 4に対して。定数kはvan Frankenhuysen (2000)によってk = 6.068に改善された。

2006年、オランダのライデン大学数学科は、オランダの科学研究所Kennislinkと共同で、グリッドコンピューティングシステムであるABC@Homeプロジェクトを開始しました。このプロジェクトの目的は、 rad( abc ) < cとなる追加の3つ組a、b、cを発見することです。有限個の例や反例ではabc予想を解決することはできませんが、このプロジェクトで発見された3つ組のパターンが、この予想やより一般的には数論についての洞察につながることが期待されています。

2014年5月時点で、ABC@Homeは2380万件のトリプルを発見した。^{[ 26 ]}

注: 3つ組 ( a , b , c ) の品質q ( a , b , c )は上記で定義されています。

abc予想は、多項式に関するメイソン・ストザーズの定理の整数版である。

ベイカー（1998）が提案した強化では、abc予想において、rad( abc )を次のように置き換えることができると述べている。

ここでωはa、b、cを割り切る異なる素数の総数である。^{[ 28 ]}

アンドリュー・グランビルは、関数の最小値が${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$以上${\displaystyle \varepsilon >0}$発生するのは${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

このことから、ベイカー（2004）はabc予想のより厳密な形式を提案した。すなわち、

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega$ !}}}

κは絶対定数である。いくつかの計算実験の後、彼は次の値を発見した。${\displaystyle 6/5}$κに対して許容される。このバージョンは「明示的なabc予想」と呼ばれる。

ベイカー（1998）は、アンドリュー・グランビルの関連する予想についても述べており、それはcの上限を次の形式で与えるものである。

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

ここでΩ( n )はnの素因数の総数であり、

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

ここで、Θ( n )はnまでの整数のうち、 nを割り切る素数のみで割り切れる整数の数である。

Robert、Stewart 、 Tenenbaum (2014)は、 Robert & Tenenbaum (2013)に基づいて、より正確な不等式を提案した。k = rad( abc )とする。彼らは、定数C ₁が存在し、

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

が成り立つ一方、定数C ₂が存在して、

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

無限に頻繁に成立する。

Browkin & Brzeziński (1994)は、 n > 2 の整数を含むabc予想のバージョンであるn 予想を定式化した。

ルシアン・スピロは2007年に解決策を提案したが、その後すぐに誤りであることが判明した。^{[ 29 ]}

2012年8月以来、望月慎一はスピロ予想、ひいてはabc予想の証明を主張している。^{[ 5 ]}彼は、インターユニバーサル・タイヒミュラー理論（IUTT）と呼ばれる新しい理論を展開する一連の4つのプレプリントを発表し、それをabc予想の証明に適用した。^{[ 30 ]}これらの論文は、 abc の証明を提供するものとして数学界で広く受け入れられていない。^{[ 31 ]}これは、論文の長さと理解の難しさだけでなく、^{[ 32 ]}議論の少なくとも1つの特定の点が他の専門家によってギャップとして指摘されているためでもある。^{[ 33 ]}少数の数学者が証明の正しさを保証し^{[ 34 ]}、IUTTに関するワークショップを通じて理解を伝えようと試みたものの、数論コミュニティ全体を納得させることはできなかった。^{[ 35 ] [ 36 ]}

2018 年 3 月、ピーター・ショルツェとヤコブ・スティックスは望月との協議のため京都を訪れた。^{[ 37 ] [ 38 ]} 意見の相違は解消されなかったものの、より明確になった。ショルツェとスティックスは、証明の論理に誤りがあることを主張し説明する報告書を作成し、その結果生じたギャップは「非常に深刻で、小さな修正では証明戦略を救済できない」と主張した。^{[ 33 ]} 望月は、彼らが理論の重要な側面を誤解し、無効な単純化を行ったと主張した。^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

2020年4月3日、望月氏が所属する京都研究所の数学者2名が、望月氏が主張する証明が同研究所の機関誌である数理科学研究所紀要（RIMS）に掲載されると発表した。望月氏は同誌の編集長だが、論文の査読からは身を引いた。^{[ 6 ]}この発表はキラン・ケドラヤ氏とエドワード・フレンケル氏から懐疑的に受け止められ、ネイチャー誌は「多くの研究者が望月氏の陣営に移る可能性は低い」と評した。 [ ^{6 ] 2021}年3月、望月氏の証明がRIMSに掲載された。^{[ 42 ]}

• 数学における未解決問題一覧

• ABC@home ABC@Homeと呼ばれる分散コンピューティングプロジェクト。
• ABCのように簡単：ブライアン・ヘイズによる、分かりやすく詳細な説明。
• ワイススタイン、エリック W. 「abc 予想」 . MathWorld .
• Abderrahmane Nitaj のABC 予想のホームページ
• バート・デ・スミットのABCトリプルズのウェブページ
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• ノーム・D・エルキーズ著『数論のABC』
• 番号に関する質問 ( 2012年9月16日、 Wayback Machineにバリー・マズールによってアーカイブ)
• MathOverflowに掲載された望月氏のABC予想に関する研究の背景にある哲学
• ABC予想に関するポリマス・プロジェクトのウィキページには、望月氏の論文に関する様々な解説へのリンクが掲載されています。
• abc予想Numberphileビデオ
• 望月によるIUTに関するニュース