順序双対（関数解析）

数学、特に順序論と関数解析において、順序付きベクトル空間の順序双対とは、 が上の正の線型関数全体の成す集合を表す集合である。ここで上の線型関数が正であるとは、すべての に対して が成り立つときである^[1]。 の順序双対は で表される。この空間は、関連する概念である順序境界双対とともに、順序付き位相ベクトル空間の理論において重要な役割を果たしている。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)-\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle f(x)\geq 0.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$

の位数双対の元は、 が成り立つとき正と呼ばれる。 位数双対の正の元は、 上の順序付けを誘導する錐を形成し、これを正準順序付けと呼ぶ。 が、その正の錐が生成する (つまり)順序ベクトル空間である場合、正準順序付けを持つ位数双対は順序ベクトル空間である。^[1] 位数双対は、 上の正値線型関数の集合の範囲である。^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {Re} f(x)\geq 0.}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=CC}$${\displaystyle X}$

順序双対は順序境界双対に含まれます。^[1]順序付きベクトル空間 の正の錐が生成であり、すべての正のおよびに対して成り立つ場合、順序双対は順序境界双対に等しく、その標準順序付けの下で順序完備ベクトル格子になります。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ベクトル格子の順序双対は順序完備ベクトル格子である。^[1] ベクトル格子の順序双対は、が無限次元であっても有限次元（場合によっては ）になることがある。 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$

が順序付きベクトル空間で、の標準順序により が順序付きベクトル空間になるとする。このとき、順序双対はの順序双対として定義され、 で表される。順序付きベクトル空間の正の錐が生成であり、およびすべての正の に対して が成り立つ場合、 は順序完備ベクトル格子であり、評価写像は順序を保存する。^[1] 特に、 がベクトル格子である場合、 は順序完備ベクトル格子である。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{++}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X^{++}}$${\displaystyle X\to X^{++}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{++}}$

がベクトル格子であり、が 内の点を分離するの立体部分空間である場合、を で与えられた写像に送ることによって定義される評価写像は、のベクトル部分格子上への の格子同型である。^[1] しかし、この写像の像は、 が順序完全であっても一般に順序完全ではない。実際、規則的に順序付けられた順序完全なベクトル格子は、評価写像によって順序双対内のバンド上に写される必要はない。順序双対内の標準像が順序完全である順序完全で規則的に順序付けられたベクトル格子は極小と呼ばれ、極小型 であると言われる。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to G^{+}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle E_{x}:G^{+}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle E_{x}(f):=f(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G^{+}}$${\displaystyle X}$

任意の に対して、バナッハ格子は順序完備かつ極小型である。特に、この空間上のノルム位相は、あらゆる順序収束フィルタが収束する最も細かい局所凸位相である。^[2]${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle L^{p}(\mu )}$

を極小型の順序完備ベクトル格子とする。任意のに対して、以下は同値である: ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x>0,}$

1. ${\displaystyle x}$は弱い順序単位です。
2. 上の任意の非0正線形関数に対して、${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)>0.}$
3. が局所凸ベクトル格子であるような 上の各位相に対して、はその正の円錐の準内部点です。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x}$

順序付けられたベクトル空間は規則順序付けられているとされ、その順序がアルキメデス順序で、内の点を区別する場合、その順序は規則的であると言われる。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X}$

• 代数的双対空間 – 数学において、線型形式のベクトル空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
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• 双対空間 – 数学では、線型形式のベクトル空間
• 順序制約双対 – 数学的概念

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.