実現差異オプション

金融において、実現分散オプション（または分散オプション）は分散デリバティブの一種であり、株価指数、債券、為替レートなどの特定の原資産の収益の年間実現分散に応じてペイオフが決まるデリバティブ証券です。同じタイプの別の流動性証券は分散スワップであり、言い換えれば実現分散の先物契約です。

バニラ オプションと同様の概念で、バリアンス オプションは、将来のある時点 (満期日) に合意された価格 (バリアンス ストライク) と引き換えに実現バリアンスを売買する権利を所有者に与えますが、リスク エクスポージャーは価格のバリアンス自体にのみ左右されます。この特性はトレーダーの間で関心を集めています。トレーダーは、原資産を保有する方向性リスクを負うことなく、ポートフォリオのデルタ ヘッジなど、資産ボラティリティの将来の動きを推測する手段としてこれを使用できるためです。

実際には、年次化実現分散は、特定の原資産の離散標本化対数収益率の二乗の合計によって定義されます。言い換えると、原資産価格の標本点が、すべての に対しての時点で観測される場合、 で表される実現分散は、次の形式で評価されます。 ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{2}},\dots ,S_{t_{n}}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle 0\leq t_{i-1}t_{i}\leq T}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle RV_{d}:={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}}$

どこ

• ${\displaystyle A}$は、価格が毎日監視されている場合には通常、週ごとまたは月ごとの観測の場合はそれぞれまたはに選択される年率係数であり、${\displaystyle A=252}$${\displaystyle A=52}$${\displaystyle A=12}$
• ${\displaystyle T}$オプションの満期日は、次の数に等しい。${\displaystyle n/{A}.}$

もし、

• ${\displaystyle K_{\text{var}}^{C}}$差異ストライクとなり
• ${\displaystyle L}$ペイオフを米ドルや英ポンドなどの単位金額に変換した名目上の金額である。

コールオプションとプットオプション（またはコールとプットの分散）の満期時のペイオフは ${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle (RV_{d}-K_{\text{var}}^{C})^{+}\times L}$

そして

${\displaystyle (K_{\text{var}}^{C}-RV_{d})^{+}\times L}$

それぞれ。

年次実現分散は連続サンプリングによっても定義でき、その結果、原資産価格の2次変動が生じることに留意してください。つまり、価格プロセスの瞬間的な変動を決定すると仮定すると、 ${\displaystyle \sigma (t)}$

${\displaystyle RV_{c}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}$

連続標本化年次実現分散を定義し、これは離散形式の確率の限界であることも証明されている^[1]。すなわち

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }RV_{d}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds=RV_{c}}$。

ただし、実現差異を含む契約は実際には離散サンプリングで見積もられるため、このアプローチは離散サンプリングを近似するためにのみ採用されます。

リスク中立的な尺度の下で、原資産価格が時間変動ブラック・ショールズ・モデルを次のように解くと仮定します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

どこ：

• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$（時間によって変化する）無リスク金利である。
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$（時間によって変化する）価格変動であり、
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$は、フィルタされた確率空間におけるブラウン運動であり、 はの自然なフィルタです。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$${\displaystyle W}$

この設定により、分散コールの場合、その公正価格は、そのペイオフ関数の期待現在価値、 すなわち${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$

${\displaystyle C_{t_{0}}^{\operatorname {var} }:=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[(RV_{(\cdot )}-K_{\operatorname {var} }^{C})^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

ここで、離散サンプリングの場合は 、連続サンプリングの場合は です。また、プットコール パリティにより、プット値がわかれば、プット値も得られます。確率密度関数がわかれば、ブラック ショールズ導出と同様の手法で解析的に解にアプローチできます。または、モンテ カルロ法などの近似スキームを使用してアプローチすることもできます。 ${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{d}}$${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{c}}$${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$${\displaystyle RV_{(\cdot )}}$

• 差異スワップ
• ボラティリティスワップ
• ボラティリティ（金融）