伊藤の補題

数学において、伊藤の補題あるいは伊藤の公式（特にフランス語文献では伊藤–ドゥーブリンの公式とも呼ばれる）は、伊藤計算において確率過程の時間依存関数の微分を求めるために使用される恒等式である。これは連鎖律の確率計算版として機能する。これは、関数の2次導関数までのテイラー級数展開を形成し、時間増分では1次までの項とウィーナー過程増分では2次までの項を保持することによって発見的に導くことができる。この補題は数理ファイナンスで広く採用されており、最もよく知られた応用はオプション価値の ブラック–ショールズ方程式の導出である。

伊藤清は1951年にこの式の証明を発表した。^[1]

確率微分方程式が与えられていると仮定する 。 ここでB _tはウィーナー過程であり、関数は時間の決定論的（確率的ではない）関数である。一般に、直接解を次のように書くことはできない。しかし、積分解を次のように正式に書くことができる。 $${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t},}$$${\displaystyle \mu_{t},\sigma_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle B_{t}.}$$${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\ dB_{s}.}$$

この式により、（高次のモーメントを持たない）の平均と分散を簡単に読み取ることができます。まず、すべての平均が 0 であるため、 の期待値は単にドリフト関数の積分であることに注意してください。 ${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$$${\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}$$

同様に、項の分散は 1 で、相互に相関がないため、 の分散はランダム ウォークの各微小ステップの分散の積分に過ぎません。 ${\displaystyle dB}$${\displaystyle X_{t}}$$${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}$$

しかし、時には、より複雑なプロセスに対する確率微分方程式に直面することがあります。その場合、プロセスは微分方程式の両辺に現れます。つまり、 いくつ かの関数 と についてです。この場合、上記のより単純なケースのように、すぐに正式な解を書くことはできません。代わりに、上記の形式を取るより単純なプロセスの関数として、プロセスを記述したいと考えています。つまり、 およびとなる3 つの関数とを特定したいのです。実際には、この変換を見つけるために伊藤の補題が使用されます。最後に、問題をより単純なタイプの問題に変換したら、プロセスの平均モーメントと高次モーメントを決定できます。 ${\displaystyle Y_{t},}$$${\displaystyle dY_{t}=a_{1}(Y_{t},t)\ dt+a_{2}(Y_{t},t)\ dB_{t},}$$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}.}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle f(t,x),\mu _{t},}$${\displaystyle \sigma _{t},}$${\displaystyle Y_{t}=f(t,X_{t})}$${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\ dt+\sigma _{t}\ dB_{t}.}$

テイラー級数を展開し、確率計算の規則を適用することで伊藤の補題を導出します。

は確率微分方程式を満たす伊藤ドリフト拡散過程であるとする。${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}$

ここで、B _{t は}ウィーナー過程です。

f ( t , x )が2回微分可能なスカラー関数である場合、そのテイラー級数展開は

${\displaystyle {\frac {\Delta f(t)}{dt}}dt=f(t+dt,x)-f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +}$

${\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{dx}}dx=f(t,x+dx)-f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}+\cdots }$

次に、全微分と偏微分の定義を使用します。 ${\displaystyle f_{y}=\lim _{dy\to 0}{\frac {\Delta f(y)}{dy}}}$

${\displaystyle df=f_{t}dt+f_{x}dx=\lim _{dx\to 0,dt\to 0}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,(dx)^{2}+\cdots .}$

を代入すると、 ${\displaystyle x=X_{t}}$${\displaystyle dx=dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

${\displaystyle df=\lim _{dB_{t}\to 0,dt\to 0}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,(dt)^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,(dt)^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,(dB_{t})^{2}\right)+\cdots .}$

の極限では、項と項はよりも速くゼロに近づきます。は（というウィーナー過程の2次変化による）なので、項と項をゼロに設定し、を に代入して項をまとめると、次式が得られます。 ${\displaystyle dt\to 0}$${\displaystyle (dt)^{2}}$${\displaystyle dt\,dB_{t}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle (dB_{t})^{2}}$${\displaystyle O(dt)}$${\displaystyle B_{t}^{2}=O(t)}$${\displaystyle (dt)^{2},dt\,dB_{t}}$${\displaystyle (dx)^{3}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle (dB_{t})^{2}}$${\displaystyle dt}$

${\displaystyle df=\lim _{dt\to 0}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}$

必要に応じて。

あるいは、

${\displaystyle df=\lim _{dt\to 0}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dX_{t}}$

が 2 つの共分散ガウス分布のランダム変数であり、が非線形だが連続 2 次導関数を持つことがわかっているとします。この場合、一般にはどちらもガウス分布ではなく、それらの共分散もガウス分布ではありません。ただし、はガウス分布なので、 がガウス分布であることが依然としてわかる場合があります。これは、が有限の場合には当てはまりませんが、 が無限小の場合には当てはまります。 ${\displaystyle X_{t},X_{t+dt}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(X_{t}),f(X_{t+dt})}$${\displaystyle X_{t+dt}\mid X_{t}}$${\displaystyle f(X_{t+dt})\mid f(X_{t})}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dt}$

重要な考え方は、には決定論的な部分とノイズのある部分があるということです。が非線形の場合、ノイズのある部分には決定論的な寄与があります。 が凸の場合、決定論的な寄与は正です ( Jensen の不等式より)。 ${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+dW_{t}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

寄与の大きさを調べるには、（ は標準ガウス分布）と書き、テイラー展開を実行します。これを 2 つの部分に分割します。決定論的部分と、平均が 0 のランダム部分です。 ランダム部分は非ガウス分布ですが、非ガウス部分はガウス部分よりも速く減衰し、極限ではガウス部分のみが残ります。 決定論的部分には、予想 がありますが、凸性によって寄与される部分もあります。 ${\displaystyle X_{t+dt}=X_{t}+\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t+dt})&=f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})(\sigma _{t}^{2}z^{2}\,dt+2\mu _{t}\sigma _{t}z\,dt^{3/2}+\mu _{t}^{2}dt^{2})+o(dt)\\&=\left(f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+o(dt)\right)+\left(f'(X_{t})\sigma _{t}{\sqrt {dt}}\,z+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}(z^{2}-1)\,dt+o(dt)\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle dt\to 0}$${\displaystyle f(X_{t})+f'(X_{t})\mu _{t}\,dt}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt}$

凸性による寄与が存在する理由を理解するには、株式市場の幾何ブラウン運動の最も単純なケースを考えてみましょう。つまり、 です。 とすると、 および はブラウン運動です。ただし、 の期待値は一定のままですが、 の期待値は増大します。直感的には、これは、下降はゼロに制限されているのに対し、上昇は無制限であるためです。つまり、は正規分布しますが、は対数正規分布します。 ${\displaystyle S_{t+dt}=S_{t}(1+dB_{t})}$${\displaystyle d(\ln S_{t})=dB_{t}}$${\displaystyle X_{t}=\ln S_{t}}$${\displaystyle S_{t}=e^{X_{t}}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle S_{t}}$

以下のサブセクションでは、さまざまな種類の確率過程に対する伊藤の補題のバージョンについて説明します。

最も単純な形では、伊藤の補題は次のように述べている。伊藤のドリフト拡散過程の場合

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

2つの実変数tとxの任意の2回微分可能なスカラー関数f ( t , x )は 、

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$

_これは、 f ( t , Xt )自体が伊藤ドリフト拡散過程である ことを直ちに意味します。

高次元では、が伊藤過程のベクトルであり、 ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}$

ベクトルと行列に対して、伊藤の補題は次のように述べている。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\[4pt]&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}$

ここで、 はXに対するfの勾配、H _X fはXに対するfのヘッセ行列、Tr はトレース演算子です。 ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f}$

不連続な確率過程上の関数を定義することもできます。

h をジャンプの強度とする。ジャンプのポアソン過程モデルは、区間[ t , t + Δ t ]における 1 回のジャンプの確率がh Δ tプラス高次の項であるというものである。hは定数、時間の決定論的関数、または確率過程である可能性がある。生存確率p _s ( t )は、区間[0, t ]においてジャンプが発生しなかった確率である。生存確率の変化は

${\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}$

それで

${\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}$

S ( t ) を不連続確率過程とする。左からtに近づくときのSの値を書きなさい。ジャンプの結果としての S ( t )の非無限小変化を書きなさい。すると${\displaystyle S(t^{-})}$${\displaystyle d_{j}S(t)}$

${\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}$

zをジャンプの大きさとし、zの分布をとします。ジャンプの期待値は ${\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)}$

${\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}$

補償過程 とマルチンゲール を次のように定義する。 ${\displaystyle dJ_{S}(t)}$

${\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-\left(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta \left(S(t^{-}),z\right)\,dz\right)\,dt.}$

それから

${\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))\left(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz\right)dt+dJ_{S}(t).}$

ジャンプ過程dS ( t )の関数を考えてみましょう。S ( t )がΔ sだけジャンプすると、g ( t ) はΔ gだけジャンプします。Δ gは、 、dg、およびに依存する分布から抽出されます。 のジャンプ部分は ${\displaystyle g(S(t),t)}$${\displaystyle \eta _{g}()}$${\displaystyle g(t^{-})}$${\displaystyle S(t^{-})}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).}$

ドリフト、拡散、ジャンプ部分を含む場合、伊藤の補題は ${\displaystyle S}$${\displaystyle g(S(t),t)}$

${\displaystyle dg(t)=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}\left(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g\right)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).}$

ドリフト拡散過程とジャンプ過程の合計である過程に対する伊藤の補題は、個々の部分に対する伊藤の補題の合計に他なりません。

伊藤の補題は、連続である必要のない一般的なd次元セミマルチンゲールにも適用できます。一般に、セミマルチンゲールはcàdlàgプロセスであり、プロセスのジャンプが伊藤の補題によって正しく与えられるようにするために、式に追加の項を追加する必要があります。任意の cadlag プロセスY _tについて、 tの左極限はY _t−で表され、これは左連続プロセスです。ジャンプはΔ Y _t = Y _t − Y _t−と書きます。次に、伊藤の補題は、X = ( X ¹、X ²、 ...、X ^d )がd次元セミマルチンゲールであり、 fがR ^d上の 2 回連続微分可能な実数値関数である場合、f ( X ) はセミマルチンゲールであり、

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})&=f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&\qquad +\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

これは、 Xのジャンプを合計する追加の項によって連続セミマルチンゲールの式と異なり、時刻tにおける右側のジャンプがΔ f ( X _t ) になることを保証します。

^[要出典]また、空間的に 2 回連続微分可能で、時間的に 1 回微分可能な関数 f を (潜在的に異なる) 非連続セミマルチンゲールで評価したバージョンもあり、次のように記述できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},\ldots ,X_{t}^{d})={}&f(0,X_{0}^{1},\ldots ,X_{0}^{d})+\int _{0}^{t}{\dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})d{s}\\&{}+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i)}\\&{}+{\frac {1}{2}}\sum _{i_{1},\ldots ,i_{d}=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i_{1},\ldots ,i_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\,dX_{s}^{(c,i_{1})}\cdots X_{s}^{(c,i_{d})}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left[f(s,X_{s}^{1},\ldots ,X_{s}^{d})-f({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},\ldots ,X_{s_{-}}^{d})\right]\end{aligned}}}$

ここで、i番目のセミマルチンゲール の連続部分を表します。${\displaystyle X^{c,i}}$

過程Sは、ブラウン運動Bに対する確率微分方程式を満たすとき、定常ボラティリティσと定常ドリフトμを伴う幾何ブラウン運動に従うという。伊藤の補題を に適用すると、 ${\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt}$${\displaystyle f(S_{t})=\log(S_{t})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}df&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\[4pt]&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[4pt]&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt.\end{aligned}}}$

すると、

${\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}$

指数関数的に計算すると、 Sの式が得られる。

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}$

− ⁠の補正項σ ²/2⁠ は、対数正規分布の中央値と平均値の差、またはこの分布では、幾何平均と算術平均に相当し、中央値（幾何平均）の方が低くなります。これは、 AM-GM不等式によるもので、対数が凹（または上に凸）であることに対応するため、補正項はコンベックス補正として解釈できます。これは、年率収益が平均収益よりも低く、その差が分散に比例するという事実の無限小バージョンです詳細については、 対数正規分布の幾何モーメント^{[ broken anchor ]を参照してください。}

⁠の同じ要因σ ²/2⁠ はブラック・ショールズ公式のd ₁およびd ₂補助変数に現れ、伊藤の補題の結果として 解釈することができます。

連続セミマルチンゲールXのドリアン・デイド指数関数（または確率指数関数）は、初期条件Y ₀ = 1での SDE dY = Y dXの解として定義できます。これは Ɛ( X ) と表記されることもあります。f ( Y ) = log ( Y ) で伊藤の補題を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}\,dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}\,d[Y]\\[6pt]&=dX-{\tfrac {1}{2}}\,d[X].\end{aligned}}}$

累乗すると解が得られる

${\displaystyle Y_{t}=\exp \left(X_{t}-X_{0}-{\tfrac {1}{2}}[X]_{t}\right).}$

伊藤の補題はオプションに対するブラック・ショールズ方程式を導くのに使用できる。^[2]株価が確率微分方程式dS = S ( σdB + μ dt )で与えられる幾何ブラウン運動に従うと仮定する。このとき、時刻tにおけるオプションの価値がf ( t , S _t )である場合、伊藤の補題は次式を与える。

${\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

⁠という用語∂fの/∂S​⁠ dSは、一定額を保有する取引戦略の、時間dtにおける価値の変化を表す。⁠∂fの/∂S​⁠株式の。この取引戦略に従い、保有する現金がリスクフリーレートrで成長すると仮定すると、このポートフォリオの合計価値VはSDEを満たします。

${\displaystyle dV_{t}=r\left(V_{t}-{\frac {\partial f}{\partial S}}S_{t}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}$

この戦略は、 V = f ( t , S )の場合にオプションを複製します。これらの式を組み合わせると、有名なブラック・ショールズ方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\sigma ^{2}S^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0.}$

をSDEを持つ2次元伊藤過程とします 。${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}=d{\begin{pmatrix}X_{t}^{1}\\X_{t}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}dt+{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\,dB_{t}}$

次に、伊藤の補題の多次元形式を使用して、 の表現を見つけることができます。 ${\displaystyle d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})}$

および があります。 ${\displaystyle \mu _{t}={\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}}$

私たちはそれを設定して観察し、${\displaystyle f(t,\mathbf {X} _{t})=X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0,\ (\nabla _{\mathbf {X} }f)^{T}=(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})}$${\displaystyle H_{\mathbf {X} }f={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

これらの値を補題の多次元バージョンに代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=df(t,\mathbf {X} _{t})\\&=0\cdot dt+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1})\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}(dX_{t}^{1}\ \ dX_{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dX_{t}^{1}\\dX_{t}^{2}\end{pmatrix}}\\&=X_{t}^{2}\,dX_{t}^{1}+X_{t}^{1}dX_{t}^{2}+dX_{t}^{1}\,dX_{t}^{2}\end{aligned}}}$

これは、微分不可能なイトー過程に対する ライプニッツの積分則の一般化です。

さらに、上記の多次元バージョンの2番目の形式を使用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}d(X_{t}^{1}X_{t}^{2})&=\left\{0+(X_{t}^{2}\ \ X_{t}^{1}){\begin{pmatrix}\mu _{t}^{1}\\\mu _{t}^{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[(\sigma _{t}^{1}\ \ \sigma _{t}^{2}){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{t}^{1}\\\sigma _{t}^{2}\end{pmatrix}}\right]\right\}\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\\[5pt]&=\left(X_{t}^{2}\mu _{t}^{1}+X_{t}^{1}\mu _{t}^{2}+\sigma _{t}^{1}\sigma _{t}^{2}\right)\,dt+(X_{t}^{2}\sigma _{t}^{1}+X_{t}^{1}\sigma _{t}^{2})\,dB_{t}\end{aligned}}}$

したがって、この積自体が伊藤のドリフト拡散過程であることがわかります。 ${\displaystyle X_{t}^{1}X_{t}^{2}}$

ハンス・フェルマーのアイデアは、伊藤の公式を有限の二次関数に拡張することだった。^[3]

を実数値関数とし、有限の2次変化を持つRCLL関数と する。すると${\displaystyle f\in C^{2}}$${\displaystyle x:[0,\infty ]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})\,d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2})\right).\end{aligned}}}$

無限次元空間への拡張はいくつか存在する（例えば、Pardoux、^[4] Gyöngy-Krylov、^[5] Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis ^[6]）。

• ウィーナー過程
• 伊藤計算
• ファインマン・カックの公式
• オイラー・丸山法

• 伊藤清(1944)。確率積分。帝国学士院紀要。東京 20、519-524。これは伊藤公式を使った論文です。オンライン
• 伊藤清(1951). 確率微分方程式について。アメリカ数学会紀要 4 , 1–51. オンライン
• Bernt Øksendal (2000)。確率微分方程式入門と応用、第 5版、訂正第 2 刷。Springer。ISBN 3-540-63720-6。セクション 4.1 および 4.2。 
• Philip E Protter (2005).確率積分と微分方程式、第 2 版。Springer。ISBN 3-662-10061-4。セクション 2.7。 

• 導出、セイヤー・ワトキンス教授
• 非公式の証明、オプションチューター