ボラティリティスワップ

金融において、ボラティリティ・スワップとは、特定の原資産の将来の実現ボラティリティに関する先渡契約である。ボラティリティ・スワップにより、投資家は価格指数を取引するのと同じように、資産のボラティリティを直接取引することができる。満期時のペイオフは次のようになる。

${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})N_{\text{vol}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \sigma _{\text{実現}}}$年換算実現ボラティリティである。
• ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$ボラティリティストライクであり、
• ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$事前に合意された想定元本額です。

つまり、ボラティリティ・スワップの保有者は、原資産の年間実現ボラティリティが受渡価格を超過するポイントごとに利益を受け取り、逆に実現ボラティリティが行使価格を下回るポイントごとに利益を支払うことになる。^[1]${\displaystyle N_{\text{vol}}}$${\displaystyle \sigma _{\text{実現}}}$${\displaystyle K_{\text{vol}}}$${\displaystyle N_{\text{vol}}}$

原資産は通常、外国為替、株価指数、個別株など、活発または流動的な オプション市場を持つ金融商品です。オプションへの投資では価格依存によってボラティリティ エクスポージャーが損なわれますが、これらのスワップはボラティリティのみに対する純粋なエクスポージャーを提供します。これは、フォワード スターティングボラティリティ スワップにのみ当てはまります。ただし、スワップの資産が固定されると、その時価評価額も現在の資産価格に依存します。これらの商品を使用して、将来のボラティリティ レベルを推測したり、実現ボラティリティとインプライド ボラティリティのスプレッドをトレードしたり、他のポジションやビジネスのボラティリティ エクスポージャーをヘッジしたりできます。

ボラティリティ・スワップは、非常に似ているがより単純な分散スワップよりも一般的に取引されています。分散スワップは、オプションの線形結合と先物の動的ポジションで複製できます。この2つの違いはコンベックス性です。分散スワップのペイオフは分散に対して線形ですが、ボラティリティに対してはコンベックスです。^[1] つまり、必然的に、ボラティリティ・スワップの静的複製（買い持ち戦略）は不可能です。ただし、分散スワップ（）をヘッジ手段として使用し、ボラティリティ（）をターゲットにすると、ボラティリティは分散の関数として表すことができます。 ${\displaystyle \Sigma _{T}^{2}}$${\displaystyle \Sigma_{T}}$

${\displaystyle \Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b}$

そして、両辺の期待二乗偏差を最小化するように選択される。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\text{min}}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b)^{2}]}$

そして、実現ボラティリティがマイナスになる確率が無視できる場合、将来のボラティリティは平均と標準偏差を持つ正規分布であると仮定できる。 ${\displaystyle {\bar {\Sigma }}}$${\displaystyle \sigma _{\Sigma }}$

${\displaystyle \Sigma _{T}\sim N({\bar {\Sigma }},\sigma _{\Sigma })}$

ヘッジ係数は次のようになります。

${\displaystyle a={\frac {1}{2{\bar {\Sigma }}+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{\bar {\Sigma }}}}}}$

${\displaystyle b={\frac {\bar {\Sigma }}{2+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{{\bar {\Sigma }}^{2}}}}}}$

年率実現ボラティリティの定義は、トレーダーの原資産価格観測に対する視点に依存し、それは時間的に離散的または連続的である可能性がある。前者については、分散スワップと同様の構成で、観測された原資産価格のサンプリングポイントがある場合、 となる。 ここで、 に対してとなる。自然対数リターンを定義する。すると、離散サンプリングによる年率実現ボラティリティは次のように定義される。 ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$${\displaystyle 0\leq t_{i-1}t_{i}\leq T}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$

• ${\displaystyle \sigma _{\text{実現値}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}},}$

これは基本的に、年間実現分散の平方根です。ここで、は年間係数を表し、通常、価格が毎日監視されるか毎週監視されるかに応じて、年間の観測価格の数として選択されます。は、 によって定義されるボラティリティ スワップの満期日です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A=252}$${\displaystyle A=52}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n/A}$

年間実現ボラティリティの連続バージョンは、原資産価格の対数リターンの 2 次変動の平方根によって定義されます。

• ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{実現値}}:={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

ここで、は原資産の瞬間的なボラティリティである。価格の観測数が無限大に増加すると、確率的に^[2]に収束することが分かる。すなわち、 ${\displaystyle \sigma (s)}$${\displaystyle \sigma _{\text{実現}}}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{実現}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

2 つのアプローチ間の相互接続性と一貫性を表します。

一般的に、特定の原資産の場合、スワップの価格設定の主な目的は、契約締結にコストがかからないため、公正な行使価格を見つけることです。このような公正さを実現するための最も一般的なアプローチの 1 つは、マーチンゲール価格設定法を利用することです。これは、リスク中立確率尺度 (またはマーチンゲール尺度) に関して、特定のデリバティブ証券の期待現在価値を見つける方法です。このような尺度の選択方法は、価格の推移を説明するために使用するモデルによって異なります。

数学的に言えば、価格プロセスがマルチンゲール測度の下でブラック・ショールズ・モデルに従うと仮定すると、次のSDEが解かれます。 ${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)dt+\sigma (t)dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

どこ：

• ${\displaystyle T}$スワップ契約の満了日を表す。
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$は（時間依存の）無リスク金利であり、
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$（時間依存の）価格変動であり、
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$は、フィルタされた確率空間におけるブラウン運動であり、 はの自然なフィルタです。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$${\displaystyle W}$

は離散的にサンプリングされたケース（連続的なケースではに切り替わる）における満期時のボラティリティ・スワップのペイオフであることがわかっているので、で 表される時刻 におけるその期待値は${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})\times N_{\text{vol}}}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle V_{t_{0}}}$

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{vol}},}$

これにより

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]}$

スワップのゼロ価格により、公正なボラティリティストライクの価値が定義されます。この解はさまざまな方法で見つけることができます。たとえば、またはの確率分布関数がわかれば、閉じた形式の価格設定式を取得したり、モンテカルロ法を使用して数値的に計算したりできます。あるいは、一定の制約の下で、ヨーロピアンオプションの値を使用して解を近似することもできます。^[3]${\displaystyle \sigma }_{\text{realized}}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$

^{CarrとLee（2009） [3]}の議論に関して、連続サンプリング実現ボラティリティの場合、契約が に開始され、が決定論的であり、 が任意（決定論的または確率的プロセス）であるが価格の動きとは独立である、すなわちと の間に相関関係がないと仮定すると、 はに書かれたヨーロピアンコールオプションのブラックショールズ式で表され、は の行使価格で の満期日で表されます。この場合、アットザマネーとなるように選択されたコールオプションの補助性、すなわち により、ボラティリティ行使価格は関数で近似できます。 ${\displaystyle t_{0}=0}$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle \sigma (t)}$${\displaystyle \sigma (t)}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle C_{t}(K,T)}$${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle t,\;0\leq t\leq T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K=S_{0}}$${\displaystyle K_{\text{vol}}}$

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[{\tilde {\sigma }}_{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{T}}}{\frac {C_{0}(S_{0},T)}{S_{0}}}-2r(T)}$

これは、ブラック・ショールズ公式の正規分布部分にテイラー級数を適用した結果です。

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