無差別曲線

経済学では、無差別曲線は、2 つの商品の異なる数量を表すグラフ上の点を結び、消費者はそれらの点の間では無関心です。つまり、曲線で示される 2 つの製品のどの組み合わせでも、消費者に同等の効用レベルが提供され、消費者は同じ曲線上の 1 つの組み合わせまたは商品バンドルを別の組み合わせよりも好むことはありません。無差別曲線上の各ポイントは、消費者に同じレベルの効用(満足度) をもたらすとも言えます。言い換えると、無差別曲線は、消費者に同等の効用を提供する 2 つの商品のさまざまな組み合わせを示すさまざまなポイントの軌跡です。したがって、効用は、好みの元になるものではなく、好みを表すための手段です。 ^[1]無差別曲線の主な用途は、商品バンドルに対する個々の消費者の潜在的に観察可能な需要パターンを表すことです。^[2]

無差別曲線分析は、消費者行動をモデル化するために使用できない、純粋に技術的なモデルです。任意の無差別曲線上のすべてのポイントは、同じ予算によって満たされる必要があります (消費者が異なる予算に無関心である場合を除く)。結果として、任意の予算と任意の 2 つの製品に対するすべての予算ラインは同じ無差別曲線に接しており、これはすべての予算ラインが最大で 1 つの無差別曲線に接していることを意味します (したがって、すべての消費者は同じ選択を行います)。

無差別曲線は無数にあります。それぞれの組み合わせを通過します。選択された無差別曲線のコレクションは、図で示され、無差別マップと呼ばれます。無差別曲線の傾きは MRS (限界代替率) と呼ばれ、財 x が 1 単位増加した場合に効用を一定に保つために財 y をどれだけ犠牲にしなければならないかを示します。効用関数 u(x,y) が与えられた場合、MRS を計算するには、財xに関する関数uの偏微分を取り、それを財yに関する関数uの偏微分で割ります。限界代替率が無差別曲線に沿って減少している場合、つまり傾きの大きさが減少または緩やかになっている場合、選好は凸型です。

無差別曲線の理論はフランシス・イシドロ・エッジワースによって開発され、彼は1881年の著書で無差別曲線を描くために必要な数学を説明しました。 ^[3]その後、ヴィルフレド・パレートが1906年の著書で実際にこれらの曲線を描いた最初の著者となりました。^{[4] [5]この理論は}ウィリアム・スタンレー・ジェヴォンズの順序効用理論から派生したもので、個人は常に消費バンドルを好みの順序で順位付けできると仮定しています。^[6]

個々の消費者のいくつかの効用レベルに対する無差別曲線のグラフは、無差別マップと呼ばれます。異なる効用レベルをもたらすポイントは、それぞれ異なる無差別曲線に関連付けられており、無差別マップ上のこれらの無差別曲線は、地形図上の等高線に似ています。曲線上の各ポイントは同じ高度を表します。無差別曲線から北東方向に移動して「外れる」と (商品の限界効用がプラスであると仮定)、基本的には効用の山を登っていることになります。上に行くほど、効用レベルが高くなります。非飽和要件は、他のすべてよりも好まれる消費バンドルである「頂点」または「至福点」に決して到達しないことを意味します。

無差別曲線は典型的には次のように^[漠然と]表現されます^{[説明が必要]}。

1. 商品数量の非負象限でのみ定義されます(つまり、商品の数量が負になる可能性は無視されます)。
2. 負の傾き。つまり、一方の財の消費が増えると、効用を一定に保つために、もう一方の財の消費量を減らすだけで済みます。これは、局所的不飽和（どちらかの財の消費量の増加は、総効用を減少させるのではなく、増加させる）を仮定することと同じです。この仮定に対する反事実的仮定は、至福点を仮定することです。効用U = f(x, y)の場合、3 番目の次元のUは、どのx値とy値に対しても局所的最大値を持ちません。) 無差別曲線の負の傾きは、消費者の選好の単調性（これにより、効用関数が単調に増加する）の仮定と、不飽和（すべての財の限界効用は常に正）の仮定を反映しています。上向きの無差別曲線は、バンドル A と別のバンドル B が同じ無差別曲線上にあるため、たとえバンドル B の両方の財の数量が多い場合でも、消費者はこれらの間で無差別であることを意味します。選好の単調性と非飽和性のため、両方の財をより多く含むバンドルは、両方の財をより少なく含むバンドルよりも好まれるはずであり、したがって最初のバンドルはより高い効用をもたらし、より高い効用レベルの別の無差別曲線上に位置しているはずである。無差別曲線の負の傾きは、限界代替率が常に正であることを意味する。
3. 完全なであり、無差別曲線上のすべての点は等しく好まれているとランク付けされ、曲線上にない他のすべての点よりも好まれているか好まれていないかのいずれかにランク付けされます。したがって、(2)では、2つの曲線が交差することはできません(交差すると、交差点の効用が等しくなるため、非飽和条件が破られます)。
4. 異なる無差別曲線上の点に関して推移的である。つまり、I ₂上の各点が (厳密に) I ₁上の各点よりも好まれ、I ₃上の各点がI ₂上の各点よりも好まれる場合、I ₃上の各点はI ₁上の各点よりも好まれる。負の傾きと推移性により、無差別曲線は交差しない。交差する両側の原点からの直線は、反対の推移的な選好順位を与えるからである。
5. （厳密には）凸型。凸型の選好は、無差別曲線が原点に対して凹型にはならない、つまり直線になるか、無差別曲線の原点に向かって膨らむかのいずれかであることを意味する。後者の場合、消費者が1つの財の消費を連続的に減らすと、満足度を維持するために他の財の消費量を連続的に増やす必要がある。凸型の選好は、限界効用逓減の原理に従って想定される。

• 好みは完全です。消費者は、利用可能なすべての代替商品の組み合わせを、それらが提供する満足度に基づいてランク付けしました。

2 つの消費バンドルAとBがあり、それぞれに 2 つの商品xとy が含まれているとします。消費者は、次のいずれか 1 つだけが当てはまることを明確に判断できます。

• AはBよりも好まれ、正式にはA ^p Bと表記される^[7]
• BはAよりも好まれ、正式にはB ^p Aと表記される^[7]
• AはBに対して無関心であり、正式にはA ^I Bと表記される^[7]。

この公理は、消費者が決定できない可能性を排除し、^[8]消費者が考えられるあらゆる商品の束に関してこの比較を行うことができると仮定しています。^[7]

• 好みは反射的である

これは、 AとBがすべての点で同一である場合、消費者はこの事実を認識し、AとBを比較することに無関心になることを意味します。

• A = B ⇒ A ^I B ^[7]

• 好みは推移的である^{[注 1]}

• もしA ^p BかつB ^p CならばA ^p Cとなる。^[7]
• また、A ^I BかつB ^I Cならば、A ^I Cとなる。^[7]

これは一貫性の仮定です。

• 好みは継続的である

• AがBより優先され、C がBに十分近い場合、AはCより優先されます。
• A ^p BかつC → B ⇒ A ^p C。

「連続」とは、無限に分割できることを意味します。1 と 2 の間には無限の数があるのと同じように、すべての束は無限に分割できます。この仮定により、無差別曲線は連続的になります。

• 選好は強い単調性を示す

• A がBよりもxとy の両方を多く持っている場合、AはBよりも優先されます。

この仮定は一般に「多ければ多いほど良い」という仮定と呼ばれます。

この仮定の別のバージョンでは、AとB が1 つの財を同じ量持っているが、A が他の財をより多く持っている場合、AがBよりも好まれることが求められます。

また、これは商品が悪いものではなく良いものであることを意味します。悪い商品の例としては、病気や汚染などが挙げられます。なぜなら、私たちは常にそのようなものを望んでいないからです。

• 無差別曲線は限界代替率が減少することを示している

• 限界代替率は、人が 1 単位の「x」を得るためにどれだけの「y」を犠牲にする意思があるかを示します。^{[説明が必要]}
• この仮定により、無差別曲線は滑らかで原点に対して凸型になることが保証されます。
• この仮定は、曲線の形状によって 1 次導関数が負で 2 次導関数が正になることが保証されるため、制約付き最適化の手法を使用するための基盤も整えます。
• この仮定の別名は代替仮定です。これは消費者理論の最も重要な仮定です。消費者は、ある財をあきらめたり、トレードオフしたりして、別の財をより多く手に入れる用意があります。基本的な主張は、「消費者が別の財 1 単位を得るために、ある財をあきらめる量には上限があり、その量であれば、消費者は新しい状況と古い状況の間で無差別になる」というものです^[9]無差別曲線の負の傾きは、消費者がトレードオフを行う意思があることを表しています^[9]

消費者理論では、無差別曲線と予算制約線を使用して消費者需要曲線を生成します。消費者が 1 人の場合、これは比較的単純なプロセスです。まず、1 つの財 (ニンジンなど) を例の市場とし、もう 1 つを他のすべての財の複合とします。予算制約線は、2 つの財間のすべての可能な分配を示す無差別マップ上の直線を示します。最大効用の点は、無差別曲線が予算線に接する点です (図を参照)。これは常識に従っています。市場が家計よりも財を高く評価する場合、家計はその財を販売します。市場が家計よりも財を低く評価する場合、家計はその財を購入します。このプロセスは、市場と家計の限界代替率が等しくなるまで続きます。^[10]さて、ニンジンの価格が変わり、他のすべての財の価格が一定のままであれば、予算線の勾配も変わり、接点と需要量が異なります。これらの価格と数量の組み合わせは、完全な需要曲線を推測するために使用できます。^[10]正確に述べると、2つの財の間の異なる価格比を表す一連の無差別曲線を使用して、財-財ベクトル空間の価格-消費曲線が生成されます。これは、財-価格ベクトル空間の需要曲線に相当します。予算制約線が変化するにつれて無差別曲線と予算制約線のすべての接点を結ぶ線は、拡大経路と呼ばれ、^[11]需要のシフトと相関します。いずれかの財の価格が変化するにつれて無差別曲線と予算制約線のすべての接点を結ぶ線は、価格-消費曲線であり、需要曲線に沿った動きと相関します。

• 
  図1: 3つの無差別曲線が表された無差別マップの例
• 
  図 2: 製品XとYが完全代替品である 3 つの無差別曲線。すべての曲線に垂直な灰色の線は、曲線が相互に平行であることを示します。
• 
  図 3: 完全補完財XとYの無差別曲線。曲線の曲がり角は共線的である。灰色の線は、一連のレオンチェフ効用曲線の所得消費曲線(消費者理論では拡大経路に相当する) を示している。

図 1 では、消費者はI ₂よりもI ₃を選び、またI ₁よりもI ₂を選びますが、与えられた無差別曲線上のどこにいるかは気にしません。無差別曲線の傾き (絶対値) は、経済学者によって限界代替率と呼ばれ、消費者が 1 つの財を手放す代わりに他の財をより多く購入する意思がある率を示します。ほとんどの財では限界代替率は一定でないため、無差別曲線は湾曲しています。曲線は原点に対して凸型で、負の代替効果を表しています。一定の金銭所得に対して価格が上昇すると、消費者はより低い無差別曲線にあるより安価な代替品を求めます。代替効果は、実質所得の低下による所得効果によって強化されます(Beattie-LaFrance)。この種の無差別曲線を生成する効用関数の例は、コブ・ダグラス関数です。無差別曲線の負の傾きは、消費者がトレードオフを行う意思を反映している。^[9]${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1}$

2 つの商品が完全な代替品である場合、消費者は一定の割合で商品を切り替える意思があるため、無差別曲線の傾きは一定になります。完全な代替品間の限界代替率も同様に一定です。このような無差別曲線に関連付けられている効用関数の例は、次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$

2 つの財が完全に補完関係にある場合、無差別曲線は L 字型になります。完全補完関係の例としては、左の靴と右の靴の比較が挙げられます。消費者は、左の靴が 1 足しかなくても、右の靴を複数持っていても何の得にもなりません。左の靴が増えても、左の靴がなければ限界効用はゼロです。そのため、右の靴の数だけが異なる財の束は、その数がいくつであっても、等しく好まれます。限界代替率は、ゼロか無限大のいずれかです。上記のような無差別マップを持つ効用関数のタイプの例として、レオンチェフ関数があります。 ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}}$

曲線の形状が異なることは、消費者理論の需要分析からわかるように、価格の変化に対する反応が異なることを意味します。ここでは結果のみを述べます。消費者が同じ無差別曲線上で均衡を保つ価格予算線の変更:

図1では、ある財の価格が相対的に上昇するにつれて、その財の需要量は滑らかに減少します。

図2では、どちらの財の需要量にも影響を及ぼさないか（予算制約線の一方の端）、予算制約線の一方の端からもう一方の端にかけて需要量が変化することになります。

図3の予算線は無差別曲線の角を回るため、均衡需要量には影響を及ぼさない。^[注2]

選択理論では、消費者を選好関係によって正式に表現し、この表現を使用して、消費者に対する選好が等しい組み合わせを示す無差別曲線を導き出します。

させて

${\displaystyle A\;}$消費者が選択できる、相互に排他的な選択肢の集合。

${\displaystyle a\;}$およびの一般的な要素になります。${\displaystyle b\;}$${\displaystyle A\;}$

上記の例の言語では、セットはリンゴとバナナの組み合わせで構成されています。シンボルは、リンゴ 1 個とバナナ 4 個などの組み合わせの 1 つであり、リンゴ 2 個とバナナ 2 個など別の組み合わせです。 ${\displaystyle A\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

と表記される選好関係は、集合 上で定義される二項関係です。 ${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle A\;}$

声明

${\displaystyle a\succeq b\;}$

は、「は よりも弱く好まれる」と表現されます。つまり、 は（選好満足度において） と少なくとも同等に良いということです。${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

声明

${\displaystyle a\sim b\;}$

は、「は より弱く好まれ、は より弱く好まれる」と説明されます。つまり、または の選択には無関心であり、これらは望ましくないということではなく、好みを満たすという点で同等に優れていることを意味します。 ${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

声明

${\displaystyle a\succ b\;}$

は、「は より弱く好まれるが、 はより弱く好まれるわけではない」と説明されます。また、「 はより厳密に好まれる」とも言われます。 ${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle b\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle a\;}$${\displaystyle b\;}$

すべてのペアを順位付けできる場合、選好関係は完全です。 であり、である場合、関係は推移的関係です。 ${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle a,b\;}$${\displaystyle a\succeq b\;}$${\displaystyle b\succeq c,\;}$${\displaystyle a\succeq c\;}$

任意の要素 に対して、対応する無差別曲線はに対して無関心なすべての要素から構成されます。正式には、 ${\displaystyle a\in A\;}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}}$${\displaystyle A\;}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}=\{b\in A:b\sim a\}}$。

上記の例では、集合の要素は2つの数字で構成されています。リンゴの数とバナナの数です。${\displaystyle a\;}$${\displaystyle A\;}$${\displaystyle x,\;}$${\displaystyle y.\;}$

効用理論において、エージェントの効用関数は、消費バンドルのすべてのペアを好みの順序（完全性）でランク付けする関数であり、3 つ以上のバンドルの任意のセットは推移的な関係を形成します。これは、各バンドルに対して、 に関連付けられた効用（満足度）関係を表す一意の関係 が存在することを意味します。この関係は効用関数と呼ばれます。関数の値域は実数の集合です。関数の実際の値は重要ではありません。それらの値のランク付けのみが理論の内容を持ちます。より正確には、 の場合、バンドルはバンドル と少なくとも同等に優れていると説明されます。 の場合、バンドルはバンドル よりも厳密に優先されるとして説明されます。 ${\displaystyle \left(x,y\right)}$${\displaystyle U\left(x,y\right)}$${\displaystyle \left(x,y\right)}$${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$${\displaystyle \left(x,y\right)}$${\displaystyle \left(x',y'\right)}$${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$${\displaystyle \left(x,y\right)}$${\displaystyle \left(x',y'\right)}$

特定の束を考えて、この点についての全微分をとります。 ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\displaystyle U\left(x,y\right)}$

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy}$

あるいは、一般性を失うことなく、

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$ （式1）

ここで はの最初の引数に関する偏微分であり、 で評価されます。( についても同様です) ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$${\displaystyle U\left(x,y\right)}$${\displaystyle \left(x,y\right)}$${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$

までの無差別曲線は、曲線上の各束で束 と同じ効用レベルを実現する必要があります。つまり、選好が効用関数によって表される場合、無差別曲線は効用関数のレベル曲線です。したがって、無差別曲線から外れることなくの量をだけ変更する場合、最終的にUに変化がないような量 の量のも変更する必要があります。 ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle dx\,}$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle dy\,}$

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0}$または、上記の（式1）に0を代入してdy/dxを解きます。

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$。

したがって、限界効用比は、点 における無差別曲線の傾きの絶対値を与えます。この比は、との間の限界代替率と呼ばれます。 ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle y\,}$

効用関数が の形であれば、 の限界効用はであり、 の限界効用はである。したがって、無差別曲線の傾きは、 ${\displaystyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha }$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=\beta }$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {\beta}{\alpha}}.}$

傾きはまたはに依存しないことに注目してください。無差別曲線は直線です。 ${\displaystyle x\,}$${\displaystyle y\,}$

コブ・ダグラス効用関数として知られる効用関数のクラスは、次の 2 つの理由から経済学で非常によく使用されます。

1. これらは、より多いほど良い、多様性を好むといった「行儀の良い」好みを表します。

2. これらは非常に柔軟で、現実世界のデータに簡単に適合するように調整できます。効用関数が の形である場合、の限界効用は であり、 の限界効用はです。ここで です。無差別曲線の傾き、つまり限界代替率の負の値は、 ${\displaystyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha }}$${\displaystyle x\,}$${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha \left(x/y\right)^{\alpha -1}}$${\displaystyle y\,}$${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=(1-\alpha )\left(x/y\right)^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha <1}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right).}$

一般的なCES（一定代替弾性）形式は

${\displaystyle U(x,y)=\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho }}$

ここで、およびである。（コブ・ダグラス効用はCES効用の特別なケースであり、である。）限界効用は次のように与えられる。 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$${\displaystyle \rho \leq 1}$${\displaystyle \rho \rightarrow 0\,}$

${\displaystyle U_{1}(x,y)=\alpha \left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}x^{\rho -1}}$

そして

${\displaystyle U_{2}(x,y)=(1-\alpha )\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}y^{\rho -1}.}$

したがって、無差別曲線に沿って、

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right)^{1-\rho }.}$

これらの例は、個々の需要または総需要 をモデル化する場合に役立つ可能性があります。

生物学で使われる無差別曲線は、X 軸と Y 軸の 2 つの変数の変化に基づいて、動物が特定の行動をとるかどうかを「決定」する方法のモデルです。変数の変化は、X 軸と Y 軸で強度が増します。たとえば、X 軸は入手可能な食物の量を測定し、Y 軸は食物の入手に伴うリスクを測定します。無差別曲線は、リスクと食物の入手可能性のさまざまなレベルでの動物の行動を予測するために描かれます。

無差別曲線は、より一般的に効用に対して向けられた批判を受け継いでいます。

ハーバート・ホーヴェンカンプ（1991）^[13]は、保有効果の存在は法と経済学、特に福祉経済学に大きな意味を持つと主張している。彼は、保有効果の存在は、個人が無差別曲線を持たないことを示し（ただし、ハネマン、1991 ^[14]を参照）、新古典派の福祉分析ツールは役に立たないため、裁判所は代わりにWTAを価値の尺度として使用すべきだと結論付けている。しかし、フィシェル（1995）^[15]は、 WTAを価値の尺度として使用すると、国のインフラの発展と経済成長が阻害されるという反論を行っている。

オーストリアの経済学者マレー・ロスバードは無差別曲線を「定義上、実際の取引では決して示されず、したがって知ることはできず、客観的に意味がない」と批判した。^[16]

• Beattie, Bruce R.; LaFrance, Jeffrey T. (2006). 「需要の法則と限界効用の逓減」(PDF) .応用経済展望と政策. 28 (2): 263–271. doi :10.1111/j.1467-9353.2006.00286.x. S2CID  154152189.
• Komlos, J (2015). 「行動無差別曲線」(PDF) .オーストラレーシア経済教育ジャーナル. 2 : 1–11.

ウィキメディア・コモンズには、無差別曲線に関連するメディアがあります。

• 3D におけるコブ・ダグラス型効用関数の解析
• 3D における CES 型ユーティリティ関数の解析