中心の方程式

二体ケプラーの 軌道力学では、中心方程式は、楕円軌道上の物体の実際の位置と、同じ周期の円軌道上で物体が均一な運動をした場合に占める位置との角度差である。これは、真の異常角νから平均異常角Mを引いた差として定義され、通常は平均異常角Mと軌道離心率eの関数として表される。^[1]

古代から、天体の運動を予測する問題は、ある天体が別の天体の周りを公転するという問題に簡略化されてきた。軌道上の天体の位置を計算する場合、円運動を仮定して始めると便利な場合が多い。この最初の近似値は、一定の角速度に時間を掛けた値にすぎない。しかし、ニュートン力学を仮定すると、実際の解は楕円軌道 (ケプラーの軌道) となる。これらの場合、真の近似値(太陽の周りの惑星の角度位置) が与えられた場合の平均近似値 (したがって時間) は、真の近似値を「偏心近似値」に変換することで簡単に見つけられる。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle E=\operatorname {atan2} \left(\ {\sqrt {1-e^{2}}}\sin f,\ e+\cos f\right)}$

ここで、atan2 (y, x) は (0, 0) から (x, y) への光線の x 軸からの角度であり、y と同じ符号を持ちます (スプレッドシートでは引数が逆になることが多いことに注意してください)。次に、ケプラーの方程式を使用して平均異常を見つけます。

${\displaystyle M=Ee\sin E}$

が既知で、およびを見つけたい場合、ケプラーの方程式は数値法で解くことができますが、の正弦を含む級数解もあります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$

離心率が小さい場合、打ち切り級数解によって得られる位置は非常に正確である可能性があります。太陽系の天体や人工衛星などの多くの興味深い軌道は、これらのほぼ円形の軌道を持っています。離心率が大きくなり、軌道がより楕円形になるにつれて、級数の特定の打ち切りの精度は低下します。級数が離心率のべき級数としてとられる場合、離心率が高いと収束しなくなります。

現代形式のこの級数はどの時点でも切り捨てることができ、また、最も重要な項だけに限定した場合でも、完全な精度が重要でない場合は、真の位置の近似値を簡単に計算して生成することができます。このような近似値は、例えば、ケプラーの方程式^[1]の反復解の開始値として使用したり、大気の影響によりあまり正確に予測できない日の出や日の入りの時刻を計算する際に使用できます。

古代ギリシャ人、特にヒッパルコスは、惑星の運動の幾何学的理解は異なっていたものの、中心方程式をプロスタファエレシス^{として知っていた。 [2]}現在の意味での方程式（ラテン語、aequatio、-onis ）という言葉は天文学に由来する。これは、真の運動を得るために平均運動に加算または減算しなければならない計算によって決定される可変量としてケプラーによって特定され、使用された。天文学では、時刻の均衡という用語が同様の意味を持つ。^[3]現代の形の中心方程式は、摂動解析、つまり2体運動に対する第3の物体の影響の研究の一環として開発された。^{[4] [5]}

ケプラー運動では、物体の座標は各軌道で同じ値をたどります。これが周期関数の定義です。このような関数は、連続的に増加する任意の角度変数の周期級数として表現できます。 ^[6]最も興味深い変数は平均異常Mです。平均異常は時間とともに一様に増加するため、他の任意の変数を平均異常の級数として表現することは、基本的に時間で表現することと同じです。真の異常はMの解析関数ですが、完全な関数ではないため、 Mのべき級数は 収束範囲が限られます。しかし、周期関数として、フーリエ級数はどこでも収束します。級数の係数は、離心率eに依存するベッセル関数から構築されます。これらの級数は切り捨て形式で表すことができますが、無限個の項の合計を表すことに注意してください。 ^[7]

νの級数、真の異常値は、M、e、および第一種ベッセル関数によって最も便利に表現できる。 ^[8]

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left\{J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}\left[J_{sp}(se)+J_{s+p}(se)\right]\right\}\sin sM,}$

どこ

${\displaystyle J_{n}(se)}$ベッセル関数であり、

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right).}$^[9]

結果はラジアン単位です。

ベッセル関数はxのべき乗で展開できる。^[10]

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m}}{m!\prod _{k=1}^{m}(n+k)}}}$

そしてβ ^mは、^[11]

${\displaystyle \beta ^{m}=\left({\frac {e}{2}}\right)^{m}\left[1+m\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n+m-1)!}{n!(n+m)!}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{2n}\right].}$

代入して簡約すると、 νの式は（ e ^{7 の}次数で切り捨て）^{[8]となる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu \approx M&+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}+{\frac {107}{4608}}e^{7}\right)\sin M\\&{}+\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}+{\frac {17}{192}}e^{6}\right)\sin 2M\\&{}+\left({\frac {13}{12}}e^{3}-{\frac {43}{64}}e^{5}+{\frac {95}{512}}e^{7}\right)\sin 3M\\&{}+\left({\frac {103}{96}}e^{4}-{\frac {451}{480}}e^{6}\right)\sin 4M\\&{}+\left({\frac {1097}{960}}e^{5}-{\frac {5957}{4608}}e^{7}\right)\sin 5M\\&{}+{\frac {1223}{960}}e^{6}\sin 6M+{\frac {47273}{32256}}e^{7}\sin 7M+\cdots \end{aligned}}}$

そして定義により、Mを左側に移動すると、

は中心の方程式の近似値を与えます。しかし、eが高い場合、これは良い近似値ではありません (グラフを参照)。係数がベッセル関数から計算される場合、同じ周波数 (など) まで上がると近似値ははるかに良くなります。 ${\displaystyle \sin 7M}$

この式は、 sin Mの関数の係数を持つeの累乗で表されることがある（ここではe ^{6 の}次数で切り捨てられている）。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu =M&{}+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M\\&{}+{\frac {e^{3}}{12}}(13\sin 3M-3\sin M)\\&{}+{\frac {e^{4}}{96}}(103\sin 4M-44\sin 2M)\\&{}+{\frac {e^{5}}{960}}(1097\sin 5M-645\sin 3M+50\sin M)\\&{}+{\frac {e^{6}}{960}}(1223\sin 6M-902\sin 4M+85\sin 2M)+\cdots \end{aligned}}}$

これは上記の形式に似ています。^{[12] [13]} この表現は、切り捨てられていない場合、同じ無限の項のセットを含みますが、それらを加算する順序が異なります。このため、eが小さい場合、この級数は急速に収束しますが、eが0.6627の「ラプラス限界」を超えると、 Mのすべての値（πの倍数以外）で発散します。これは、フランチェスコ・カルリーニとピエール・シモン・ラプラスによって発見された事実です。^{[12] [14]}

中心の方程式は、偏心異常が、真異常が、平均異常が、中心の方程式がのときに最大になります。次に例を示します。 ${\displaystyle \pi /2,}$${\displaystyle \pi /2+\operatorname {arcsin} e,}$${\displaystyle \pi /2-e,}$${\displaystyle e+\operatorname {arcsin} e.}$

• 天体力学
• 重力二体問題
• ケプラー軌道
• ケプラー問題
• 二体問題

• Marth, A. (1890)。中程度の離心率を持つ楕円軌道の中心方程式の計算について。Monthly Notices of the Royal Astronomical Society、第 50 巻、p. 502。e 10 のオーダーまでの中心方程式を示し^ます。
• モリソン、J. (1883)。平均離心率と平均離心率の観点から見た惑星の離心率、中心と半径ベクトルの方程式の計算について。王立天文学会月報、第43巻、345ページ。e 12 の順序で中心の方程式を示し^ます。
• モリソン、J. (1883)。正誤表。王立天文学会月報、第43巻、p.494。