ジャイロベクトル空間

ジャイログループ（G、${\displaystyle \oplus }$）は、基となる集合Gと二項演算から構成される。${\displaystyle \oplus }$以下の公理を満たす：

1. Gには、少なくとも1つの要素0（左単位元と呼ばれる）が存在し、0は${\displaystyle \oplus }$a = aは、 Gのすべてのaについて成り立つ。
2. Gの各aに対して、要素が存在する${\displaystyle \ominus }$Gのaは、(${\displaystyle \ominus }$a )${\displaystyle \oplus }$a = 0。
3. Gの任意のa、b、cに対して、二項演算が左ジャイロ結合法則を満たすような一意の要素 gyr[ a、b ] cがGに存在する。${\displaystyle \oplus }$( b)${\displaystyle \oplus }$c ) = ( a${\displaystyle \oplus }$b )${\displaystyle \oplus }$gyr[ a , b ] c
4. c ↦ gyr [ a , b ] cで与えられる写像gyr [ a , b ]: G → Gはマグマ( G ,${\displaystyle \oplus }$) – つまり、gyr[ a , b ] は Aut( G ,${\displaystyle \oplus }$）そして、 Gの自己同型 gyr[ a , b ] は、 Gのa , bによって生成されるGのジャイロ自己同型と呼ばれます。演算 gyr: G × G → Aut( G ,      ${\displaystyle \oplus }$) はGのジャイレーターと呼ばれます。
5. ジャイロオートモルフィズム gyr[ a , b ] は左ループ特性 gyr[ a , b ] = gyr[ a ]を持つ。${\displaystyle \oplus }$b、b ]

最初の2つの公理は群の公理に似ています。最後の2つの公理はジャイレーターの公理を表し、真ん中の公理は2つの公理を結びつけています。

ジャイロ群は逆群と単位元を持つため、準群およびループとして適格である。

ジャイログループは群の一般化です。すべての群は、 Gのすべてのaとbに対して恒等写像としてgyr[ a , b ] が定義されるジャイログループの例です。

有限ジャイロ群の例は^{[ 5 ]}に示されている。

任意のジャイログループ ( G、${\displaystyle \oplus }$） は：

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$（回転）
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$（左結合性）
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )}$（右結合性）

さらに、回転反転法則を証明することができ、これが以下の回転可換性の定義の動機となっている。

1. ${\displaystyle \ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )}$（回転反転法則）

任意のジャイロ群の回転群が満たす追加の定理には、以下のようなものがある。

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I}$（アイデンティティの揺れ動き）
2. ${\displaystyle \mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]}$（ジャイロオートモルフィズム反転法則）
3. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$（回転運動は性質上）
4. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]}$（右ループプロパティ）
5. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]}$（左ループ特性）

^{[ 6 ]}の50ページにさらに多くの恒等式が示されている。上記の恒等式の特に有用な帰結の一つは、ジャイロ群が左ボル性質を満たすことである。

1. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))}$

ジャイログループ（G、${\displaystyle \oplus }$）は、その二項演算がジャイロ交換法則に従う場合、ジャイロ交換可能である。${\displaystyle \oplus }$b = gyr[ a , b ]( b${\displaystyle \oplus }$a ) 相対論的速度加算については、 a  + bとb + aの関係を示す回転の役割を示すこの式は、 1914 年にLudwik Silbersteinによって発表されました。^{[ 7 ] [ 8 ]}   

すべてのジャイログループにおいて、加算と呼ばれる第2の操作を定義できます。${\displaystyle \boxplus }$b = a${\displaystyle \oplus }$gyr[ a、${\displaystyle \ominus }$b ] b は、すべてのa、b  ∈ Gに対して成り立つ。 ジャイロ群の加算がジャイロ可換である場合、余加算は可換である。 

3座標に適用される回転の3  × 3行列形式がgyr[ u , v ]で与えられる場合、 4座標に適用される4 × 4行列回転は次のように与えられる。   

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$[ ^{9 ]​}

速度uとvの 2 つのローレンツブーストB( u ) と B( v )の合成は次のように与えられます。^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

これは、B( u)${\displaystyle \oplus }$v ) または B( v )${\displaystyle \oplus }$u ) は、回転を前または後に書くかどうかに応じて使用できます。これは速度合成のパラドックスを説明します。

回転 U と V を含む2 つのローレンツ変換 L( u ,U) と L( v ,V)の合成は次のように与えられます。 ^{[ 11 ]}

${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$

上記において、ブーストは4  ×  4行列として表すことができます。ブースト行列B( v )_は、行列のエントリにvの成分、すなわち_v1 、 v2 、 v3を使用するブーストBを意味します。あるいは、ローレンツ変換#行列形式セクションで使用される表現では、 v / cの成分を使用するブーストBを意味します。行列のエントリは3速度vの成分に依存しており、それが表記B( v )の意味するところです。4速度のエントリのうち3つが3速度のエントリと同じであるため、エントリは4速度の成分に依存すると主張することもできますが、ブーストを3速度でパラメータ化する利点は、2つのブーストの合成から得られる結果のブーストが、3速度合成uの成分を使用する点にあります。${\displaystyle \oplus }$4  ×  4 行列 B( u )内のv${\displaystyle \oplus }$v )。しかし、結果として得られるブーストは回転行列で乗算する必要もあります。なぜなら、ブースト合成（つまり、2 つの 4  ×  4 行列の乗算）では、純粋なブーストではなく、ブーストと回転、つまり回転 Gyr[ u , v ]に対応する 4  × 4 行列が得られ、B( u )B( v ) = B( u )となるからです。 ${\displaystyle \oplus }$v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v${\displaystyle \oplus }$u )。

s を任意の正の定数とし、(V,+,.) を任意の実内積空間とし、V _s ={ v  ∈  V  :| v |<s} とする。アインシュタイン ジャイロベクトル空間 ( V _s、 ${\displaystyle \oplus }$、 ${\displaystyle \otimes }$) はアインシュタインのジャイログループ ( V _s、 ${\displaystyle \oplus }$) スカラー乗算はrで与えられる${\displaystyle \otimes }$v  = s tanh( r tanh ^{− 1} (| v |/ s )) v /| v | ただし、rは任意の実数、v ∈ V _s、v ≠ 0、r        ${\displaystyle \otimes }$ 0  = 0を表記vで表す  ${\displaystyle \otimes }$ r  = r  ${\displaystyle \otimes }$ v。

アインシュタインのスカラー乗算は、ジャイロベクトルが共線である場合（単調分配性）を除いて、アインシュタインの加算に対して分配法則を満たしませんが、ベクトル空間の他の性質を持ちます。任意の正の整数nとすべての実数r、r ₁、r ₂およびv  ∈ V _sに対して、次のことが成り立ちます。 

三角形の中心の研究は​​伝統的にユークリッド幾何学に関係していますが、三角形の中心は双曲幾何学でも研究できます。ジャイロ三角法を使用すると、ユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方で同じ形式を持つ三角重心座標の式を計算できます。式が一致するためには、式は角度の合計が 180 度であるという指定を包含してはなりません。 ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

ジャイロ三角法を用いると、ジャイロ平行四辺形の法則に従って動作するジャイロベクトル加算を見つけることができます。これはジャイロ群演算のコ加算です。ジャイロ平行四辺形の加算は可換です。

ジャイロパラレログラムの法則は、平行四辺形の法則と似ており、ジャイロパラレログラムは、2つのジャイロ対角線がジャイロ中点で交わる双曲四角形であり、平行四辺形は、2つの対角線が中点で交わるユークリッド四角形である。^{[ 17 ]}